新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第第 1 1 講講空間幾何體的三視圖及表面積和體積的計(jì)算問題空間幾何體的三視圖及表面積和體積的計(jì)算問題高考定位1.三視圖的識(shí)別和簡(jiǎn)單應(yīng)用；2.簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積計(jì)算，主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，在解答題中，有時(shí)與空間線、面位置證明相結(jié)合，面積與體積的計(jì)算作為其中的一問.真 題 感 悟1.(2016全國卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是283，則它的表面積是()A.17B.18C.20D.28解析由題知， 該幾何體的直觀圖如圖所示， 它是一個(gè)球(被過球心O且互相垂直的三個(gè)平面)切掉左上角的18后得到的組合體，其表面積是球面面積的78和三個(gè)14圓面積之和，易得球的半徑為 2，則得S784223142217.答案A2.(2017全國卷)如圖， 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1， 粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A.90B.63C.42D.36解析法一(割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所示.將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱體從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分.由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的12，所以該幾何體的體積V3243261263.法二(估值法)由題意知，12V圓柱V幾何體V圓柱，又V圓柱321090，45V幾何體90.觀察選項(xiàng)可知只有 63符合.答案B3.(2017全國卷)已知圓柱的高為1， 它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A.B.34C.2D.4解析如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球半徑ROA1，球心到底面圓的距離為OM12.底面圓半徑rOA2OM232，故圓柱體積Vr2h322134.答案B4.(2017全國卷)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC， 三棱錐SABC的體積為 9， 則球O的表面積為_.解析如圖，連接OA，OB，因?yàn)镾AAC，SBBC，所以O(shè)ASC，OBSC.因?yàn)槠矫鍿AC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，且OA平面SAC，所以O(shè)A平面SBC.設(shè)球的半徑為r，則OAOBr，SC2r，所以VASBC13SSBCOA13122rrr13r3，所以13r39r3，所以球的表面積為 4r236.答案36考 點(diǎn) 整 合1.空間幾何體的三視圖(1)幾何體的擺放位置不同，其三視圖也不同，需要注意長對(duì)正、高平齊、寬相等.(2)由三視圖還原幾何體：一般先從俯視圖確定底面，再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體.2.空間幾何體的兩組常用公式(1)柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式：S柱側(cè)ch(c為底面周長，h為高)；S錐側(cè)12ch(c為底面周長，h為斜高)；S臺(tái)側(cè)12(cc)h(c，c分別為上下底面的周長，h為斜高)；S球表4R2(R為球的半徑).(2)柱體、錐體和球的體積公式：V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；V錐體13Sh(S為底面面積，h為高)；V球43R3.熱點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖【例 1】(1)“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是()(2)(2017泰安模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖為直角三角形，則該三棱錐最長的棱長等于()A.4 2B. 34C. 41D.5 2解析(1)由直觀圖知，俯視圖應(yīng)為正方形，又上半部分相鄰兩曲面的交線為可見線，在俯視圖中應(yīng)為實(shí)線，因此，選項(xiàng) B 可以是幾何體的俯視圖.(2)根據(jù)幾何體的三視圖，知該幾何體是底面為直角三角形，兩側(cè)面垂直于底面，高為 5 的三棱錐PABC(如圖所示).棱錐最長的棱長PA 2516 41.答案(1)B(2)C探究提高1.由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn).二要熟悉常見幾何體的三視圖.2.由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.【訓(xùn)練 1】 (1)(2017蘭州模擬)如圖，在底面邊長為 1，高為 2 的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐PBCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()A.1B.2C.3D.4(2)(2016天津卷)將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析(1)設(shè)點(diǎn)P在平面A1ADD1的射影為P，在平面C1CDD1的射影為P，如圖所示.三棱錐PBCD的正視圖與側(cè)視圖分別為PAD與PCD，因此所求面積SSPADSPCD121212122.(2)由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體的直觀圖如圖，故其側(cè)視圖為圖.答案(1)B(2)B熱點(diǎn)二幾何體的表面積與體積命題角度 1空間幾何體的表面積【例 21】(1)(2016全國卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.20B.24C.28D.32(2)(2017全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為 2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A.10B.12C.14D.16解析(1)幾何體是圓錐與圓柱的組合體， 設(shè)圓柱底面圓半徑為r， 周長為c， 圓錐母線長為l，圓柱高為h.由三視圖知r2，c2r4，h4.所以l 22（2 3）24.故該幾何體的表面積S表r2ch12cl416828.(2)由三視圖可畫出直觀圖，該直觀圖各面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形的面，S梯12(24)26，S全梯6212.答案(1)C(2)B探究提高1.由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大小.(2)還原幾何體的直觀圖，套用相應(yīng)的面積公式.2.(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.【訓(xùn)練 2】 (2017棗莊模擬)如圖，某三棱錐的三視圖是三個(gè)邊長相等的正方形及對(duì)角線，若該三棱錐的體積是13，則它的表面積是_.解析由題設(shè)及幾何體的三視圖知，該幾何體是一個(gè)正方體截去 4 個(gè)三棱錐后剩余的內(nèi)接正三棱錐BA1C1D(如圖所示).設(shè)正方體的棱長為a，則幾何體的體積是Va341312a2a13a313，a1，三棱錐的棱長為 2，因此該三棱錐的表面積為S434( 2)22 3.答案2 3命題角度 2空間幾何體的體積【例 22】(1)正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為 2，側(cè)棱長為 3，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐AB1DC1的體積為()A.3B.32C.1D.32(2)(2017山東卷)由一個(gè)長方體和兩個(gè)14圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_.解析(1)如圖，在正ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有AD32AB 3，又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD平面BB1C1C，即AD為三棱錐AB1DC1的底面B1DC1上的高.VAB1DC113SB1DC1AD13122 3 31.(2)該幾何體由一個(gè)長、寬、高分別為 2，1，1 的長方體和兩個(gè)半徑為 1，高為 1 的14圓柱體構(gòu)成，所以V21121412122.答案(1)C(2)22探究提高1.求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上.2.