第五節(jié)橢圓A組基礎(chǔ)題組1.已知方程x22-k+y22k-1=1表示焦點在y軸上的橢圓,則實數(shù)k的取值范圍是()A.12,2B.(1,+)C.(1,2)D.12,12.(20xx黑龍江齊齊哈爾一中期末)已知橢圓的焦點在x軸上,離心率為35,直線x+y-4=0與y軸的交點為橢圓的一個頂點,則橢圓的方程為()A.x225+y29=1B.x29+y225=1C.x225+y216=1D.x216+y225=13.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,則以A,B為焦點,且過C,D兩點的橢圓的短軸的長為()A.23B.26C.42D.434.設(shè)橢圓x24+y23=1的焦點為F1,F2,點P在橢圓上,若PF1F2是直角三角形,則PF1F2的面積為()A.3B.3或32C.32D.6或35.已知橢圓x24+y2b2=1(0<b<2)的左,右焦點分別為F1,F2,過F1的直線l交橢圓于A,B兩點,若|BF2|+|AF2|的最大值為5,則b的值是()A.1B.2C.32D.36.已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為55,且過點P(-5,4),則橢圓的標準方程為. 7.已知橢圓C的中心在原點,一個焦點為F(-2,0),且長軸長與短軸長的比是23,則橢圓C的方程是. 8.橢圓x29+y22=1的左,右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,若|PF1|=4,則F1PF2的大小為. 9.已知橢圓的兩焦點為F1(-3,0),F2(3,0),離心率e=32.(1)求此橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:y=x+m,若l與此橢圓相交于P,Q兩點,且|PQ|等于橢圓的短軸長,求m的值.10.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左,右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B.(1)若F1AB=90°,求橢圓的離心率;(2)若=2,·=32,求橢圓的方程.B組提升題組11.已知橢圓C:x24+y23=1的左,右焦點分別為F1,F2,橢圓C上的點A滿足AF2F1F2.若點P是橢圓C上的動點,則·的最大值為()A.32B.332C.94D.15412.如圖,已知橢圓C的中心為原點O,F(-25,0)為C的左焦點,P為C上一點,滿足|OP|=|OF|,且|PF|=4,則橢圓C的方程為()A.x225+y25=1B.x236+y216=1C.x230+y210=1D.x245+y225=113.(20xx江蘇,10,5分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點,直線y=b2與橢圓交于B,C兩點,且BFC=90°,則該橢圓的離心率是. 14.設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點,點P在橢圓C上,線段PF1的中點在y軸上,若PF1F2=30°,則橢圓C的離心率為. 15.(20xx云南檢測)已知焦點在y軸上的橢圓E的中心是原點O,離心率等于32,以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為45.直線l:y=kx+m與y軸交于點P,與橢圓E相交于A、B兩個點.(1)求橢圓E的方程;(2)若=3,求m2的取值范圍.答案全解全析A組基礎(chǔ)題組1.C方程x22-k+y22k-1=1表示焦點在y軸上的橢圓,所以2-k>0,2k-1>0,2k-1>2-k,解得k<2,k>12,k>1,故k的取值范圍為(1,2).2.C設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由題意知ca=35,b=4,a2=b2+c2,解得a=5,b=4,c=3,所以橢圓的方程為x225+y216=1.3.D依題意得|AC|=5,橢圓的焦距2c=|AB|=4,長軸長2a=|AC|+|BC|=8,所以短軸長2b=2a2-c2=216-4=43.4.C由橢圓的方程知a=2,b=3,c=1,當點P為短軸端點(0,3)時,F1PF2=,PF1F2是正三角形,若PF1F2是直角三角形,則直角頂點不可能是點P,只能是焦點F1(或F2),此時|PF1|=b2a=,=12×32×2=32.故選C.5.D由橢圓的方程可知a=2,由橢圓的定義可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)3,由橢圓的性質(zhì)可知,過橢圓焦點的弦中,垂直于焦點所在坐標軸的弦最短,則2b2a=3.所以b2=3,即b=3.6.答案x245+y236=1解析由題意設(shè)橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).由離心率e=55可得a2=5c2,所以b2=4c2,故橢圓的方程為x25c2+y24c2=1,將P(-5,4)代入可得c2=9,故橢圓的方程為x245+y236=1.7.答案x216+y212=1解析設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).由題意知解得a2=16,b2=12.所以橢圓C的方程為x216+y212=1.8.答案120°解析由橢圓定義知,|PF2|=2,|F1F2|=2×9-2=27.