專題突破四數(shù)列求和學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握分組分解求和法的使用情形和解題要點(diǎn).2.掌握奇偶并項(xiàng)求和法的使用情形和解題要點(diǎn).3.掌握裂項(xiàng)相消求和法的使用情形和解題要點(diǎn).4.進(jìn)一步熟悉錯(cuò)位相減法知識(shí)點(diǎn)一分組分解求和法思考求和：123.答案123(123n)1.總結(jié)分組分解求和的基本思路：通過(guò)分解每一項(xiàng)重新組合，化歸為等差數(shù)列和等比數(shù)列求和知識(shí)點(diǎn)二奇偶并項(xiàng)求和法思考求和122232429921002.答案122232429921002(1222)(3242)(9921002)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5050.總結(jié)奇偶并項(xiàng)求和的基本思路：有些數(shù)列單獨(dú)看求和困難，但相鄰項(xiàng)結(jié)合后會(huì)變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和但當(dāng)求前n項(xiàng)和而n是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定時(shí)，往往需要討論知識(shí)點(diǎn)三裂項(xiàng)相消求和法思考我們知道，試用此公式求和：.答案由得11.總結(jié)如果數(shù)列的項(xiàng)能裂成前后抵消的兩項(xiàng)，可用裂項(xiàng)相消求和，此法一般先研究通項(xiàng)的裂法，然后仿照裂開(kāi)每一項(xiàng)裂項(xiàng)相消求和常用公式：(1)()；(2)()；(3)()；(4)知識(shí)點(diǎn)四錯(cuò)位相減求和法思考記bnn2n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.答案Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n+1，得Sn212223242nn2n+12(n1)2n+1.Sn2(n1)2n+1，nN.總結(jié)錯(cuò)位相減法主要適用于an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和利用“錯(cuò)位相減法”時(shí)，先寫(xiě)出Sn與qSn的表達(dá)式，再將兩式對(duì)齊作差，正確寫(xiě)出(1q)Sn的表達(dá)式；(利用此法時(shí)要注意討論公比q是否等于1)1并項(xiàng)求和一定是相鄰兩項(xiàng)結(jié)合()2裂項(xiàng)相消一定是相鄰兩項(xiàng)裂項(xiàng)后產(chǎn)生抵消()題型一分組分解求和例1求和：Sn222(x0)解當(dāng)x1時(shí)，Sn222(x2x4x2n)2n2n2n；當(dāng)x1時(shí)，Sn4n.綜上知，Sn反思感悟某些數(shù)列，通過(guò)適當(dāng)分組，可得出兩個(gè)或幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和跟蹤訓(xùn)練1已知正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a1a26，a3a424.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn滿足bnlog2an，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q>0)，則解得ana1qn-122n-12n.(2)bnlog22nn，設(shè)anbn的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)(2222n)(12n)2n+12n2n.題型二裂項(xiàng)相消求和例2求和：，n2，nN.解，原式(n2，nN)引申探究求和：，n2，nN.解1，原式(n1)以下同例2解法反思感悟求和前一般先對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式變形，如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可轉(zhuǎn)化為f(n1)f(n)的形式，常采用裂項(xiàng)求和法跟蹤訓(xùn)練2求和：1，nN.解an2，Sn2.題型三奇偶并項(xiàng)求和例3求和：Sn1357(1)n(2n1)解當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2(2n1)n.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2n.Sn(1)nn (nN)反思感悟通項(xiàng)中含有(1)n的數(shù)列求前n項(xiàng)和時(shí)可以考慮使用奇偶并項(xiàng)法，分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)分別進(jìn)行求和跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列1,4，7,10，(1)n(3n2)，求其前n項(xiàng)和Sn.解當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令n2k(kN)，SnS2k14710(1)n(3n2)(14)(710)(6k5)(6k2)3kn；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令n2k1(kN)，SnS2k1S2ka2k3k(6k2)23k.Sn題型四錯(cuò)位相減求和例4(2018佛山檢測(cè))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an3Sn2(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn.解(1)當(dāng)n1時(shí)，a13S123a12，解得a11.當(dāng)n2時(shí)，an3Sn2，an13Sn12，兩式相減得anan13an，化簡(jiǎn)得anan1，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以ann-1，nN.(2)由(1)可得nannn-1.Tn102132nn-1，Tn1122(n1)n-1nn，兩式相減得Tn112n-1nnnnn.所以數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tnn.反思感悟用錯(cuò)位相減要“能識(shí)別，按步走，慎化簡(jiǎn)”跟蹤訓(xùn)練4已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n-1，在等差數(shù)列bn中，bn0，且b1b2b315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比數(shù)列(1)求數(shù)列anbn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)an3n1，a11，a23，a39.