1 1函數1 2極限的概念1 3極限的運算1 4函數的連續(xù)性 第1章函數極限與連續(xù) 結束 集合的概念1 集合的定義具有某種屬性的事物總體稱為一個集合 一般以大寫字母A B C 表示 集合中的每個個體都是集合中的元素 一般以小寫字母a b c 表示 集合和集合中元素a的關系是屬于的關系 記作a A 讀作 a屬于A 2 集合的表示法 1 列舉法把集合中所有元素列在一個大括號內 例A 1 3 5 7 9 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 描述法用集合中元素所滿足的條件P a 來描述集合 例A x x 2n n為整數 B x 3 x 4 C x x 5x 6 0 集合C也可以用列舉法來表示C 2 3 而集合B就不能用列舉法來表示 因為實數是處處稠密的 它們無法窮舉的 3 集合及集合間的關系 1 全集 所考慮的對象全體 通常記作U 2 子集 集合中一部分元素所構成的集合 子集和全集是相對的概念 3 空集 沒有任何元素的集合 記作 4 包含關系 集合A中元素都是集合B中的元素 則稱 集合A包含于集合B 記作A B 或稱 集合B包含集合A 記作B A 例A 1 3 5 B 1 2 3 4 5 則A B 即A是B的子集 5 相等 若A B 且B A 則A B 稱相等 6 真子集 若A B 且A B 則稱A是B的真子集 記作A B 空集是任何集合的真子集 即 A 4 集合的運算 1 集合的并 集合A和集合B中所有的元素組成的集合 稱為集合A和集合B的并集 記作A B 例A 1 3 5 B 2 4 6 則A B 1 2 3 4 5 6 2 集合的交 集合A和集合B中公共的元素所組成的集合 稱為集合A與集合B的交集 記作A B 3 集合的差集 屬于A但不屬于B的元素組成的集合 稱為A與B的差集 記作A B 例A 1 2 3 B 2 4 6 則A B 1 3 B A 4 6 例A 0 1 2 B 1 2 則A B 0 4 集合的補集 全集U中不屬于集合A的元素組成的集合 稱為A的補集 記作A 例R 實數全體 P 有理數全體 Q 無理數全體 則P Q Q P P Q R 例U 1 2 3 4 10 A 2 5 則A 1 3 4 6 7 8 9 10 5 集合的運算性質 1 補的性質A A U A A A A 2 交換律A B B A A B B A 3 結合律 A B C A B C A B C A B C 4 分配律 A B C A C U B C A B C A C B C 5 摩根律 A B A B A B A B 6 區(qū)間 鄰域區(qū)間 設a b是實數 且a b 則集合 x a x b 稱為閉區(qū)間 記作 a b x a x b 稱為左開右閉區(qū)間 記作 a b x a x b 稱為左閉右開區(qū)間 記作 a b x a x 稱為右無窮區(qū)間 記作 a x x a 稱為左無窮區(qū)間 記作 a R x x 稱為無窮區(qū)間 記作 絕對值 設a是實數 則 a 例 x 3 3 x 3 它們不同于 x x 3 鄰域 設 0 集合 x x x 稱為以x 為心的 鄰域 記作 x 即 x x x 設 0 集合 x 0 x x 稱為以x 為心的去心 鄰域 注意 集合和關系是不同的兩個概念 當自變量x取數值時 與對應的因變量y的值稱為函數在點處的函數值 記為或 當x取遍D內的各個數值時 對應的變量y取值的全體組成 定義1設x與y是兩個變量 若當變量x在非空數集D內任取一個數值時 變量x按照某種對應法則f總有一個確定的數值y與之對應 則稱變量y為變量x的函數 記作 稱D為該函數的定義域 記為D 稱x為自變量 稱y為因變量 1 1 1函數的概念 數集稱做這個函數的值域 記為Z 1 1函數 1 1 2函數的表示法 