第六章 推理與證明章末檢測一、選擇題1由112,1322,13532,135742，得到13(2n1)n2用的是()A歸納推理 B演繹推理 C類比推理 D特殊推理答案A2在ABC中，E、F分別為AB、AC的中點，則有EFBC，這個問題的大前提為()A三角形的中位線平行于第三邊B三角形的中位線等于第三邊的一半CEF為中位線DEFBC答案A解析這個三段論推理的形式為：大前提：三角形的中位線平行于第三邊；小前提：EF為ABC的中位線；結(jié)論：EFBC.3對大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運算有如下分解方式：22133213542135723353379114313151719根據(jù)上述分解規(guī)律，若m213511，n3的分解中最小的正整數(shù)是21，則mn()A10 B11 C12 D13答案B解析m213511636，m6.2335,337911，4313151719，532123252729，n3的分解中最小的數(shù)是21，n353，n5，mn6511.4用反證法證明命題“是無理數(shù)”時，假設正確的是()A假設是有理數(shù) B假設是有理數(shù)C假設或是有理數(shù) D假設是有理數(shù)答案D解析應對結(jié)論進行否定，則不是無理數(shù)，即是有理數(shù)5已知f(x1)，f(1)1(xN*)，猜想f(x)的表達式為()A. B. C. D.答案B解析當x1時，f(2)，當x2時，f(3)；當x3時，f(4)，故可猜想f(x)，故選B.6對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；ab與bc及ac中至少有一個成立；ac，bc，ab不能同時成立其中判斷正確的個數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案B解析若(ab)2(bc)2(ca)20，則abc，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)”矛盾，故正確ab與bc及ac中最多只能有一個成立，故不正確由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個數(shù)相等或三個數(shù)都互不相等，故不正確7我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體下列幾何體中，一定屬于相似體的有()兩個球體；兩個長方體；兩個正四面體；兩個正三棱柱；兩個正四棱錐A4個 B3個 C2個 D1個答案C解析類比相似形中的對應邊成比例知，屬于相似體8數(shù)列an滿足a1，an11，則a2 013等于()A. B1 C2 D3答案C解析a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)a2 013a33670a32.9定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x4)，且f(x)在(2，)上為增函數(shù)已知x1x2<4且(x12)(x22)<0，則f(x1)f(x2)的值()A恒小于0 B恒大于0C可能等于0 D可正也可負答案A解析不妨設x12<0，x22>0，則x1<2，x2>2，2<x2<4x1，f(x2)<f(4x1)，即f(x2)>f(4x1)，從而f(x2)>f(4x1)f(x1)，f(x1)f(x2)<0.10黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是()A4n2 B4n2 C2n4 D3n3答案A解法一(歸納猜想法)觀察可知：除第一個以外，每增加一個黑色地板磚，相應的白地板磚就增加四個，因此第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是一個“以6為首項，公差是4的等差數(shù)列的第n項”故第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是4n2.法二(特殊值代入排除法)或由圖可知，當n1時，a16，可排除B答案當n2時，a210，可排除C、D答案二、填空題11(2013陜西(文)觀察下列等式： (11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135按此規(guī)律，第n個等式可為_答案(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)12f(n)1(nN*)，經(jīng)計算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推測當n2時，有_答案f(2n)>(n2)解析觀測f(n)中n的規(guī)律為2k(k1,2，)不等式右側(cè)分別為，k1,2，f(2n)>(n2)13用數(shù)學歸納法證明：1時，由nk到nk1左邊需要添加的項是()A. B.C. D.答案D解析由nk到nk1時，左邊需要添加的項是.故選D.14觀察下列等式：132332,13233362,13233343102，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為_答案132333435363212解析由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關系如下：123,1236,123410，即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)故第五個等式為：132333435363(123456)2212.三、解答題15已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù)求證三個方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一個方程有兩個相異實根證明反證法：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，則14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20.由題意a、b、c互不相等，式不能成立假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根16設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？(1)證明假設數(shù)列Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因為a10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾，所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)解當q1時，Snna1，故Sn是等差數(shù)列；當q1時，Sn不是等差數(shù)列，否則2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，這與公比q0矛盾17如圖所示為m行m1列的士兵方陣(mN，m2)(1)寫出一個數(shù)列，用它表示當m分別是2,3,4,5，時，方陣中士兵的人數(shù)；(2)若把(1)中的數(shù)列記為an，歸納該數(shù)列的通項公式；(3)求a10，并說明a10表示的實際意義；(4)已知an9 900，問an是數(shù)列的第幾項？解(1)當m2時，表示一個2行3列的士兵方陣，共有6人，依次可以得到當m3、4、5，時的士兵人數(shù)分別為12,20,30，.故所求數(shù)列為6,12,20,30，.(2)因為a123，a234，a345，所以猜想an(n1)(n2)，nN*.(3)a101112132.a10表示有11行12列的士兵方陣的人數(shù)為132.(4)令(n1)(n2)9 900，所以n98，即an是數(shù)列的第98項，此時方陣有99行100列18設f(n)1，是否存在關于自然數(shù)n的函數(shù)g(n)，使等式f(1)f(2)f(n1)g(n)f(n)1對于n2的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論解當n2時，由f(1)g(2)f(2)1，得g(2)2，當n3時，由f(1)f(2)g(3)f(3)1，得g(3)3，猜想g(n)n(n2)下面用數(shù)學歸納法證明：當n2時，等式f(1)f(2)f(n1)nf(n)1恒成立當n2時，由上面計算可知，等式成立假設nk(kN*且k2)時，等式成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1(k2)成立，那么當nk1時，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)1，當nk1時，等式也成立由知，對一切n2的自然數(shù)n等式都成立，故存在函數(shù)g(n)n，使等式成立