考點(diǎn)59 空間直角坐標(biāo)系 要點(diǎn)闡述 1．如圖所示，為了確定空間點(diǎn)的位置，我們建立空間直角坐標(biāo)系：以單位正方體為載體，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線OA、OC、OD′的方向?yàn)檎较?，以線段OA、OC、OD′的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這時(shí)我們說建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面，通常建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，即右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指指向z軸的正方向． 2．空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可用有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）來表示，有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M（x，y，z），其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)． 典型例題 【例】如圖，在正方體OABC－O1A1B1C1中，棱長(zhǎng)為2，E是B1B上的點(diǎn)，且|EB|＝2|EB1|，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(　　) A．(2,2,1) B．(2,2，) C．(2,2，) D．(2,2，) 【答案】D 【解題技巧】對(duì)于長(zhǎng)方體或正方體，一般取相鄰的三條棱為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系；確定點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，最常用的方法就是求某些與軸平行的線段的長(zhǎng)度，即將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與軸平行的線段長(zhǎng)度，同時(shí)要注意坐標(biāo)的符號(hào)，這也是求空間點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)鍵． 小試牛刀 1．軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)是（　　） A．豎坐標(biāo)是0 B．橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是0 C．橫坐標(biāo)是0 D．橫、縱、豎坐標(biāo)不可能都是0 【答案】B 【解析】軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，c）． 【規(guī)律總結(jié)】空間中確定點(diǎn)M坐標(biāo)的三種方法： （1）過點(diǎn)M作MM1垂直于平面xOy，垂足為M1，求出M1的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，再由射線M1M的指向和線段MM1的長(zhǎng)度確定z的坐標(biāo)． （2）構(gòu)造以O(shè)M為體對(duì)角線的長(zhǎng)方體，由長(zhǎng)方體的三個(gè)棱長(zhǎng)結(jié)合點(diǎn)M的位置，可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo)． （3）若題中所給的圖形中存在垂直于坐標(biāo)軸的平面，或點(diǎn)M在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上，則利用這一條件，再作軸的垂線即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)． 2．點(diǎn)A（–1，2，1）在軸上的投影點(diǎn)和在平面上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（　?。? A．（–1，0，1），（–1，2，0） B．（–1，0，0），（–1，2，0） C．（–1，0，0），（–1，0，0） D．（–1，2，0），（–1，2，0） 【答案】B 【解析】點(diǎn)A（–1，2，1）在軸上的投影點(diǎn)的橫坐標(biāo)是–1，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都為0，故為（–1，0，0）；點(diǎn)A（–1，2，1）在平面上的投影點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)不變且豎坐標(biāo)是0，故為（–1，2，0）． 3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，，），過點(diǎn)P作平面xOy的垂線PQ，則垂足Q的坐標(biāo)為（　?。? A．（0，，0） B．（0，，） C．（1，0，） D．（1，，0） 【答案】D 【解析】Q在過P（1，，）且垂直于面xOy的線上，故Q的橫縱坐標(biāo)與P相等，Q在面xOy上，故Q 的豎坐標(biāo)為0，應(yīng)選D． 【解題技巧】求某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般先找這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個(gè)坐標(biāo)，再找出它在另一軸上的射影（或者它到這個(gè)坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號(hào)），確定第三個(gè)坐標(biāo)． 4．設(shè)為任意實(shí)數(shù)，相應(yīng)的所有點(diǎn)P（x，y，3）的集合是（　?。? A．軸上的兩個(gè)點(diǎn) B．過軸上的（0，0，3）點(diǎn)且與軸垂直的直線 C．過軸上的（0，0，3）點(diǎn)且與軸垂直的平面 D．以上答案都有可能 【答案】C 【解析】由于點(diǎn)的豎坐標(biāo)為定值3，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)組成的集合為過（0，0，3）且與軸垂直的平面． 5．點(diǎn)P（1，2，–1）在xOz平面內(nèi)的射影為B（x，y，z），則x＋y＋z的值為（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】A 6．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，BC＝2，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在平面yOz內(nèi)，且∠BDC＝90，∠DCB＝30，求點(diǎn)D的坐標(biāo)． 【解析】過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E． 在Rt△BDC中，∠BDC＝90，∠DCB＝30，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin 30＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60＝1－＝， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為． 考題速遞 1．點(diǎn)(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的(　　) A．y軸上 B．xOy面上 C．xOz面上 D．第一象限內(nèi) 【答案】C 【解析】因?yàn)樵擖c(diǎn)的y坐標(biāo)為0，根據(jù)坐標(biāo)平面上點(diǎn)的特點(diǎn)可知該點(diǎn)在xOz面上． 2．設(shè)y∈R，則點(diǎn)P(1，y,2)構(gòu)成的集合為(　　) A．垂直于xOz平面的一條直線 B．平行于xOz平面的一條直線 C．垂直于y軸的一個(gè)平面 D．平行于y軸的一個(gè)平面 3．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(1，，)，過點(diǎn)P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標(biāo)為(　　) A．(0，，0) B．(0，，) C．(1,0，) D．(1,0,0) 【答案】B 【解析】平面yOz內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0． 4．如圖，有一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線DA，DC，DD1的方向?yàn)檎较?，以線段DA，DC，DD1的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)，建立三條數(shù)軸：x軸，y軸，z軸，從而建立起一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz．一只小螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)，不返回地沿著棱爬行了2個(gè)單位長(zhǎng)．請(qǐng)用坐標(biāo)表示小螞蟻現(xiàn)在爬到了什么位置． 數(shù)學(xué)文化 3D電影的原理 人的兩眼之間大約有6厘米的距離，所以在觀看除了正前方的物體外，兩只眼睛必然有角度的不同，這個(gè)差別在大腦中就能自動(dòng)形成上下、左右、前后、遠(yuǎn)近的區(qū)別，從而產(chǎn)生立體視覺．所以如果能制作出同一場(chǎng)景、影像的不同側(cè)面（僅有微小的視差）讓雙眼各看一邊，那么在大腦中就能自動(dòng)形成這一場(chǎng)景的立體影像．而 3D電影的拍攝、制作和放映，就是模擬人眼觀察景物的過程．它在拍攝時(shí)用兩個(gè)電影攝影機(jī)，按人眼兩瞳之間的距離（約65mm）拍攝同一景物，從而得到的不同角度的畫幅（左、右眼圖像），放映時(shí)再將圖像同時(shí)放映到銀幕上，這時(shí)銀幕上會(huì)出現(xiàn)重疊交錯(cuò)的兩個(gè)影像．觀眾在看3D電影時(shí)，只要戴上“立體眼鏡”，就可以讓左眼看到左圖像，右眼看到右圖像，此時(shí)在大腦中就會(huì)自動(dòng)復(fù)現(xiàn)為觸手可及立體影像．這就是3D的原理．