例1已知某商品的總成本函數為 例2某工廠全年1 6月原材料進貨數量如下表 這里表達的是時間和原材料進貨數量之間的關系 1 解析法用數學公式表示自變量和因變量之間的對應關系 是函數的公式表示法 如例1是用公式法表示函數 2 表格法自變量x與因變量y的一些對應值用表格列出 3 圖示法用函數y f x 的圖形給出自變量x與因變量y 之間的關系 例3需求函數與供給函數 如圖 P表示商品價格 Q表示需求量 供給量 E點為需求和供給平衡點 說明三種表示法各有所長 缺一不可 如三角函數 三角函數表 三角函數圖像 都是表示三角函數 可以相互補充 例4求函數的定義域 1 函數的定義域和對應法則是函數的兩個主要要素 注 2 如果兩個函數具有相同的定義域和對應法則 則它們是相同的函數 4 在研究由公式表達的函數時 我們約定 函數的定義域是使函數表達式有意義的自變量的一切實數值所組成的數集 3 在實際問題中 函數的定義域是由實際意義確定的 解當分母時 此函數式都有意義 因此函數的定義域為 例5求函數的定義域 所以函數的定義域為 解要使函數y有定義 必須使 這兩個不等式的公共解為 解當時 函數 設有函數 問它們是否為同一個函數 例6 由于與的定義域不同 所以它們不是同一個函數 但是的定義域 而在點無定義其定義域為 在實際問題中 有時會遇到一個函數在定義域的不同范圍內 用不同的解析式表示的情形 這樣的函數稱為分段函數 例如符號函數 是一個分段函數 它的定義域為 分段函數是用幾個公式合起來表示一個函數 而不是表示幾個函數 f x 的定義域是 0 2 例7 當時 當時 1 1 3復合函數 并稱x為自變量 稱u為中間變量 定義域改變 例8分析函數是由哪幾個函數復合而成 解 復合而成 并易知其定義域為 定義設y是u的函數 y f u u U 而u是x的函數 并且Z D f 則y通過u的聯系也是x的函數 稱此函數是由y f u 及u x 復合而成的復合函數 記作 例9求由函數組成的復合函數并求其定義域 解由于的定義域為與u 3x 1的值域有公共部分 由于必須 從而 故復合函數的定義域是 所以由它們可以組成復合函數 例10設 解 1 冪函數 冪函數的定義域隨的不同而不同 1 基本初等函數 是常數 補圖形 當為無理數時 規(guī)定的定義域為 指數函數的定義域為 當a 1時 它嚴格單調增加 當0 a 1時 它嚴格單調減少 對于任何的a 的值域都是 函數的圖形都過 0 1 點 對數函數是指數函數的反函數 它的定義域為 當a 1時 它嚴格單調增加 當0 a 1時 它嚴格單調減少 對于任何限定的a 的值域都是 函數的圖形都過 1 0 點 2 指數函數是常數 補圖形 在高等數學中 常用到以e為底的指數函數和以e為底的對數函數 記作lnx lnx稱為自然對數 這里e 2 7182818 是一個無理數 4 三角函數 常用的三角函數有 正弦函數y sinx 余弦函數y cosx y sinx與y cosx的定義域均為 它們都是以為周期的函數 都是有界函數 其它圖形 數 并且在開區(qū)間內都是無界函數 正切函數y tanx 余切函數y cotx tanx與cotx是以為周期的周期函數 并且在其定義域內是無界函數 sinx tanx及cotx是奇函數 cosx是偶函數 此外還有正割函數y secx 余割函數y cscx 其中 它們都是以為周期的函 5 反三角函數 補圖形 三角函數y sinx y cosx y tanx和y cotx的反函數都是多值函數 我們按下列區(qū)間取其一個單值分支 稱為主值分支 分別記作 反正弦函數 反余弦函數 反正切函數 反余切函數 2初等函數 定義由常數和基本初等函數經過有限次四則運算或經過有限次復合運算所構成 并可用一個式子表示的函數 稱為初等函數 初等函數都可以用一個公式表示 大部分分段函數不是初等函數 是非初等函數 