第四章平面向量與復(fù)數(shù)第1課時平面向量的概念與線性運算 了解向量的實際背景；理解平面向量的基本概念和幾何表示；理解向量相等的含義. 掌握向量加、減法和數(shù)乘運算，理解其幾何意義；理解向量共線定理. 了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義掌握向量加、減法、數(shù)乘的運算，以及兩個向量共線的充要條件1. (必修4P62習(xí)題5改編)下列命題： 零向量的長度為零，方向是任意的； 若a，b都是單位向量，則ab； 向量與相等則所有正確的命題是_(填序號)答案：解析：根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故錯誤；向量與互為相反向量，故錯誤2. 在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD的形狀是_答案：平行四邊形解析：依題意知AC是以AB，AD為相鄰兩邊的平行四邊形的對角線，所以四邊形ABCD是平行四邊形3. 在ABC中，c，b，若點D滿足2，則_答案：bc解析：如圖，因為在ABC中，c，b，且點D滿足2，所以()bc.4. 設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_答案：解析：因為向量ab與a2b平行，設(shè)abk(a2b)，則所以.5. (必修4P73習(xí)題15改編)已知向量i與j不共線，且imj，nij.若A，B，D三點共線，則實數(shù)m，n應(yīng)該滿足的條件是_(填序號) mn1； mn1； mn1； mn1.答案：解析：由A，B，D共線可設(shè)，于是有imj(nij)nij.又i，j不共線，因此即有mn1.1. 向量的有關(guān)概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)，記作|.(2) 零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的(3) 單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又稱為共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上規(guī)定：0與任一向量平行(5) 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量(6) 相反向量：與向量a長度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量2. 向量加法與減法運算(1) 向量的加法 定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法 法則：三角形法則；平行四邊形法則 運算律：abba；(ab)ca(bc)(2) 向量的減法 定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法 法則：三角形法則3. 向量的數(shù)乘運算及其幾何意義(1) 實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下： |a|a|； 當(dāng)>0時，a與a的方向相同；當(dāng)<0時，a與a的方向相反；當(dāng)0時，a0.(2) 運算律：設(shè)，R，則： (a)()a； ()aaa； (ab)ab4. 向量共線定理向量b與a(a0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得ba,1平面向量的基本概念),1)(1) 給出下列六個命題： 兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； 若|a|b|，則ab； 若，則A，B，C，D四點構(gòu)成平行四邊形； 在ABCD中，一定有； 若mn，np，則mp； 若ab，bc，則ac.其中錯誤的命題是_(填序號)(2) 給出以下命題： 對于實數(shù)p和向量a，b，恒有p(ab)papb； 對于實數(shù)p，q和向量a，恒有(pq)apaqa； 若papb(pR)，則ab； 若paqa(p，qR，a0)，則pq.其中正確的命題是_(填序號)答案：(1) (2) 解析：(1) 兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點和終點，故不正確；|a|b|，由于a與b方向不確定，所以a，b不一定相等，故不正確；，可能有A，B，C，D在一條直線上的情況，所以不正確；零向量與任一向量平行，故ab，bc時，若b0，則a與c不一定平行，故不正確(2) 根據(jù)實數(shù)與向量乘積的定義及其運算律，可知正確；不一定正確，因為當(dāng)p0時，papb0，而不一定有ab.設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題個數(shù)是_答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故、也是假命題,2平面向量的線性表示),2)如圖，在ABC中，.若，則_答案：解析：由題意， ().又， ，.變式訓(xùn)練已知點M是ABC的邊BC的中點，點E在邊AC上，且2，則向量_(用，表示)答案：解析： 2， ().,3共線向量),3)(1) (2017鎮(zhèn)江期末)設(shè)向量a，b不共線，2apb，ab，a2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為_(2) 已知D為ABC邊BC的中點，點P滿足0，則實數(shù)的值為_答案：(1) 1(2) 2解析：(1) ab，a2b， 2ab. A，B，D三點共線， ，共線設(shè)， 2apb(2ab)， 22，p， 1，p1.(2) 如圖所示，由且0，可知P為以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此2，則2.變式訓(xùn)練已知向量a，b不共線，且cab，da(21)b.