在等差數(shù)列bn中，b1b2b315，3b215，則b25.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，又a1b1，a2b2，a3b3成等比數(shù)列，(15d)(95d)64，解得d10或d2.bn0，d10應(yīng)舍去，d2，b13，bn2n1.故anbn(2n1)3n-1，nN.(2)由(1)知Tn3153732(2n1)3n-2(2n1)3n-1，3Tn33532733(2n1)3n-1(2n1)3n，得2Tn312323223323n-1(2n1)3n32(332333n1)(2n1)3n32(2n1)3n3n(2n1)3n2n3n.Tnn3n，nN.1數(shù)列12n-1的前n項(xiàng)和為_(kāi)答案Snn2n1，nN解析an12n-1，Snnn2n1.2數(shù)列的前2018項(xiàng)和為_(kāi)答案解析因?yàn)?，所以S201822.3已知數(shù)列an則S100_.答案5000解析由題意得S100a1a2a99a100(a1a3a5a99)(a2a4a100)(02498)(246100)5000.4在數(shù)列an中，a11，an12an2n，nN.(1)設(shè)bn，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)在(1)的條件下求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.(1)證明由已知an12an2n，得bn11bn1.bn1bn1，又b1a11.bn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解由(1)知，bnn，bnn.ann2n-1.Sn1221322n2n-1，兩邊同時(shí)乘以2得2Sn121222(n1)2n-1n2n，兩式相減得Sn121222n-1n2n2n1n2n(1n)2n1，Sn(n1)2n1.求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般有下列幾種方法1錯(cuò)位相減適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和2分組求和把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列3裂項(xiàng)相消有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和4奇偶并項(xiàng)當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)中出現(xiàn)(1)n或(1)n+1時(shí)，常常需要對(duì)n取值的奇偶性進(jìn)行分類討論5倒序相加例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法一、選擇題1數(shù)列2，4，6，的前n項(xiàng)和Sn為()An21Bn22Cn(n1)Dn(n1)答案C2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an，Sn10，則n等于()A90B119C120D121答案C解析an，Sn(1)()()110，n1121，故n120.3數(shù)列，的前n項(xiàng)和為()A.B.C.D.答案B解析由數(shù)列通項(xiàng)公式，得前n項(xiàng)和Sn().4已知數(shù)列an的通項(xiàng)an2n1，nN，由bn所確定的數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和是()A.n(n2) B.n(n4)C.n(n5) D.n(n7)答案C解析a1a2an(2n4)n22n.bnn2，bn的前n項(xiàng)和Sn.5如果一個(gè)數(shù)列an滿足anan1H (H為常數(shù)，nN)，則稱數(shù)列an為等和數(shù)列，H為公和，Sn是其前n項(xiàng)的和，已知等和數(shù)列an中，a11，H3，則S2019等于()A3016B3015C3026D3013答案C解析S2019a1(a2a3a2019)a11009H11009(3)3026.6在數(shù)列an中，a12，an1anln，nN，則an等于()A2lnnB2(n1)lnnC2nlnnD1nlnn答案A解析an1anln，an1anlnlnln(n1)lnn.又a12，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2lnnln12lnn.二、填空題7若Sn1234(1)n1n，nN，則S50_.答案25解析S5012344950(1)2525.8在數(shù)列an中，已知Sn159131721(1)n1(4n3)，nN，則S15S22S31的值是_答案76解析S1547a15285729，S2241144，S31415a316012161，S15S22S3129446176.三、解答題9已知函數(shù)f(x)2x3x1，點(diǎn)(n，an)在f(x)的圖象上，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn.解由題得an2n3n1，Sna1a2an(2222n)3(123n)n3n2n12.10已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5a726，an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.因?yàn)閍37，a5a726，所以解得所以an32(n1)2n1，Sn3n2n22n.所以an2n1，Snn22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn，所以Tn(1)(1)，即數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.11設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an322n1，nN.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)由已知，得當(dāng)n>1時(shí)，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222n1，an22n1，而a12，符合上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1，從而22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n1212已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式(2)令cn設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求T2n.解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，由b2S210，a52b2a3，得解得所以an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，則n為奇數(shù)時(shí)，cn.n為偶數(shù)時(shí)，cn2n1，所以T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)