定義3設函數y f x 是定義在Df上的一個函數 其值域為Zf 對任意y Zf 如果有唯一確定的滿足y f x 的x Df與之對應 則得到一個定義在Zf上以y為自變量的函數 我們稱它為函數y f x 的反函數 記作 1 1 5反函數與隱函數 1反函數 習慣上 常用x來表示自變量 y表示因變量 所以我們可以將反函數改寫成 在直角坐標系中的圖形與y f x 的圖形是 關于直線y x對稱的 例11設函數y 2x 3 求它的反函數并畫出圖形 解 于是得反函數 變量之間的函數關系 是由某個二元方程給出的 這樣的函數稱為隱函數 例有些隱函數可以改寫成顯函數的形式 而有些隱函數不能改寫成顯函數的形式 把隱函數改寫成顯函數叫做 隱函數的顯化 2隱函數 1奇偶性 補奇偶積性質 設函數y f x 的定義域D是關于原點對稱的 即當時 有 則稱f x 為偶函數 偶函數的圖形關于y軸對稱 如果對于任意的 均有 則稱函數f x 為奇函數 奇函數的圖形關于坐標原點對稱 如果對任意的 均有 1 1 6函數的基本性質 例12討論下列函數的奇偶性 解 設函數y f x 如果存在正常數T 使得對于定義域內的任何x均有f x T f x 成立 則稱函數y f x 為 顯然 若T是周期函數f x 的周期 則kT也是f x 的周期 k 1 2 3 通常我們說的周期函數的周期就是指最小正周期 2周期性 周期函數 T為f x 的周期 例如 函數y sinx及y cosx都是以為周期的周期函數 函數y tanx及y cotx都是以為周期的周期函數 解設所求的周期為T 由于 例13 求函數的周期 其中為常數 并注意到的周期為 只需 使上式成立的最小正數為 所以函數的周期為 3單調性 設函數y f x 在區(qū)間I上有定義 即 是函數y f x 的定義域或者是定義域的一部分 如果對于任意的 當時 均有 則稱函數y f x 在區(qū)間 上單調增加 或單調減少 單調增加 或單調減少 的函數又稱為單調遞增 單調遞減 函數 統(tǒng)稱為單調函數 使函數保持單調性的自變量的取值區(qū)間稱為該函數的單調區(qū)間 函數內是單調減少的 在區(qū)間上是單調增加的 而在區(qū)間內則不是單調函數 單調增加的函數的圖形是沿x軸正向上升的 單調減少的函數的圖形是沿x軸正向下降的 例如 函數內是單調增加的 4有界性 設函數y f x 的定義域為D 數集 如果存在正數M 使得對于任意的 都有不等式 成立 則稱f x 在X上有界 如果這樣的M不存在 就稱函數f x 在X上無界 如果M為f x 的一個界 易知比M大的任何一個正數都是f x 的界 如果f x 在x上無界 那么對于任意一個給定的正數M X中總有相應的點 使 當函數y f x 在區(qū)間 a b 上有界時 函數y f x 的圖形恰好位于直線y M和y 之間 這里取 1 函數y sinx的圖形位于直線y 1與y 1之間 例如 函數f x sinx在內是有界的 這是因為對于任意的 都有成立 應該注意 函數的有界性 不僅僅要注意函數的特點 還要注意自變量的變化范圍 例如 函數在區(qū)間 1 2 內是有界的 事實上 若取 1 則對于任何 而在區(qū)間 0 1 內是無界的 1 1 7函數關系的建立 例14某運輸公司規(guī)定貨物的噸千米運價為 在千米以內 每千米k元 超過千米 超過部分每千米元 求運價P和運送里程s之間的函數關系 解根據題意可列出函數關系如下 這里運價P和運送里程s之間的函數關系是用分段函數表示的 總成本函數 平均成本函數 1總成本函數某商品的總成本是指生產一定數量的產品所需的全部經濟資源投入 勞力 原料 設備等 的價格或費用總額 它由固定成本與可變成本組成 平均成本是生產一定數量的產品 平均每單位產品的成本 在生產技術水平和生產要素的價格固定不變的條件下 產品的總成本與平均成本都是產量的函數 