若c與d同向，則實數(shù)的值為_答案：1解析：由于c與d同向，設(shè)ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共線，所以有整理得2210，所以1或.因為k0，所以0，故1.,4向量共線的應(yīng)用),4)已知D為ABC的邊AB的中點點M在DC上且滿足53，則ABM與ABC的面積比為_答案：35解析：由53，得2233，即2()3()，即23，故，故ABM與ABC同底且高的比為35，故SABMSABC35.如圖，ABC中，在AC上取一點N，使ANAC；在AB上取一點M，使AMAB；在BN的延長線上取點P，使得NPBN；在CM的延長線上取點Q，使得時，試確定的值解： ()()，又， ，即， .1. 下列各式不能化簡為的是_(填序號) ()； ()()； ； .答案：解析：對于，()()；對于，()()()；對于，2；對于，.2. (2017南京模擬)在ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且APAB，BQBC.用，表示，則_答案：解析：().3. 如圖，已知，用，表示，則_答案：解析： ， ()， .4. 如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，CO的延長線與線段AB交于圓內(nèi)一點D.若xy，則xy的取值范圍是_答案：(，1)解析：由于A，B，D三點共線，設(shè)，則()(1).由于O，C，D三點共線，且點D在圓內(nèi)，點C在圓上，與方向相反，則存在1，使得(1)(1)xy，因此x(1)，y，所以xy1.1. 已知D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點，且a，b，給出下列命題： ab； ab； ab； 0.其中正確的命題為_(填序號)答案：解析：a，b，ab，ab，()(ab)ab， baabba0. 正確的命題為.2. 已知m，n滿足|m|2，|n|3，|mn|，則|mn|_答案：3解析：由平行四邊形的對角線與邊的關(guān)系，得|mn|與|mn|為以m，n為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，得|mn|2|mn|22|m|22|n|226.又|mn|，故|mn|226179，故|mn|3.3. 如圖，半徑為的扇形AOB的圓心角為120，點C在弧AB上，且COB30.若，求的值解：如圖，作CDOB，交OA于點D，作CEOA，交OB的延長線于點E，則.由題意知，COD90， 在OCE中，OCE90，COB30. |， |1，|2， ，即，故.4. (2017鹽城模擬)如圖，經(jīng)過OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設(shè)m，n，m，nR，則的值為_答案：3解析：設(shè)a，b，由題意知()(ab)，nbma，ab.由P，G，Q三點共線，得存在實數(shù)使得，即nbmaab，從而消去，得3.1. 解決與平面向量的概念有關(guān)的命題真假的判定問題，其關(guān)鍵在于透徹理解平面向量的概念，還應(yīng)注意零向量的特殊性，以及兩個向量相等必須滿足：模相等；方向相同2. 在進(jìn)行向量線性運算時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解3. 平行向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)利用兩向量共線證明三點共線要強調(diào)有一個公共點備課札記第2課時平面向量的基本定理及 坐標(biāo)表示(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)7576頁) 了解平面向量的基本定理及其意義. 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件能正確用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算，以及熟練掌握用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件1. (2017蘇州期末)已知向量a(2，4)，b(1，1)，則2ab_答案：(3，9)解析：2ab2(2，4)(1，1)(3，9)2. (必修4P79練習(xí)9改編)已知M(3，2)，N(5，2)，且，則P點的坐標(biāo)為_答案：(1，0)解析：設(shè)P(x，y)，則(x3，y2)，而(8，4)(4，2)，解得3. (必修4P82練習(xí)8改編)已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，則m_答案：6解析：因為ab，所以2m430，解得m6.4. (必修4P79練習(xí)4改編)已知ABCD的頂點A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，則頂點D的坐標(biāo)為_答案：(1，5)解析：設(shè)D(x，y)，則由，得(4，1)(5x，6y)，即解得5. 設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1e2_a_b.答案：解析：由題意，設(shè)e1e2manb.因為ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以1. 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使得a1e12e2我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這個平面內(nèi)所有向量的一組基底如果作為基底的兩個基向量互相垂直，則稱其為正交基底，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2. 平面向量的直角坐標(biāo)運算(1) 已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.(2) 已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)abx1y2x2y10.