專題突破練(3)三角函數(shù)與其他知識的綜合應(yīng)用一、選擇題1若f(cosx)cos2x，則f(sin15)()A B C D答案C解析f(sin15)f(cos75)cos150cos30故選C2點P從(2，0)點出發(fā)，沿圓x2y24按逆時針方向運動弧長到達點Q，則點Q的坐標(biāo)為()A(1，) B(，1)C(1，) D(，1)答案A解析弧長所對的圓心角為，設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x，y)，x2cos1，y2sin故選A3有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題：p1：x0R，sin2cos2；p2：x0，y0R，sin(x0y0)sinx0siny0；p3：x0，sinx；p4：sinxcosyxy其中是假命題的是()Ap1，p4 Bp2，p4 Cp1，p3 Dp3，p4答案A解析p1是假命題，xR，sin2cos21；p2是真命題，如xy0時成立；p3是真命題，x0，sinx0，|sinx|sinx；p4是假命題，x，y2時，sinxcosy，但xy故選A4ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，向量p(1，)，q(cosB，sinB)，pq且bcosCccosB2asinA，則C()A30 B60 C120 D150答案A解析pq，cosBsinB，即得tanB，B120，bcosCccosB2asinA，由正弦定理得sinBcosCsinCcosB2sin2A，即sinAsin(BC)2sin2A，sinA0得sinA，A30，C180AB30故選A5(2018福州五校聯(lián)考二)已知a2，b(2log23)，ccos50cos10cos140sin170，則實數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是()Aa>c>b Bb>a>c Ca>b>c Dc>b>a答案C解析因為a2，b(2log23)3，所以a>b，排除B，D；ccos50cos10cos140sin170sin40cos10cos40sin10sin30，所以b>c，所以a>b>c選C6(2018河北保定一模)國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖)如果小正方形的邊長為2，大正方形的邊長為10，直角三角形中較小的銳角為，則sincos()A BC D答案A解析設(shè)直角三角形中較小的直角邊長為a，則a2(a2)2102，解得a6，所以sin，cos，sincoscoscossincossin故選A7(2018河南十所名校測試)已知函數(shù)f(x)2sinx的兩個極值點為，且|min，則函數(shù)f(x)在0，上的最大值為()A B1 C D2答案D解析由題意得f(x)的最小正周期為T，所以2，即f(x)2sin2x，因為x0，所以2x，所以f(x)的最大值為2故選D8(2018江西吉安模擬)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)g(x)sin的一個單調(diào)遞增區(qū)間為()A B C D答案A解析fffcos，g(x)sinsin2xcos2x，令2k2x2k，求得kxk，可得g(x)的增區(qū)間為，kZ，令k0，可得增區(qū)間為故選A9(2018山東濟南二模)如圖，半徑為1的圓O中，A，B為直徑的兩個端點，點P在圓上運動，設(shè)BOPx，將動點P到A，B兩點的距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則yf(x)在0，2上的圖象大致為()答案A解析由余弦定理，當(dāng)0x時，PB2sin，PA2cos，PBPA2sin2cos2sin，當(dāng)x2時，PB2sin，PA2cos，PBPA2sin2cos2sin故選A10(2018南昌一模)函數(shù)f(x)(x)的圖象大致為()答案A解析由f(x)f(x)，知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除B；由于exex0，0x時，sinx0，所以f(x)0，排除D；考查函數(shù)g(x)exex，則g(x)exex，當(dāng)x0時，g(x)0，所以函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，則gg，且ysinx在0，上單調(diào)遞增，所以ff，排除C故選A11(2019湖南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)xsinx(xR)，且f(y22y3)f(x24x1)0，則當(dāng)y1時，的取值范圍是()A， B，1C1，33 D，答案A解析函數(shù)f(x)xsinx(xR)為奇函數(shù)，又f(x)1cosx0，所以函數(shù)f(x)在實數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x24x1)f(y22y3)，即(x2)2(y1)21，當(dāng)y1時表示的區(qū)域為半圓及其內(nèi)部，令k，其幾何意義為過點(1，0)與半圓相交或相切的直線的斜率，斜率最小時直線過點(3，1)，此時kmin，斜率最大時直線剛好與半圓相切，圓心到直線的距離d1(k>0)，解得kmax故選A12(2018邯鄲摸底)若函數(shù)f(x)恰有4個零點，則實數(shù)m的取值范圍為()A，B，C，D，答案B解析令g(x)sin2x，h(x)cos2x，在同一坐標(biāo)系中作出g(x)，h(x)在，上的圖象，如圖所示g(x)在，上的零點為，；h(x)在，上的零點為，由題f(x)在，上恰有4個零點，結(jié)合圖象可知，當(dāng)m，時，滿足題意故選B二、填空題13(2019湖南衡陽模擬)如圖，圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標(biāo)為，AOC，若|BC|1，則cos2sincos的值為_答案解析由221及點B在圓O上，知圓O為單位圓，所以O(shè)CB為正三角形，所以BOC，AOB，由三角函數(shù)定義知sin，所以cos2sincoscossinsin14(2018南昌二模)如圖，有一塊半徑為20 