1 1 8常見的經濟函數 2總收益函數總收益是生產者出售一定量產品所得到的全部收入 是銷售量的函數 設p為商品價格 為Q銷售量 為總收益 則有 總收益函數 平均收益函數 3總利潤函數設某商品的成本函數為C 銷售收益函數R為 則銷售某商品個單位時的總利潤函數為 例15已知某產品的總成本函數為求當生產100個該種產品時的總成本和平均成本 平均成本為 解由題意 產量為100時的總成本函數為 1數列的概念 定義1自變量為正整數的函數 將其函數值按自變量n由小到大排成一列數 稱為數列 將其簡記為 稱為數列的通項或一般項 1 2 1數列的極限 1 2極限的概念 1 3 4 2 即 數列 數列 數列 2 數列的極限 數列 1 當n無限增大時 無限趨近于0 即數列 1 以0為它的變化趨向 數列 2 當n無限增大時 un 無限趨近于常數1 即數列 2 以1為它的變化趨向 數列 3 當n無限增大時 其奇數項為1 偶數項為 1 隨著n的增大 它的通項在 1 1之間變動 所以當n無限增大時 沒有確定的變化趨向 數列 4 當n無限增大時 un也無限增大 定義2如果當n無限地增大時 通項un無限地趨向于某個確定的常數a 則說當n趨于無窮大時 un以a為極限 記成 但是 像數列等 當n越來越大時 它們各自是否有確定的變化趨勢 如果有 極限是什么 直觀上可以看出 單調增加或單調減少的數列統(tǒng)稱為單調數列 成立 則稱數列是單調減少的 若有 3 單調數列與有界數列 數列 2 4 是單調增加的 數列 1 單調減少的 對于數列 若有 成立 則稱數列是單調增加的 對于數列 若存在正數M 使得對于一切的n都有 成立 則稱數列是有界的 否則稱是無界的 容易驗證數列 1 2 3 是有界的 而數列 4 是無界的 無界數列一定是發(fā)散的 注意數列有界是數列收斂的必要條件 但不是充分條件 例如 數列是有界的 而卻是發(fā)散數列 定理1單調有界數列必有極限 1 當x 時 函數f x 的極限 函數 當x 時 函數f x 無限趨近于常數1 此時我們稱1為當x 時函數f x 的極限 定義3如果當自變量x無限增大時 函數f x 無限趨近于某個確定的常數A 則稱常數A為函數f x 當x 時的極限 記為 或 1 2 2函數的極限 1 1 當x 時 函數f x 無限趨近于常數1 此時我們稱1為當x 時函數f x 的極限 定義4如果當無限增大時 函數f x 無限趨近于某個確定的常數A 則稱常數A為函數f x 當x 時的極限 記為 x 或 定理2 的充要條件是 2當x x0時 函數f x 的極限 當x 1時 的值無限趨近于常數2 此時我們稱當x趨近于1時 函數 極限為2 定義5設函數f x 在的某鄰域內有定義 x0可以除外 如果當自變量x趨近于x0時 函數f x 的函數值無限趨近于某個確定的常數A 則稱A為函數f x 當x x0時的極限 或 考查函數 記為 2在定義5中 x是以任意方式趨近于的 但在有些問題中 往往只需要考慮點x從的一側趨近于時 函數f x 的變化趨向 注 1 在時的極限是否存在 與在點處有無定義以及在點處的函數值無關 如果當從的左側趨近于 記為 時 以A為極限 則稱A為函數當時的左極限 記為 或 如果當從的右側趨近于 記為 時 以A為極限 則稱A為函數當時的右極 或 限 記為 注 定理3常用來判斷分段函數在分段點的極限是否存在 解 因為 所以 定理4 唯一性定理 如果函數在某一變化過程中有極限 則其極限是唯一的 2函數極限的性質 定理5 有界性定理 若函數f x 當x x0時極限存在 則必存在x0的某一鄰域 使得函數f x 在該鄰域內有界 定理6 兩邊夾定理 如果對于x0的某鄰域內的一切x 可以除外 有 且 則 1 無窮小量定義7若變量Y在某過程下以零為極限 則稱變量Y在此過程下為無窮小量 簡稱無窮小 1 2 3無窮小量與無窮大量 