備課札記,1平面向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運算),1)已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b.(1) 求3ab3c；(2) 求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3) 求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1) 3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2) mbnc(6mn，3m8n)(5，5)， 解得(3) 設(shè)O為坐標(biāo)原點， 3c， 3c(3，24)(3，4)(0，20)， M的坐標(biāo)為(0，20)又2b， 2b(12，6)(3，4)(9，2)， N的坐標(biāo)為(9，2)， (90，220)(9，18)變式訓(xùn)練如圖，已知點A(1，0)，B(0，2)，C(1，2)，求以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標(biāo)解：如圖，以A，B，C為頂點的平行四邊形可以有三種情況： ABCD； ADBC； ABDC.設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)， 若是ABCD，則由，得(0，2)(1，0)(1，2)(x，y)，即(1，2)(1x，2y)， D點的坐標(biāo)為(0，4)(如圖中所示的D1點) 若是ADBC，則由，得(0，2)(1，2)(x，y)(1，0)，即(1，4)(x1，y)，解得x2，y4. D點的坐標(biāo)為(2，4)(如圖中所示的D2點) 若是ABDC，則由，得(0，2)(1，0)(x，y)(1，2)，即(1，2)(x1，y2)解得x2，y0. D點的坐標(biāo)為(2，0)(如圖中所示的D3點) 以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標(biāo)為(0，4)或(2，4)或(2，0),2向量共線充要條件的坐標(biāo)表示及應(yīng)用),2)已知向量(3，4)，(5，3)，(4m，m2)(1) 若D，求證：對任意實數(shù)m，都有；(2) 若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m應(yīng)滿足什么條件？(1) 證明：由題意，(2，1)，.因為21(m4)0，所以.(2) 解：(2，1)，(1m，m6)若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則A，B，C三點不共線當(dāng)A，B，C三點共線時，存在使，即(2，1)(1m，m6)，得解得m.所以當(dāng)m時，點A，B，C能構(gòu)成三角形變式訓(xùn)練已知(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k的取值集合為_答案：1解析：若點A，B，C不能構(gòu)成三角形，則向量與共線因為(2，1)(1，3)(1，2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)所以1(k1)2k0，解得k1.,3平面向量基本定理及應(yīng)用),3)如圖所示，在ABC中，ADDB，AEEC，CD與BE交于點F，設(shè)a，b，xayb，則x，y分別為_答案：，解析：令，由題意，可知(1)ab；同理，令，則a(1)b.因為a，b不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以ab.故x，y.(2017南通調(diào)研)如圖，在ABC中，P是BN上的一點，若m，則實數(shù)m的值為_答案：解析：設(shè)k，kR.因為kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.1. 已知向量a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)若3a2bc0，則c_答案：(23，12)解析：3a2bc(23x，12y)0，故x23，y12，則c(23，12)2. 如圖，向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中，若cab(，R)，則_答案：4解析：以向量a，b的交點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形邊長為1)，A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)， a(1，1)，b(6，2)，c(1，3) cab， 解得 4.3. 在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且c>b>a，若向量m(ab，1)和n(bc，1)平行，且sin B，則當(dāng)ABC的面積為時，b_答案：2解析：由向量m和n平行知ac2b，由acsin Bac，由c>b>a知B為銳角，則cos B，即，由可得b2.4. 在ABC中，AB2，AC3，角A的平分線與AB邊上的中線交于點O.若xy(x，yR)，則xy的值為_答案：解析： AO為ABC的角平分線， 存在實數(shù)(0)使，即， 設(shè)AB邊上的中線與AB交于點D，則2xy. C，O，D三點共線， 2xy1.由得x，y， xy.1. 已知向量a，b(x，1)，其中x>0，若(a2b)(2ab)，則x的值為_答案：4 解析：a2b，2ab(16x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，顯然2ab0，則有(16x，x1)，R， x4(x4舍去)2. (2017南京、鹽城模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點若(，R)，則_答案：解析：由題意可得，由平面向量基本定理可得，所以.3. 在ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，則的值為_答案：解析： M為邊BC上任意一點， 可設(shè)xy(xy1) N為AM的中點， xy. (xy).4. 