第2講大題考法統(tǒng)計與概率考向一統(tǒng)計與概率的綜合問題【典例】 (2017全國卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)天數(shù)21636最高氣溫25,30)30,35)35,40)天數(shù)2574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)(2)設(shè)六月份一天銷售這種(單位：元)當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率審題指導(dǎo)看到表格，想到表中最高氣溫與天數(shù)的對應(yīng)關(guān)系看到估計概率，想到頻率與概率的關(guān)系可得估計值看到酸奶的利潤，想到進貨成本與售價，注意條件中未售出的酸奶要當(dāng)天全部降價處理規(guī)范解答(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，2分由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為0.6，4分所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.5分(2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y64504450900；6分若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y63002(450300)4450300；7分若最高氣溫低于20，則Y62002(450200)4450100.8分所以Y的所有可能值為900,300，100.10分Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為0.8，11分因此Y大于零的概率的估計值為0.8.12分處注意結(jié)合題意將需求量不超過300瓶轉(zhuǎn)化為最高氣溫的關(guān)系問題，再利用頻率估計概率，易不理解題意失誤處注意結(jié)合氣溫區(qū)間及需求量的關(guān)系，計算出Y值，易忽視賣不完的要降價處理技法總結(jié)求解決概率與統(tǒng)計綜合問題的一般步驟變式提升1(2018山西一模)某快遞公司收取快遞費用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過1 kg的包裹收費10元；重量超過1 kg的包裹，除1 kg收費10元之外，超過1 kg的部分，每超出1 kg(不足1 kg，按1 kg計算)需再收5元該公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：包裹件數(shù)范圍0100101200201300301400401500包裹件數(shù)(近似處理)50150250350450天數(shù)6630126(1)某人打算將A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件禮物隨機分成兩個包裹寄出，求該人支付的快遞費不超過30元的概率；(2)該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用前臺工作人員每人每天攬件不超過150件，工資100元，目前前臺有工作人員3人，那么，公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤是否更有利？解(1)由題意，寄出方式有以下三種可能：情況第一包裹第二包裹甲支付的總快遞費禮物重量(kg)快遞費(元)禮物重量(kg)快遞費(元)1A0.310B，C3.325352B1.815A，C1.815303C1.515A，B2.12035所有3種可能中，有1種可能快遞費未超過30元，根據(jù)古典概型概率計算公式，所示概率為(2)將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得包裹件數(shù)范圍0100101200201300301400401500包裹件數(shù)(近似處理)50150250350450天數(shù)6630126頻率0.10.10.50.20.1若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)(近似處理)50150250350450實際攬件數(shù)50150250350450頻率0.10.10.50.20.1平均攬件數(shù)500.11500.12500.53500.24500.1260故公司平均每日利潤的期望值為260531001 000(元)；若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)(近似處理)50150250350450實際攬件數(shù)50150250300300頻率0.10.10.50.20.1平均攬件數(shù)500.11500.12500.53000.23000.1235故公司平均每日利潤的期望值為23552100975(元)故公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利考向二回歸分析與統(tǒng)計的交匯問題【典例】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖附注：年份代碼17分別對應(yīng)年份20082014(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量參考數(shù)據(jù)：i9.32，iyi40.17, 0.55，2.646參考公式：相關(guān)系數(shù)r，回歸方程t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得4，(ti)228, 