例3 例4 時的無窮小量 時的無窮小量 因為所以 因為所以 例如函數時的無窮小 但當時不是無窮小 當時 的極限不為零 所以當時 函數不是無窮小 而當時是無窮小量 應該注意無窮小量是在某一過程中 以零為極限的變量 而不是絕對值很小的數 因此應明確指出其變化過程 定理7在自變量的同一變化過程中 1 有限個無窮小的代數和仍為無窮小 4 有界函數與無窮小的乘積仍為無窮小 3 常量與無窮小的乘積仍為無窮小 2 有限個無窮小的乘積仍為無窮小 2 無窮小的性質 例5 解 注意這個極限不能用極限的四則運算法則求得 因為不存在 所以 時的無窮小量 為有界變量 3 無窮大量 定義8在自變量x的某一變化過程中 若函數值的絕對值無限增大 則稱f x 為此變化過程中的無窮大量 簡稱無窮大 記作 4無窮小與無窮大的關系 簡言之無窮小與無窮大的關系為 在自變量的同一變化過程中 無窮大的倒數是無窮小 無窮小 不等于0 的倒數是無窮大 定理9在自變量的同一變化過程中 若f x 為無窮大 則為無窮小 反之 若f x 為無窮小且f x 不等于0 則為無窮大 例如 以后 遇到類似例6的題目 可直接寫出結果 例6 解 例7考察 定理1設 則 1 3 1極限的運算法則 下面的定理 僅就函數極限的情形給出 所得的結論對數列極限也成立 1 3極限的運算 其中自變量x的趨勢可以是等各種情形 定理1中的 1 和 2 可以推廣到有限個函數的代數和及乘積的極限情況 結論 2 還有如下常用的推論 推論1設limf x 存在 則對于常數c 有 推論2設limf x 存在 則對于正整數k 有 例1 解 一般地 設有多項式 有理整函數 則有 即 例2 解 設有理分式函數 式 1 與式 2 說明對于有理函數求關于的極限時 如果有理函數在點有定義 其極限值就是在點處的函數值 以后可以當做公式使用 例3 解 例4 解 例5 解 例6 解 1 3 2兩個重要極限 重要極限1 其中的兩個等號只在x 0時成立 證 設圓心角過點A作圓的切線與OB的延長線交于點C 又作 則sinx BD tanx AC 當時 首先證明不等式 當時有 即當時 而當時有 從而 即當時有 這就證明了不等式 從而有 由夾逼準則 即得 例7 解 例8 解 例9 解 這是重要極限2常用的另一種形式 補推導 重要極限2 例10 解令 則當時 因此 例11 解 例12設有本金1000元 若用連續(xù)復利計算 年利率為8 問5年末可得本利和為多少 解設復利一年計算一次 則一年末本利和為 若復利一年計算n次 則x年末本利和為 x 年末本利和為 所以 1 3 3無窮小的比較 兩個無窮小的和 差 積都是無窮小 那么 兩個無窮小的商是否仍是無窮小呢 請看下面的例子 這些情形表明 同為無窮小 但它們趨于0的速度有快有慢 為了比較不同的無窮小趨于0的速度 我們引入無窮小量階的概念 此時也稱是比低階的無窮小 3 如果 則稱是比高階的無窮小 記作 2 如果 則稱與是等價無窮小 記作 1 如果是常數 則稱是同階無窮小 定義設時為無窮小 且 所以當時 與x是等價無窮小 即 所以當時 是比x高階的無窮小 即 例13 例14因為 同理可知 當時 所以當時 是同階無窮小 關于等價無窮小在求極限中的應用 有如下定理 證 定理2 根據此定理 在求兩個無窮小之比的極限時 若此極限不好求 可用分子 分母各自的等價無窮小來代替 如果選擇適當 可簡化運算 用定理2求極限 需要預先知道一些等價無窮小 一些常用的等價無窮小如下 當時 例15 解 例16 解 例17 解 注意 相乘 除 的無窮小都可用各自的等價無窮小代換 但是相加 減 的無窮小的項不能作等價代換 例如 是完全錯誤的 1 4 1函數連續(xù)性的概念 相應的函數的改變量 增量 函數的終值與初值之差稱為函數的改變量 記為 1 改變量 增量 1 4函數的連續(xù)性 當自變量由初值變化到終值時 