如圖，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，動點P在邊BC上，且滿足mn(m，n均為正實數(shù))，則的最小值為_答案：解析：(解法1)設(shè)a，b，則ab；設(shè)，則ab.因為manb，所以有 1m，n，消去得mn1，12.(解法2)以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)，設(shè)(3，4)，則(43，4)因為mn(4m，4n), 所以有 434m，44n，消去得mn1(下同解法1)1. 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是惟一的2. 利用向量的坐標(biāo)運算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時，要看準(zhǔn)向量的起點和終點坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯坐標(biāo)3. 向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值備課札記第3課時平面向量的數(shù)量積及平面向量的 應(yīng)用舉例(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)7779頁) 理解平面向量數(shù)量積的含義. 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算；能利用數(shù)量積表示兩個向量夾角的余弦，會用數(shù)量積判斷兩個非零向量是否垂直 平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，數(shù)量積的性質(zhì)及運算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示. 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題1. (必修4P90習(xí)題19(2)改編)已知向量a(1，2)，b(x，2)，且a(ab)，則實數(shù)x_答案：9解析：由a(ab)知，a2ab，即5x4，則x9.2. 已知向量a(1，)，b(，1)，則a與b夾角的大小為_答案：解析：設(shè)a與b夾角為，由已知，ab2，|a|b|2，cos .因為0，所以.3. (2017蘇北四市調(diào)研)已知平面向量a與b的夾角等于，若|a|2，|b|3，則|2a3b|_答案：解析：由題意可得ab|a|b|cos 3，所以|2a3b|.4. (必修4P89習(xí)題第8(1)題改編)已知兩個單位向量e1，e2的夾角為.若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1b2_答案：6解析：b1e12e2，b23e14e2，則b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e.因為e1，e2為單位向量，e1，e2，所以b1b23283186.5. (必修4P90習(xí)題21改編)已知D是ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足()()0，則ABC的形狀是_答案：等腰三角形解析： ()()()0，所以，所以acos Bbcos A，利用余弦定理化簡得a2b2，即ab，所以ABC是等腰三角形1. 向量數(shù)量積的定義(1) 向量a與b的夾角(2) 已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a|b|cos_叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2. 向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，是a與b的夾角，則(1) eaae.(2) ab ab0(3) 當(dāng)a與b同向時，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時，ab|a|b|；特殊的，aa|a|2或|a|.(4) cos .(5) |ab|a|b|.3. 向量數(shù)量積的運算律(1) 交換律：abba.(2) 分配律：(ab)cacbc.(3) 數(shù)乘結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)4. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1) 若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.故abx1x2y1y20.(2) 設(shè)a(x，y)，則|a|(3) 若向量a(x1，y1)與向量b(x2，y2)的夾角為，則有cos .備課札記,1平面向量數(shù)量積的運算),1)(1) (2017第三次全國大聯(lián)考江蘇卷)在四邊形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，若|AC|4，12，2，則_(2) 已知邊長為6的正三角形ABC，AD與BE交于點P，則的值為_答案：(1) 0(2) 解析：(1) 因為222412，216，24，所以22440.(2) 以D點為坐標(biāo)原點，直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(3，0)，C(3，0)，A(0，3)，E(1，2)，P，則的值為.變式訓(xùn)練(2017南通、揚州、泰州調(diào)研)如圖，已知ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點P，交BC于點Q.若|3，|5，則()()的值為_答案：16解析：由，0，則()()(2)2()() 2 2325216.,2平面向量的平行與垂直問題),2)(2017鎮(zhèn)江一模)已知向量m(cos ，1)，n(2，sin )，其中，且mn.