4.3.2函數(shù)的極大值和極小值一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?a，b)，yf(x)的圖象如圖，則函數(shù)yf(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)取得極小值的點(diǎn)有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)答案A解析當(dāng)滿足f(x)0的點(diǎn)，左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0時(shí)，該點(diǎn)為極小值點(diǎn)，觀察題圖，只有一個(gè)極小值點(diǎn)2“函數(shù)yf(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)取得極值”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析對(duì)于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0處取極值，反之成立故選B.3若a0，b0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9答案D解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1處有極值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ab9，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí)等號(hào)成立，ab的最大值為9.4函數(shù)yx33x29x(2x2)有()A極大值5，極小值27B極大值5，極小值11C極大值5，無(wú)極小值D極小值27，無(wú)極大值答案C解析由y3x26x90，得x1或x3，當(dāng)x1或x3時(shí)，y0，當(dāng)1x3時(shí)，y<0.故當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極大值5；x取不到3，故無(wú)極小值5函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x3既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，1)(2，)解析f(x)3x26ax3(a2)，令3x26ax3(a2)0，即x22axa20，函數(shù)f(x)有極大值和極小值，方程x22axa20有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即4a24a80，解得a2或a1.6若函數(shù)yx33axa在(1,2)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1,4)解析y3x23a，當(dāng)a0時(shí)，y0，函數(shù)yx33axa為單調(diào)函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng)a0時(shí)，y3x23a0x，不難分析，當(dāng)12，即1a4時(shí)，函數(shù)yx33axa在(1,2)內(nèi)有極小值7求函數(shù)f(x)x2ex的極值解函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(x)2xexx22xexx2exx(2x)ex，令f(x)0，得x0或x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)04e2由上表可以看出，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)有極小值，且為f(0)0；當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極大值，且為f(2)4e2.二、能力提升8已知函數(shù)f(x)，xR，且在x1處，f(x)存在極小值，則()A當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0B當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0C當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0D當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0答案C解析f(x)在x1處存在極小值，x1時(shí)，f(x)0，x1時(shí)，f(x)0.9(2013福建)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，x0(x00)是f(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的極小值點(diǎn)Cx0是f(x)的極小值點(diǎn)Dx0是f(x)的極小值點(diǎn)答案D解析x0(x00)是f(x)的極大值點(diǎn)，并不是最大值點(diǎn)故A錯(cuò)；f(x)相當(dāng)于f(x)關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象的函數(shù)，故x0應(yīng)是f(x)的極大值點(diǎn)，B錯(cuò)；f(x)相當(dāng)于f(x)關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象的函數(shù)，故x0應(yīng)是f(x)的極小值點(diǎn)跟x0沒(méi)有關(guān)系，C錯(cuò)；f(x)相當(dāng)于f(x)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱圖象的函數(shù)故D正確10.如果函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；函數(shù)yf(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)yf(x)有極小值；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)yf(x)有極大值則上述判斷正確的是_(填序號(hào))答案解析函數(shù)的單調(diào)性由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定，當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，2)上為減函數(shù)，同理f(x)在(2,4)上為減函數(shù)，在(2,2)上是增函數(shù)，在(4，)上為增函數(shù)，所以可排除和，可選擇.由于函數(shù)在x2的左側(cè)遞增，右側(cè)遞減，所以當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極大值；而在x的左右兩側(cè)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是正數(shù)，故函數(shù)在x的左右兩側(cè)均為增函數(shù)，所以x不是函數(shù)的極值點(diǎn)排除和.11已知f(x)x3mx22m2x4(m為常數(shù)，且m0)有極大值，求m的值解f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，則xm或xm.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)極大值極小值f(x)極大值f(m)m3m32m34，m1.12設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的極值；(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)？解(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，則x或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)的極大值是fa，極小值是f(1)a1.(2)函數(shù)f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f(x)0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有f(x)0，所以曲線yf(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)由(1)知f(x)極大值f a，f(x)極小值f(1)a1.曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，f(x)極大值0或f(x)極小值0，即a0或a10，a或a1，當(dāng)a(1，)時(shí)，曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)三、探究與創(chuàng)新13(2013新課標(biāo))已知函數(shù)f(x)exln(xm)(1)設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)0.(1)解f(x)ex.由x0是f(x)的極值點(diǎn)得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定義域?yàn)?1，)，f(x)ex.函數(shù)f(x)ex在(1，)單調(diào)遞增，且f(0)0，因此當(dāng)x(1,0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(1,0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增(2)證明當(dāng)m2，x(m，)時(shí)，ln(xm)ln(x2)，故只需證明當(dāng)m2時(shí)，f(x)0.當(dāng)m2時(shí)，函數(shù)f(x)ex在(2，)單調(diào)遞增又f(1)0，f(0)0，故f(x)0在(2，)有唯一實(shí)根x0，且x0(1,0)當(dāng)x(2，x0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)0，從而當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值由f(x0)0得ex0，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.綜上，當(dāng)m2時(shí)，f(x)0.