m，圓心角AOB的扇形展示臺，展示臺分成了四個區(qū)域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD(其中AOCBOD)，某次菊花展分別在這四個區(qū)域擺放：泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜預(yù)計這三種菊花展示帶來的日效益分別是50元/m2、30元/m2、40元/m2為使預(yù)計日總效益最大，COD的余弦值應(yīng)等于_答案解析由題知半徑r 20，設(shè)COD，則日總效益為f()r2sin50r2r2sin30r2404000sin2000，而f()4000cos2000，令f()0，可得cos，易知此時日總效益f()取得最大值15(2018河北唐山摸底)ABC的垂心H在其內(nèi)部，A60，AH1，則BHCH的取值范圍是_答案(，2解析因為ABC為銳角三角形，設(shè)BAH，且(0，60)，所以BH2AHsin2sin，CH2AHsin(60)2sin(60)，所以BHCH2sin2sin(60)2sincossin2sin(60)，又由(0，60)，則60(60，120)，所以2sin(60)(，2，即BHCH的取值范圍是(，216(2018河南一模)如圖，OA，OB為扇形湖面OAB的湖岸，現(xiàn)欲利用漁網(wǎng)和湖岸在湖中隔出兩個養(yǎng)殖區(qū)區(qū)域和區(qū)域，點C在上，COA，CDOA，其中，半徑OC及線段CD需要用漁網(wǎng)制成若AOB，OA1，則所需漁網(wǎng)的最大長度為_答案解析由CDOA，AOB，COA可得OCD，ODC，COD，在OCD中利用正弦定理可得CDsin，0，設(shè)漁網(wǎng)的長度為f()，則f()1sin，f()1cos，0，則0，令f()0，則cos，0，f()0f()極大值則f()2，故所需漁網(wǎng)的最大長度為三、解答題17(2018河北石家莊質(zhì)檢一)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(ac)2b2ac(1)求cosB的值；(2)若b，且sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，求ABC的面積解(1)由(ac)2b2ac，可得a2c2b2ac，即cosB(2)b，cosB，b213a2c2ac(ac)2ac，又sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，由正弦定理，得ac2b2，1352ac，ac12由cosB，得sinB，ABC的面積SABCacsinB1218(2018湖北八市聯(lián)考)函數(shù)f(x)sin(x)>0，|<在它的某一個周期內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是，將yf(x)的圖象先向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變)，所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記為g(x)(1)求g(x)的解析式；(2)設(shè)ABC的三邊a，b，c滿足b2ac，且邊b所對角為x，若關(guān)于x的方程g(x)k有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍解(1)由題意得函數(shù)f(x)的最小正周期T，且，則T，2，又sin21，|<，f(x)sin2x，g(x)sin4x(2)cosx(當(dāng)且僅當(dāng)ac時，取等號)，0<x，<4x，則由圖象可得<k<119(2018安徽六校聯(lián)考二)ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足1(1)求A的大?。?2)若ABC為銳角三角形，求函數(shù)y2sin2B2cosBcosC的值域解(1)由1，得1，因為A，B，C為ABC的內(nèi)角，所以cosA，所以A(2)因為ABC，A，所以BC，則y2sin2B2cosBcosC1cos2B2cosBcosBsin2B，又ABC為銳角三角形，所以<B<，所以<2B<，所以sin2B，1，所以所求函數(shù)的值域為，220(2018云南師大附中月考)在公比為2的等比數(shù)列an中，a2與a5的等差中項是9(1)求a1的值；(2)若函數(shù)y|a1|sin，|<的一部分圖象如圖所示，M(1，|a1|)，N(3，|a1|)為圖象上的兩點，設(shè)MPN，其中點P與原點O重合，0<<，求tan()的值解(1)由題可知a2a518，又a58a2，故a22，a1(2)點M(1，|a1|)在函數(shù)y|a1|sin的圖象上，sin1又|<，如圖，連接MN，在MPN中，由余弦定理，得cos又0<<，tan()tantan221(2018河南洛陽統(tǒng)考)如圖，在平面四邊形ABDC中，CADBAD30(1)若ABC75，AB10，且ACBD，求CD的長；(2)若BC10，求ACAB的取值范圍解(1)依題有ACB45，在ABC中，由正弦定理知，從而CB5因為ACBD，故CADADB，ACBCBD在ABD中，ADB30BAD，所以DBAB10在BCD中，CD5(2)在ABC中，易知ACAB>BC10，由余弦定理知cos60，整理知(ABAC)21003ABAC，由基本不等式知ABAC22，解得ABAC20故ABAC的取值范圍為(10，20