(1) 求cos 2的值；(2) 若sin()，且，求角的值解：(解法一)(1) 由mn得，2cos sin 0，sin 2cos ，代入cos2sin21，得5cos21，且，則cos ，sin ，則cos 22cos2121.(2) 由，得，.因為sin()，則cos().則sin sin()sin cos()cos sin().因為，則.(解法2)(1) 由mn得，2cos sin 0，tan 2，故cos 2cos2sin2.且cos2sin21，則sin ，cos ，則cos 22cos2121.(2) 由，得，.因為sin()，則cos().則sin sin()sin cos()cos sin().因為，則.變式訓(xùn)練平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量(6，1)，(x，y)，(2，3)，且.(1) 求x與y之間的關(guān)系式；(2) 若，求四邊形ABCD的面積解：(1) 由題意得(x4，y2)，(x，y)因為，所以(x4)y(y2)x0，即x2y0.(2) 由題意(x6，y1)，(x2，y3)因為，所以(x6)(x2)(y1)(y3)0，即x2y24x2y150，聯(lián)立解得或當(dāng)時，(8，0)，(0，4)，S四邊形ABCDACBD16；當(dāng)時，(0，4)，(8，0)，S四邊形ABCDACBD16.所以四邊形ABCD的面積為16.,3平面向量的模與夾角問題),3)(1) 已知平面向量，滿足|1，且與的夾角為120，則的模的取值范圍是_；(2) (2017鹽城模擬)已知|，且1.若點C滿足|1，則|的取值范圍是_答案：(1) (0，(2) 1，1解析：(1) 設(shè)ABC中，a|1，A60，|c，由正弦定理得，則c，即csin C又0<sin C1，即c的取值范圍是(0，則的模的取值范圍是(0，(2) 1， AOB.建系可設(shè)A(，0)，B(，)，C(x，y)， (x，y)， (x)2(y)21， C的軌跡是以點M(，)為圓心，1為半徑的圓， OM， |1，1變式訓(xùn)練(1) 已知向量a，b滿足a(4，3)，|b|1，|ab|，則向量a，b的夾角為_(2) (2017江陰檢測)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動點，則|3| 的最小值為_答案：(1) (2) 5解析：(1) |b|1，|a|5，對|ab|兩邊平方，得2ab5，2|a|b|cos 5，cos ，則向量a，b的夾角為.(2) (解法1)以D為原點，分別以DA，DC所在直線為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)DCa，DPx， D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)， 3(5，3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值為5.(解法2)設(shè)x(0<x<1)， (1x)，x，(1x)， 3(34x)，|3|2 22(34x)(34x)2 225(34x)2 225， |3|的最小值為5.,4平面向量與三角函數(shù)的綜合問題)典型示例,4)已知m(cos ，sin )，n(，1)，(0，)(1) 若mn，求角的值；(2) 求|mn|的最小值【思維導(dǎo)圖】【規(guī)范解答】 解：(1) 因為m(cos ，sin )，n(，1)，且mn，所以cos sin 0，即tan .又(0，)，所以.(2) 因為mn(cos ，sin 1)，所以|mn|.因為(0，)，所以，故當(dāng)時，|mn|取到最小值1.總結(jié)歸納解決向量與三角函數(shù)綜合問題的關(guān)鍵是根據(jù)向量間的條件，利用數(shù)量積的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的條件求解，然后利用三角恒等變換或三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題題組練透1. 已知m(cos ，sin )，n(2，1)，若mn1，則sin(2)_答案：解析：由mn2cos sin 1，cos2sin21，且，得cos ，則sincos 212cos2.2. 若向量a(cos ，sin )，b(，1)，則|2ab|的最大值為_答案：4解析：因為向量a(cos ，sin )，b(，1)，所以|a|1，|b|2，abcos sin ，所以|2ab|24a2b24ab84(cos sin )88cos ，所以|2ab|2的最大值為16，因此|2ab|的最大值為4.3. 在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1) 求sin A的值；(2) 若a4，b5，ADBC于D，求的值解：(1) 由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因為0<A<，所以sin A.(2) 由正弦定理，得，則sin B.因為0<B<，所以B，所以sin Csin(AB)(sin Acos A).又|sin C5，所以() 2|2.4. (2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二)已知向量m(cos x，1)，n(sin x，cos2x)(1) 當(dāng)x時，求mn的值；(2) 若x，且mn，求cos 2x的值解：(1) 當(dāng)x時，m，n，所以mn.(2) mncos xsin xcos2xsin 2xcos 2xsin.若mn，則sin，即sin.因為x，所以2x，所以cos，則cos 2xcoscossin.1. 在ABC中，ABAC2，BC2，則_答案：2解析：由余弦定理得cos A，所以|cos A222.2. (2017南通調(diào)研)已知平面向量a(2m1，3)，b(2，m)，且a與b反向，則|b|_答案：2解析： a與b反向， a與b共線， m(2m1)2302m2m60m2或m.