專題02 參數(shù)方程知識(shí)通關(guān)1曲線的參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)2參數(shù)方程與普通方程的互化通過(guò)消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程，如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系yg(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致（1）參數(shù)方程化為普通方程基本思路是消去參數(shù),常用的消參方法有:代入消元法;加減消元法;恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法等,其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程的技巧.對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參.如等.（2）普通方程化為參數(shù)方程曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單;當(dāng)參數(shù)取某一值時(shí),可以唯一確定x,y的值.一般地,與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問(wèn)題,常采用旋轉(zhuǎn)角作為參數(shù);與直線有關(guān)的常選用直線的傾斜角、斜率、截距作為參數(shù);與實(shí)踐有關(guān)的問(wèn)題,常取時(shí)間作為參數(shù).此外,也常常用線段的長(zhǎng)度、某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))作為參數(shù).3常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程普通方程參數(shù)方程過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0),為直線的傾斜角的直線yy0tan (xx0)(t為參數(shù))圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓x2y2r2(為參數(shù))中心在原點(diǎn)的橢圓(a>b>0)(為參數(shù))【注】（1）在直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離（2）若圓心在點(diǎn)M0(x0,y0),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).（3）若橢圓的中心不在原點(diǎn),而在點(diǎn)M0(x0,y0),相應(yīng)的橢圓參數(shù)方程為(t為參數(shù)).基礎(chǔ)通關(guān)1了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.題組一 參數(shù)方程與普通方程的互化（1）將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換消去參數(shù)（2）把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意哪一個(gè)量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對(duì)普通方程中x及y的取值范圍的影響，要保持同解變形【例1】已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))（1）求直線l和圓C的普通方程；（2）若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】（1）直線l的普通方程為2xy2a0，圓C的普通方程為x2y216.（2）因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn)，故圓C的圓心到直線l的距離，解得2a2.題組二 參數(shù)方程及其應(yīng)用（1）解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題（2）對(duì)于形如(t為參數(shù))，當(dāng)a2b21時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題【例2】已知曲線C：，直線l：(t為參數(shù)). （1）寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；（2）過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值【解析】（1）曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.（2）曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos ，3sin )到l的距離為d|4cos 3sin 6|，則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為.故|PA|的最大值與最小值分別為，.能力通關(guān)1直線參數(shù)方程的應(yīng)用:直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程主要用來(lái)解決過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)或距離問(wèn)題.它可以避免求交點(diǎn)時(shí)解方程組的煩瑣運(yùn)算,但應(yīng)用直線的參數(shù)方程時(shí),需先判斷是否是標(biāo)準(zhǔn)形式再考慮參數(shù)的幾何意義.設(shè)過(guò)點(diǎn)M(x0，y0)的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，注意以下兩個(gè)結(jié)論的應(yīng)用：(1)|AB|t1t2|；(2)|MA|MB|t1t2|.2圓的參數(shù)方程突出了工具性作用,應(yīng)用時(shí),把圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題,利用三角函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題.3參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程求解時(shí)，充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，可化繁為簡(jiǎn)利用參數(shù)的幾何意義解決問(wèn)題【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（I）寫(xiě)出直線的直角坐標(biāo)方程以及曲線C的極坐標(biāo)方程；（II）若，且直線與曲線C交于兩點(diǎn)，求的值.【解析】（I）依題意，曲線C：，即，故曲線C的極坐標(biāo)方程為；因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，即，所以直線的直角坐標(biāo)方程為.坐標(biāo)系與參數(shù)方程的綜合問(wèn)題【例2】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，因?yàn)榍€是直線，所以的最小值即點(diǎn)到直線的距離的最小值，易得點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)）經(jīng)伸縮變換后的曲線為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知是曲線上兩點(diǎn)，且，求的取值范圍.【解析】（1）曲線化為普通方程為：，由得，代入上式可知：曲線的方程為，即，曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，（），因?yàn)?，所以的取值范圍?高考通關(guān)1在平面直角坐標(biāo)系中，直線（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線：.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）試判斷直線與曲線是否相交，若相交，請(qǐng)求出弦長(zhǎng)；若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由消去得，所以直線的普通方程為.由兩邊同乘以得，因?yàn)?，所以，配方得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）法一：由（1）知，曲線的圓心為，半徑為2，由圓心到直線的距離公式得到直線的距離，所以直線與曲線相交，設(shè)交點(diǎn)為、，所以.所以直線與曲線相交，其弦長(zhǎng)為.法二：由（1）知，聯(lián)立方程，得，消去得，因?yàn)?，所以直線與曲線相交，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，由根與系數(shù)的關(guān)系知，所以，所以直線與曲線相交，其弦長(zhǎng)為.2在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求直線l的極坐標(biāo)方程；（2）若射線與直線l交于點(diǎn)P,與曲線C交于點(diǎn)Q(Q與原點(diǎn)O不重合),求的值【解析】（1）由消去t得直線的普通方程為,把,代入得直線l的極坐標(biāo)方程為.（2）由題意可得,所以=.3已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求點(diǎn)的極坐標(biāo)及曲線的參數(shù)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，若，求直線的直角坐標(biāo)方程.【解析】（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.曲線的極坐標(biāo)方程為，由得，曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（2）顯然直線的斜率存在， 可設(shè)直線的方程為，即，圓的半徑為1，圓的圓心到直線的距離為，化簡(jiǎn)得，解得或，直線的直角坐標(biāo)方程為或.4已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合、極軸與軸的正半軸重合，直線的極坐標(biāo)方程為（1）求直線的參數(shù)方程；（2）設(shè)與曲線為參數(shù)）相交于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之積【解析】（1）因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，化為直角坐標(biāo)方程即，顯然直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，因此直線的參數(shù)方程為，即5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（）若曲線與曲線交于兩點(diǎn)，求.【解析】（）消掉參數(shù)，得曲線的普通方程為，即.曲線的方程可化為：，顯然，所以化為直角坐標(biāo)方程為，化簡(jiǎn)得.方法二：將曲線的參數(shù)方程化為（為參數(shù)），并代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得，整理得.由求根公式解得，故.