在PF1F2中,由余弦定理,得cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|路|PF2|=-12,F1PF2=120°.9.解析(1)設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由題意知c=3,ca=32,所以a=2,則b=1,所求橢圓方程為x24+y2=1.(2)由x24+y2=1,y=x+m消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,則=64m2-4×5×4(m2-1)>0,整理,得m2<5(*).設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-8m5,x1x2=4(m2-1)5,y1-y2=x1-x2,|PQ|=2-8m52-16(m2-1)5=2.解得m=±304,滿足(*),所以m=±304.10.解析(1)F1AB=90°,則AOF2為等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=2c,所以e=ca=22.(2)由題知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=a2-b2,設(shè)B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=3c2,y=-b2,即B3c2,-b2.將B點坐標代入x2a2+y2b2=1,得94c2a2+b24b2=1,即9c24a2+14=1,解得a2=3c2.又由·=(-c,-b)·3c2,-3b2=32,得b2-c2=1,即a2-2c2=1.由解得c2=1,a2=3,從而有b2=2.所以橢圓的方程為x23+y22=1.B組提升題組11.B由橢圓方程知c=4-3=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因為橢圓C上的點A滿足AF2F1F2,所以可設(shè)A(1,y0),代入橢圓方程可得y02=94,所以y0=±32.設(shè)P(x1,y1),則=(x1+1,y1),又=(0,y0),所以·=y1y0,因為點P是橢圓C上的動點,所以-3y13,故·的最大值為332,選B.12.B設(shè)橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距為2c,右焦點為F',連接PF',如圖所示.因為F(-25,0)為C的左焦點,所以c=25.由|OP|=|OF|=|OF'|知,FPF'=90°,即FPPF'.在RtPFF'中,由勾股定理,得|PF'|=|FF'|2-|PF|2=(45)2-42=8.由橢圓定義,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-(25)2=16,所以橢圓的方程為x236+y216=1.13.答案63解析由已知條件易得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),=c+32a,-b2,=c-32a,-b2,由BFC=90°,可得·=0,所以c-32ac+32a+-b22=0,c2-34a2+14b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以c2a2=23,則e=ca=63.14.答案33解析如圖,設(shè)PF1的中點為M,連接PF2.因為O為F1F2的中點,所以O(shè)M為PF1F2的中位線.所以O(shè)MPF2,所以PF2F1=MOF1=90°.因為PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=3|PF2|,由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|a=3|PF2|2,2c=|F1F2|=3|PF2|c=3|PF2|2,則e=ca=3|PF2|2·23|PF2|=33.15.解析(1)根據(jù)已知設(shè)橢圓E的方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0),由已知得ca=32,c=32a,b2=a2-c2=a24.以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為45,4a2+b2=25a=45,a=2,b=1.橢圓E的方程為x2+y24=1.(2)根據(jù)已知得P(0,m),設(shè)A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由y=kx+m,4x2+y2-4=0得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.由已知得=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,即k2-m2+4>0,由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知,x1+x2=-2kmk2+4,x1x2=m2-4k2+4.由=3得x1=-3x2,3(x1+x2)2+4x1x2=12x22-12x22=0.12k2m2(k2+4)2+4(m2-4)k2+4=0,即m2k2+m2-k2-4=0.當m2=1時,m2k2+m2-k2-4=0不成立,k2=4-m2m2-1.由題意知k0,m0,結(jié)合m2k2+m2-k2-4=0,知k2-m2+4=m2k2>0,4-m2m2-1-m2+4>0,即(4-m2)m2m2-1>0.1<m2<4.m2的取值范圍為(1,4).