1 1第一節(jié)坐標(biāo)系考綱傳真1.理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程(對應(yīng)學(xué)生用書第158頁) 基礎(chǔ)知識填充1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換2極坐標(biāo)系 (1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念在平面內(nèi)取一個定點O，叫作極點，從O點引一條射線Ox，叫作極軸，選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向)這樣就確定了一個平面極坐標(biāo)系，簡稱為極坐標(biāo)系對于平面內(nèi)任意一點M，用表示線段OM的長，表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，叫作點M的極徑，叫作點M的極角，有序?qū)崝?shù)對(，)叫做點M的極坐標(biāo)，記作M(，)當(dāng)點M在極點時，它的極徑0，極角可以取任意值圖­­(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面內(nèi)的一點，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(，)由圖可知下面關(guān)系式成立：或圖­­3常用簡單曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點，半徑為r的圓r(02)圓心為(r,0)，半徑為r的圓2rcos 圓心為，半徑為r的圓2rsin (0)過極點，傾斜角為的直線(R)或(R)過點(a,0)，與極軸垂直的直線cos a過點，與極軸平行的直線sin a(0)基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點與坐標(biāo)也是一一對應(yīng)關(guān)系()(2)若點P的直角坐標(biāo)為(1，)，則點P的一個極坐標(biāo)是.()(3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的()(4)極坐標(biāo)方程(0)表示的曲線是一條直線()答案(1)×(2)(3)(4)×2(教材改編)若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y1x(0x1)的極坐標(biāo)方程為()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0Ay1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)，.3(教材改編)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系若曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為_x2y22y0由2sin ，得22sin .所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0.4已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sin，點A的極坐標(biāo)為A，則點A到直線l的距離為_由2sin，得2，yx1.由A，得點A的直角坐標(biāo)為(2，2)點A到直線l的距離d.5已知圓C的極坐標(biāo)方程為22·sin40，求圓C的半徑. 【導(dǎo)學(xué)號：00090368】解以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程可化為2240，化簡，得22sin 2cos 40.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.(對應(yīng)學(xué)生用書第159頁)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換將圓x2y21上每一點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)直線l：2xy20與C的交點為P1，P2，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程解(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x，y)，依題意，得2分由xy1得x221，故曲線C的方程為x21.5分(2)由解得或6分不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點坐標(biāo)為，所求直線斜率為k，8分于是所求直線方程為y1，化為極坐標(biāo)方程，并整理得2cos 4sin 3，故所求直線的極坐標(biāo)方程為.10分規(guī)律方法1.解答該類問題應(yīng)明確兩點：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點P(x，y)與變換后的點P(x，y)的坐標(biāo)關(guān)系，利用方程思想求解2求交點坐標(biāo)，得直線方程，最后化為極坐標(biāo)方程，其實質(zhì)是將xcos ，ysin 代入轉(zhuǎn)化變式訓(xùn)練1在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換：(1)求點A經(jīng)過變換所得點A的坐標(biāo)；(2)求直線l：y6x經(jīng)過變換后所得直線l的方程解(1)設(shè)點A(x，y)，由伸縮變換：得x×31，y1.點A的坐標(biāo)為(1，1)(2)設(shè)P(x，y)是直線l上任意一點由伸縮變換：得代入y6x，得2y6·2x，yx為所求直線l的方程極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(20xx·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解(1)設(shè)點P的極坐標(biāo)為(，)(>0)，點M的極坐標(biāo)為(1，)(1>0)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程4cos (0).2分因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0).4分(2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(B，)(B>0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面積S|OA|·B·sinAOB6分4cos ·22.8分當(dāng)時，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.10分規(guī)律方法1.進行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)2進行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時，要注意，的取值范圍及其影響；要善于對方程進行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運用代入法和平方法等方法變式訓(xùn)練2(20xx·北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，已知極坐標(biāo)方程C1：cos sin 10，C2：2cos .(1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；(2)若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩交點間的距離解(1)由C1：cos sin 10，xy10，表示一條直線由C2：2cos ，得22cos ，x2y22x，則(x1)2y21.C2是圓心為(1,0)，半徑r1的圓(2)由(1)知點(1,0)在直線xy10上，因此直線C1過圓C2的圓心兩交點A，B的連線段是圓C2的直徑因此兩交點A，B間的距離|AB|2r2.直線與圓的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用(20xx·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求A解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.2分將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin 1a20.4分(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，得16cos28sin cos 0，8分從而1a20，解得a1(舍去)或a1.當(dāng)a1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上所以a1.10分規(guī)律方法1.第(1)問將曲線C1的參數(shù)方程先化為普通方程，再化為極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力第(2)問中關(guān)鍵是理解極坐標(biāo)方程，有意識地將問題簡單化，進而求解2由極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)方程解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解變式訓(xùn)練3(20xx·石家莊模擬)已知曲線C1：xy和C2：(為參數(shù))以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離解(1)曲線C1化為cos sin .sin.2分曲線C2化為1.(*)將xcos ，ysin 代入(*)式得cos2sin21，即2(cos23sin2)6.曲線C2的極坐標(biāo)方程為2.4分(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的極坐標(biāo)方程為，6分把代入sin得11，P.把代入2得22，Q.8分|PQ|21|1，即P，Q兩點間的距離為1.10分