第九節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考綱傳真1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法.2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.3.理解數(shù)形結(jié)合的思想1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系設(shè)直線l：AxByC0，圓錐曲線C：F(x，y)0，由消去y得到關(guān)于x的方程ax2bxc0.(1)當(dāng)a0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則0直線l與圓錐曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)；0直線l與圓錐曲線C有一個(gè)公共點(diǎn)；0直線l與圓錐曲線C有零個(gè)公共點(diǎn)(2)當(dāng)a0時(shí)，圓錐曲線C為拋物線或雙曲線當(dāng)C為雙曲線時(shí)，l與雙曲線的漸近線平行或重合，它們的公共點(diǎn)有1個(gè)或0個(gè)當(dāng)C為拋物線時(shí)，l與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合，它們的公共點(diǎn)有1個(gè)2圓錐曲線的弦長公式設(shè)斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|·|x1x2|··.1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)()(2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)()(3)過拋物線y22px(p>0)焦點(diǎn)的弦中最短弦的弦長是2p.()(4)若拋物線上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)，則l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)()解析(1)對(duì)橢圓是個(gè)封閉圖形，直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，一定相切(2)錯(cuò)當(dāng)直線l與漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但不相切(3)對(duì)可轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離來證明(3)正確(4)錯(cuò)當(dāng)直線l為對(duì)稱軸時(shí)，l與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)答案(1)(2)×(3)(4)×2(教材改編)直線yk(x1)1與橢圓1的位置關(guān)系是()A相交B相切C相離D不確定A直線yk(x1)1恒過定點(diǎn)(1,1)，又點(diǎn)(1,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交3(20xx·全國卷)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y28x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|()A3B6C9D12B拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2,0)，橢圓中c2，又，a4，b2a2c212，從而橢圓方程為1.拋物線y28x的準(zhǔn)線為x2，xAxB2，將xA2代入橢圓方程可得|yA|3，由圖像可知|AB|2|yA|6.故選B.4已知一條過點(diǎn)P(2,1)的直線與拋物線y22x交于A，B兩點(diǎn)，且P是弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962422】xy10依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y2x1，y2x2，兩式相減得yy2(x1x2)，即1，直線AB的斜率為1，直線AB的方程是y1x2，即xy10.5(20xx·濟(jì)南質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2y21右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若點(diǎn)P到直線xy10的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為_設(shè)P(x，y)(x1)，因?yàn)橹本€xy10平行于漸近線xy0，所以c的最大值為直線xy10與漸近線xy0之間的距離，由兩平行線間的距離公式知，該距離為.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(1,0)，且點(diǎn)P(0,1)在C1上(1)求橢圓C1的方程；(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2：y24x相切，求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962423】解(1)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1(1,0)，所以c1，2分又點(diǎn)P(0,1)在曲線C1上，所以1，得b1，則a2b2c22，所以橢圓C1的方程為y21.5分(2)由題意可知，直線l的斜率顯然存在且不等于0，設(shè)直線l的方程為ykxm，由6分消去y得(12k2)x24kmx2m220.因?yàn)橹本€l與橢圓C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0，整理得2k2m210.8分由消去y得k2x2(2km4)xm20.因?yàn)橹本€l與拋物線C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.綜合，解得或10分所以直線l的方程為yx或yx.12分規(guī)律方法1.判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去x(或y)，判定該方程組解的個(gè)數(shù)，方程組有幾組解，直線與圓錐曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)但應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)消元后需要討論含x2(或y2)項(xiàng)的系數(shù)是否為0；(2)重視“判別式”起的限制作用2對(duì)于選擇題、填空題，要充分利用幾何條件，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法直觀求解，優(yōu)化解題過程變式訓(xùn)練1(20xx·江蘇高考改編)如圖8­9­1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：xy20，拋物線C：y22px(p>0)圖8­9­1(1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；(2)當(dāng)p1時(shí)，若拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)解(1)拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為.2分由點(diǎn)在直線l：xy20上，得020，即p4.所以拋物線C的方程為y28x.5分(2)當(dāng)p1時(shí)，曲線C：y22x.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)M(x0，y0).7分因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為1，則可設(shè)其方程為yxb.由消去x，得y22y2b0.(*)9分因?yàn)镻和Q是拋物線l的兩相異點(diǎn)，則y1y2.從而44×1×(2b)8b4>0.(*)因此y1y22，所以y01.又M(x0，y0)在直線l上，所以x01.所以點(diǎn)M(1，1)，此時(shí)b0滿足(*)式故線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，1).12分直線與圓錐曲線中弦長問題(20xx·西安模擬)如圖8­9­2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，且右焦點(diǎn)F(1,0)，且已知直線l的方程為x2.圖8­9­2(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若|PC|2|AB|，求直線AB的方程解(1)由題意且c1，知a，則b1，3分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.5分(2)當(dāng)ABx軸時(shí)，AB，又CP3，不合題意當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，6分將AB的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，則x1,2，C的坐標(biāo)為，且AB.8分若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意從而k0，故直線PC的方程為y，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而PC.10分因?yàn)镻C2AB，所以，解得k±1.此時(shí)直線AB方程為yx1或yx1.12分規(guī)律方法1.求弦長時(shí)可利用弦長公式，由直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式，然后進(jìn)行整體代入弦長公式求解2當(dāng)涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可靈活利用圓錐曲線的定義求解變式訓(xùn)練2設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若··8，求k的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962424】解(1)設(shè)F(c,0)，由，知ac.過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為xc，代入橢圓方程有1，解得y±，于是，解得b.3分又a2c2b2，從而a，c1，所以橢圓的方程為1.5分(2)設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直線CD的方程為yk(x1)，6分由方程組消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由于48k248>0恒成立，則x1x2，x1x2.8分因?yàn)锳(，0)，B(，0)，所以··(x1，y1)·(x2，y2)(x2，y2)·(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.10分由已知得68，解得k±.12分有關(guān)弦的中點(diǎn)問題橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)若AB2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC的斜率為，求橢圓的方程解由得(ab)x22bxb10.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，3分依題意得axby1，且axby1，兩式相減，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，5分又1，kOC，代入上式可得ba.8分再由|AB|x2x1|x2x1|2，得(x1x2)24x1x24，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的兩根，故4·4，10分將ba代入得a，b.所求橢圓的方程是1.12分規(guī)律方法涉及弦的中點(diǎn)與直線的斜率問題，可考慮“點(diǎn)差法”，構(gòu)造出kAB和x1x2，y1y2，整體代換，求出中點(diǎn)或斜率，體現(xiàn)“設(shè)而不求”的思想變式訓(xùn)練3已知(4,2)是直線l被橢圓1所截得的線段的中點(diǎn)，則l的方程是_x2y80設(shè)直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)則1，且1，兩式相減得.又x1x28，y1y24，所以，故直線l的方程為y2(x4)，即x2y80.思想與方法1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長計(jì)算，定點(diǎn)、最值問題很好地滲透函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點(diǎn)題型2涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(即應(yīng)用弦長公式)3涉及弦中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化易錯(cuò)與防范1直線與圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，易誤認(rèn)為直線與曲線一定相切，也可能是直線與雙曲線，直線與拋物線相交于一點(diǎn)2“點(diǎn)差法”具有不等價(jià)性，要考慮判別式“”是否為正數(shù)3涉及定點(diǎn)、定值問題，切忌“特殊代替一般”，盲目簡單化