求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解.【訓(xùn)練 3】 (1)(2016山東卷)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為()A.1323B.1323C.1326D.126(2)(2017北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A.60B.30C.20D.10解析(1)由三視圖知該四棱錐是底面邊長為 1，高為 1 的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為22，從而該幾何體的體積為1312112432231326.(2)由三視圖知可把三棱錐放在一個(gè)長方體內(nèi)部，即三棱錐A1BCD，VA1BCD131235410.答案(1)C(2)D熱點(diǎn)三多面體與球的切、接問題【例 3】 (2016全國卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A.4B.92C.6D.323解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則126812(6810)r，所以r2.2r43，不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大.由 2R3，即R32.故球的最大體積V43R392.答案B【遷移探究】若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的 6 個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積.解將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABECA1B1E1C1，則球O是長方體ABECA1B1E1C1的外接球.體對(duì)角線BC1的長為球O的直徑.因此 2R 324212213.故S球4R2169.探究提高1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.【訓(xùn)練 4】 (2017濟(jì)南一中月考)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐OABC體積的最大值為 36，則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256解析因?yàn)锳OB的面積為定值，所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時(shí)，三棱錐OABC的體積取得最大值.由1312R2R36，得R6.從而球O的表面積S4R2144.答案C1.求解幾何體的表面積或體積(1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算.(2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解.(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用.(4)求解幾何體的表面積時(shí)要注意S表S側(cè)S底.2.球的簡(jiǎn)單組合體中幾何體度量之間的關(guān)系，如棱長為a的正方體的外接球、內(nèi)切球、棱切球的半徑分別為32a，a2，22a.3.錐體體積公式為V13Sh，在求解錐體體積中，不能漏掉13.一、選擇題1.(2017北京燕博園研究中心)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A.B.2C.3D.8解析由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐.該幾何體的體積V312131232.答案B2.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是 3，則正視圖中的x的值是()A.2B.92C.32D.3解析由三視圖知， 該幾何體是四棱錐， 底面是直角梯形， 且S底12(12)23.V13x33，解得x3.答案D3.(2017衡陽聯(lián)考)如右圖所示，某空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖相同，則此幾何體的表面積為()A. 6B.23 3C.4D.2 3解析此幾何體為一個(gè)組合體，上為一個(gè)圓錐，下為一個(gè)半球組合而成.表面積為S4212224.答案C4.(2017浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.21B.23C.321D.323解析由三視圖可知原幾何體為半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐的組合體，半圓錐的底面半徑為 1，高為 3，三棱錐的底面積為12211，高為 3.故原幾何體體積為：V1212313131321.答案A5.(2017衡水中學(xué)調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球()A.41 4148B.414C.4D.43解析由三視圖知該幾何體為四棱錐，側(cè)面PBC為側(cè)視圖，PE平面ABC，E，F(xiàn)分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，底面ABCD是邊長是 2 的正方形，如圖所示.設(shè)外接球的球心到平面ABCD的距離為h，則h2212(2h)2，h34，R24116.幾何體的外接球的表面積S4R2414.答案B二、填空題6.(2016四川卷)已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長為 2 的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_.解析由題可知，三棱錐每個(gè)面都是腰為 2 的等腰三角形，由正視圖可得如右俯視圖，且三棱錐高為h1，則體積V13Sh13122 31133.答案337.體積為 8 的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_.解析設(shè)正方體的棱長為a，則a38，解得a2.設(shè)球的半徑為R，則 2R 3a，即R 3.所以球的表面積S4R212.答案128.(2017江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則V1V2的值是_.解析設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為 2R.又V1R22R2R3，V243R3，所以V1V22R343R332.答案32三、解答題9.(2015全國卷)如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)如圖，作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EB112，EMAA18.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EHEFBC10.于是MHEH2EM26，AH10，HB6.故S四邊形A1EHA12(410)856，S四邊形EB1BH12(126)872.因?yàn)殚L方體被平面分成兩個(gè)高為 10 的直棱柱，所以其體積的比值為9779也正確.10.(2017沈陽質(zhì)檢)在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且點(diǎn)O為AC中點(diǎn).(1)證明：A1O平面ABC；(2)求三棱錐C1ABC的體積.(1)證明因?yàn)锳A1A1C，且O為AC的中點(diǎn)，所以A1OAC，又平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，且A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC.(2)解A1C1AC，A1C1 平面ABC，AC平面ABC，A1C1平面ABC，即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離.由(1)知A1O平面ABC且A1OAA21AO2 3，VC1ABCVA1ABC13SABCA1O13122 3 31.11.如圖，四邊形ABCD為菱形，G是AC與BD的交點(diǎn)，BE平面ABCD.(1)證明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱錐EACD的體積為63，求該三棱錐的側(cè)面積.(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD.因?yàn)锽E平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBE，且BEBDB，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)解設(shè)ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGC32x，GBGDx2.因?yàn)锳EEC，所以在 Rt AEC中，可得EG32x.由BE平面ABCD，BG平面ABCD知BEBG，故EBG為直角三角形，可得BE22x.由已知得，三棱錐EACD的體積VEACD1312ACGDBE624x363.故x2.從而可得AEECED 6.所以EAC的面積為 3，EAD的面積與ECD的面積均為 5.故三棱錐EACD的側(cè)面積為 32 5.