第11章 算法復(fù)數(shù)推理與證明 第5講A組基礎(chǔ)關(guān)1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1>(nm，nN*)成立時(shí)，其初始值m至少應(yīng)取()A7 B8 C9 D10答案B解析左邊12，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.故選B.2已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明“12”時(shí)，若已假設(shè)nk(k2且k為偶數(shù))時(shí)等式成立，則還需要用歸納假設(shè)再證n_時(shí)等式成立()Ak1 Bk2C2k2 D2(k2)答案B解析由于n為正偶數(shù)，所以若已假設(shè)nk(k2且k為偶數(shù))時(shí)等式成立，則還需要用歸納假設(shè)再證nk2時(shí)等式成立3對(duì)于不等式<n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，<11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，不等式成立，即<k1，則當(dāng)nk1時(shí)，< (k1)1.所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立則上述證法()A過(guò)程全部正確Bn1驗(yàn)證得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確答案D解析從nk到nk1的推理不正確應(yīng)該是：假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，不等式成立，即<k1，得k2k<(k1)2成立得(k1)2(k1)k23k2<(k1)22k2k24k41<k24k4(k2)2成立即nk1時(shí)等號(hào)成立4(2018沈陽(yáng)調(diào)研)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證明nk1(kN*)時(shí)的情況，只需展開(kāi)()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3答案A解析假設(shè)nk時(shí)，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只須將(k3)3展開(kāi)，讓其出現(xiàn)k3即可故選A.5設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足當(dāng)f(k)k1成立時(shí)，總能推出f(k1)k2成立，那么下列命題總成立的是()A若f(1)<2成立，則f(10)<11成立B若f(3)4成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k1成立C若f(2)<3成立，則f(1)2成立D若f(4)5成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k1成立答案D解析當(dāng)f(k)k1成立時(shí)，總能推出f(k1)k2成立，說(shuō)明如果當(dāng)kn時(shí)，f(n)n1成立，那么當(dāng)kn1時(shí)，f(n1)n2也成立，所以如果當(dāng)k4時(shí)，f(4)5成立，那么當(dāng)k4時(shí)，f(k)k1也成立6已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意nN*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A30 B26 C36 D6答案C解析f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，猜想f(n)能被36整除證明如下：當(dāng)n1,2時(shí)，由以上得證假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)，f(k)(2k7)3k9能被36整除，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k)(2k9)3k1(2k7)3k(6k27)3k(2k7)3k(4k20)3k36(k5)3k2(k2)，f(k1)能被36整除f(1)不能被大于36的數(shù)整除，所求最大的m的值為36.7用數(shù)學(xué)歸納法證明>(n2，nN*)時(shí)，從nk到nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)是()A.B.C.D.答案B解析假設(shè)nk時(shí)不等式成立左邊，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊，所以由nk遞推到nk1時(shí)不等式左邊增加了.8設(shè)平面內(nèi)有n(n3)條直線，它們?nèi)魏?條不平行，任何3條不共點(diǎn)，若k條這樣的直線把平面分成f(x)個(gè)區(qū)域，則k1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)f(k1)f(k)_.答案k1解析f(1)2，f(2)4，f(3)7，f(4)11，f(5)16，f(2)f(1)422，f(3)f(2)743，f(4)f(3)1174，f(5)f(4)16115，歸納推理，得出f(n)f(n1)n，f(n)f(n1)n，所以nk1時(shí)f(k1)f(k)(k1)9設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的自然數(shù)n都有(Sn1)2anSn，通過(guò)計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn_.答案解析由(S11)2S，得S1；由(S21)2(S2S1)S2，得S2；由(S31)2(S3S2)S3，得S3.猜想Sn.10用數(shù)學(xué)歸納法證明>，假設(shè)nk時(shí)，不等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_答案>解析觀察不等式中分母的變化便知B組能力關(guān)1用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n2n能被3整除”的第二步中，nk1時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將5k12k1變形為()A5(5k2k)32k B(5k2k)45k2kC(52)(5k2k) D2(5k2k)35k答案A解析假設(shè)nk時(shí)命題成立，即5k2k能被3整除當(dāng)nk1時(shí)，5k12k155k22k5(5k2k)52k22k5(5k2k)32k.2設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n>4時(shí)，f(n)_(用n表示)答案5(n1)(n2)解析由題意知f(3)2，f(4)5，f(5)9，可以歸納出每增加一條直線， 交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)為原有直線的條數(shù)所以f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，猜測(cè)得出f(n)f(n1)n1(n4)有f(n)f(3)34(n1)，所以f(n)(n1)(n2)3用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN*)時(shí)，從nk到nk1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是_答案4k2解析用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN*)時(shí)，從nk到nk1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是2(2k1)故答案為4k2.4已知數(shù)列an，an0，a10，aan11a.求證：當(dāng)nN*時(shí)，an<an1.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，因?yàn)閍2是方程aa210的正根，所以a2，即a1<a2成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時(shí)，0ak<ak1，所以aa(aak21)(aak11)(ak2ak1)(ak2ak11)>0，又ak1>ak0，所以ak2ak11>0，所以ak1<ak2，即當(dāng)nk1時(shí)，an<an1也成立綜上，可知an<an1對(duì)任何nN*都成立5已知點(diǎn)Pn(an，bn)滿足an1anbn1，bn1(nN*)，且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，1)(1)求過(guò)點(diǎn)P1，P2的直線l的方程；(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于nN*，點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上解(1)由題意得a11，b11，b2，a21，P2.直線l的方程為，即2xy10.(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，2a1b121(1)1成立假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)，2akbk1成立則2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，當(dāng)nk1時(shí)，2ak1bk11也成立由知，對(duì)于nN*，都有2anbn1，即點(diǎn)Pn在(1)中的直線l上C組素養(yǎng)關(guān)1(2019梅州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)ln (1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)ggn(x)，nN*，求gn(x)的表達(dá)式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解由題設(shè)得g(x)(x0)(1)由已知，g1(x)，g2(x)gg1(x)，g3(x)，可猜想gn(x).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，g1(x)，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)結(jié)論成立，即gk(x).則當(dāng)nk1時(shí)，gk1(x)ggk(x)，即結(jié)論成立由可知，結(jié)論對(duì)nN*成立，(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln (1x)恒成立設(shè)(x)ln (1x)(x0)，則(x)，當(dāng)a1時(shí)，(x)0(當(dāng)且僅當(dāng)x0，a1時(shí)等號(hào)成立)，(x)在0，)上單調(diào)遞增又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，當(dāng)a1時(shí)，ln (1x)恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)x(0，a1，有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)<(0)0.即當(dāng)a>1時(shí)，存在x>0，使(x)<0，ln (1x)不恒成立綜上可知，a的取值范圍是(，12(2018綿陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)，xn1f(xn)，且x1，nN*.猜想數(shù)列x2n的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論解由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2>x4>x6，猜想：數(shù)列x2n是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明x2n>x2n2.當(dāng)n1時(shí)，已證命題成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時(shí)命題成立，即x2k>x2k2，易知xk>0，那么x2k2x2k4>0，即x2(k1)>x2(k1)2.所以當(dāng)nk1時(shí)命題也成立結(jié)合知，命題x2n>x2n2對(duì)于任何nN*成立故數(shù)列x2n是遞減數(shù)列