終值與初值之差稱為自變量的改變量 記為 定義1 設函數在點的某鄰域內有定義 當自變量在點處有增量時 相應的函數有增量 如果當自變量的增量趨于零時 函數的增量也趨于零 即則稱函數在點處連續(xù) 點稱為函數的連續(xù)點 2 連續(xù) 若記 則 且當時 故定義1又可敘述為 注 定義2 設函數y f x 在點的某鄰域內有定義 若有 則稱函數在點處連續(xù) 1 定義1與定義2是等價的 即 由左右極限定義可定義左右連續(xù)定義 2 由定義2可知若函數在點處連續(xù) 則函數在點處的極限一定存在 反之不一定連續(xù) 3 當函數在點處連續(xù)時 求時 只需求出即可 定義3 若函數滿足 則稱函數在點處左連續(xù) 同理可以定義右連續(xù) 3 左右連續(xù) 4 區(qū)間連續(xù) 定義4 若函數在 a b 內每一點都連續(xù) 則稱函數在 a b 內連續(xù) 由定理3可知 函數在點處連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù)即 證明y sinx在內連續(xù) 例1 證 對任意 有 因為 所以 故在內連續(xù) 定義5若函數y f x 在 a b 內每一點都連續(xù) 且在左端點a處右連續(xù) 在右端點b處左連續(xù) 則稱函數y f x 在 a b 上連續(xù) 1 4 2函數的間斷點及其分類 則一定滿足以下條件 如果f x 在點不能滿足以上任何一個條件 則點是函數的間斷點 1 可去間斷點 如果函數在點的極限存在 但不等于 即 則稱為的可去間斷點 例2 解 所以x 1為可去間斷點重新定義新的函數 下式表示法 則x 1成為函數的連續(xù)點 2 跳躍間斷點 例3 所以x 1為跳躍間斷點 左右極限存在不相等 當時 函數值不斷地在兩點之間跳動 左右極限均不存在 3 無窮間斷點 f x 在點的左 右極限至少有一個是無窮大 則稱為f x 的無窮間斷點 例4x 0為無窮間斷點 4 振蕩間斷點 例5 x 0是其振蕩間斷點 間斷點的類型 第一類間斷點 我們把左右極限都存在的間斷點稱為第一類間斷點 第二類間斷點 除第一類以外的間斷點 即左右極限至少有一個不存在的間斷點稱為第二類間斷點 例6 解 函數在x 1 x 0 x 1處沒有定義 所以x 1 x 0 x 1是函數的間斷點 所以x 1是函數的無窮間斷點 所以x 0是函數的跳躍間斷點 所以x 1是函數的可去間斷點 解 分界點為x 1 x 2 i 當x 1時 所以x 1是函數的跳躍間斷點 例7 ii 討論x 2 而f 2 5 所以x 2是函數的連續(xù)的點 因此 分段函數的分界點是可能間斷點 設函數y f u 在點處連續(xù) u x 在點處連續(xù) 且 則復合函數在點處連續(xù) 1 4 3初等函數的連續(xù)性 補充冪 三角 對數函數連續(xù)性 定理1 單調連續(xù)函數的反函數在其對應區(qū)間上也是單調連續(xù)函數 設f x g x 均在點處連續(xù) 則也在處連續(xù) 因此 基本初等函數在其定義域內連續(xù) 定理2 定理3 即 因此 一切初等函數在其定義區(qū)間內連續(xù) 1 4 4閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 定理4 最值定理 閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定有最大值和最小值 注 對于在開區(qū)間或在閉區(qū)間上有間斷點的函數 結論不一定成立 定理5 介值定理 設函數f x 在 a b 上連續(xù) 且 為介于f a 與f b 之間的任一實數 則至少存在一點 使得 推論 如果函數f x 在 a b 上連續(xù) 且則至少存在一點 使得