0.55，(ti)(yi)iyii40.1749.322.89，所以r0.99因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系(2)由1.331及(1)得0.1031.3310.10340.92所以y關(guān)于t的回歸方程為0.920.10t將2016年對應(yīng)的t9代入回歸方程得0.920.1091.82所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸技法總結(jié)破解回歸分析問題的關(guān)鍵(1)會依據(jù)表格及公式，求線性回歸方程中的參數(shù)的值，注意不要代錯公式(2)已知變量的某個值去預(yù)測相應(yīng)預(yù)報變量時，只需把該值代入回歸方程x中變式提升2(2018龍巖二模)2017年5月，“一帶一路”沿線的20國青年評選出了中國“新四大發(fā)明”：高鐵、支付寶、共享單車和網(wǎng)購.2017年末，“支付寶大行動”用發(fā)紅包的方法刺激支付寶的使用. 某商家統(tǒng)計前5名顧客掃描紅包所得金額分別為5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家從這5名顧客中隨機抽取3人贈送臺歷(1)求獲得臺歷是三人中至少有一人的紅包超過5元的概率；(2)統(tǒng)計一周內(nèi)每天使用支付寶付款的人數(shù)x與商家每天的凈利潤y元，得到7組數(shù)據(jù)，如表所示，并作出了散點圖x12162629252230y60100150270240210330直接根據(jù)散點圖判斷，yabx與yecdx哪一個適合作為每天的凈利潤的回歸方程類型(a，b，c，d的值取整數(shù))根據(jù)的判斷，建立y關(guān)于x的回歸方程，并估計使用支付寶付款的人數(shù)增加到35時，商家當(dāng)天的凈利潤參考數(shù)據(jù)：(xi)2(xi)(yi)22.86194.29268.863 484.29附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線vu的斜率和截距的最小二乘估計分別為，解(1)記事件“獲得臺歷的三人中至少有一人的紅包超過5元”為事件M,5名顧客中紅包超過5元的兩人分別記為A1，A2，不足5元的三人分別記為B1，B2，B3，從這5名顧客中隨機抽取3人，共有抽取情況如下：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，共10種其中至少有一人的紅包超過5元的是前9種情況，所以P(M)(2)根據(jù)散點圖可判斷，選擇yabx作為每天的凈利潤的回歸方程類型比較適合由最小二乘法求得系數(shù)13，所以 194.291322.86103，所以y關(guān)于x的回歸方程為10313x當(dāng)x35時，商家當(dāng)天的凈利潤y352元，故使用支付寶付款的人數(shù)增加到35時，預(yù)計商家當(dāng)天的凈利潤為352元考向三獨立性檢驗與概率、統(tǒng)計的交匯問題【典例】 (2017全國卷)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828，K2解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62因此，事件A的概率估計值為0.62(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2的觀測值15.705由于15.7056.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法技法總結(jié)獨立性檢驗問題的解題步驟(1)假設(shè)兩個分類變量X與Y無關(guān)系；(2)找相關(guān)數(shù)據(jù)，列出22列聯(lián)表；(3)由公式K2(其中nabcd)計算出K2的觀測值；(4)將K2的觀測值與臨界值進行對比，進而得出統(tǒng)計推斷，這些臨界值，在考題中常會附在題后變式提升3(2018六安二模)以“你我中國夢，全民建小康”為主題“社會主義核心價值觀”為主線，為了解A、B兩個地區(qū)的觀眾對2018年韓國平昌冬奧會準(zhǔn)備工作的滿意程度，對A、B地區(qū)的100名觀眾進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下：非常滿意滿意合計A30yBxz合計在被調(diào)查的全體觀眾中隨機抽取1名“非常滿意”的人是B地區(qū)的概率為0.45，且3z2y(1)現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“滿意”的A、B地區(qū)的人數(shù)各是多少？(2)在(1)抽取的“滿意”的觀眾中，隨機選出3人進行座談，求至少有兩名是A地區(qū)觀眾的概率？(3)完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系？附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2解(1)由題意，得0.45，x45，yz25，因為3z2y，所以y15，z10則應(yīng)抽取A地區(qū)的“滿意”觀眾153，抽取B地區(qū)的“滿意”觀眾102(2)所抽取的A地區(qū)的“滿意”觀眾記為a，b，c，所抽取的B地區(qū)的“滿意”觀眾記為1,2則隨機選出三人的不同選法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，c,1)，(a，c,2)，(b，c,1)，(b，c,2)，(a，b，c)，(a,1,2)，(b,1,2)，(c,1,2), 共10個結(jié)果至少有兩名是A地區(qū)的結(jié)果有7個，其概率為(3)非常滿意滿意合計A301545B451055合計7525100由表格K23.0303.841，所以沒有95%的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系