當(dāng)m2時，a(3，3)，b(2，2)，a與b反向，此時|b|2；當(dāng)m時，a(4，3)，b，a與b同向，不合題意3. (2017第一次全國大聯(lián)考江蘇卷)已知四邊形ABCD，若2，則的值為_答案：0解析：因為()()()，所以0.4. (2016江蘇卷)如圖，在ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，4，1，則的值是_答案：解析：因為4，()1，因此 2， 2，.1. 在ABC中，ABC120，BA2，BC3，D，E是線段AC的三等分點，則的值為_答案：解析：設(shè)a，b，(a2b2)ab.2. (2017鎮(zhèn)江期末)已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|2，則|ab|_答案：解析：|ab|.3. (2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二)在ABC中，ABAC，AB，ACt，P是ABC所在平面內(nèi)一點，若，則PBC面積的最小值為_答案：解析：以A為坐標(biāo)原點，AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則P(1，4)，C(t，0)，B，BC：ty1，xt2yt0.SPBC|4t1|21|，PBC面積的最小值為.4. 已知向量a，b(cos x，1)(1) 當(dāng)ab時，求tan的值；(2) 設(shè)函數(shù)f(x)2(ab)b，當(dāng)x時，求f(x)的值域解：(1) ab， cos xsin x0， tan x， tan7.(2) f(x)2(ab)bsin. x， 2x， sin1， f(x)，即函數(shù)f(x)的值域為.1. 在數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|要引起足夠重視，是求距離常用的公式2. 已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方程，通過解方程求出其中的參數(shù)值在計算數(shù)量積時要注意方法的選擇：一種方法是把互相垂直的兩個向量的坐標(biāo)求出來，再計算數(shù)量積；另一種方法是根據(jù)數(shù)量積的運算法則進(jìn)行整體計算，把這個數(shù)量積的計算化歸為基本的向量數(shù)量積的計算3. 應(yīng)用向量運算將問題轉(zhuǎn)化為與代數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，其中轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵4. 向量與三角函數(shù)的交匯是高考最常見的題型之一，其中用向量運算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸三角函數(shù)問題或三角恒等變形等問題是常規(guī)的解題思路和基本方法第4課時復(fù) 數(shù)(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)8081頁) 理解復(fù)數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以及復(fù)數(shù)相等的充要條件. 理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算. 了解復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式加、減運算的幾何意義能準(zhǔn)確用復(fù)數(shù)的四則運算法則進(jìn)行復(fù)數(shù)加減乘除的運算1. 設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1i)(12i)_答案：3i解析：(1i)(12i)12ii2i21i23i.2. (2017蘇北三市(連云港、徐州、宿遷)第三次調(diào)研)設(shè)a，bR，abi(i為虛數(shù)單位)，則b的值為_答案：1解析：i，故abii，b1.3. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)65i，23i對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_答案：24i解析： A(6，5)，B(2，3)， 線段AB的中點C(2，4)，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z24i.4. 已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足43i，則復(fù)數(shù)z的模為_答案：5解析：z34i，則復(fù)數(shù)z的模為5.5. 已知ABCD的三個頂點A，B，C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)33i，2i，5i，則第四個頂點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為_答案：53i解析：對應(yīng)復(fù)數(shù)為(5i)(2i)26i，對應(yīng)復(fù)數(shù)為zD(33i)在ABCD中，則zD(33i)26i，即zD53i.1. 復(fù)數(shù)的概念(1) 虛數(shù)單位i：i21；i和實數(shù)在一起，服從實數(shù)的運算律(2) 代數(shù)形式：abi(a，bR)，其中a叫實部，b叫虛部2. 復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)zabi(a，bR)中，z是實數(shù)b0，z是虛數(shù)b0，z是純虛數(shù)a0，b03. abi與abi(a，bR)互為共軛復(fù)數(shù)4. 復(fù)數(shù)相等的條件abicdi(a，b，c，dR)ac，且bd.特殊的，abi0(a，bR)a0，且b0.5. 設(shè)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z，則的長度叫做復(fù)數(shù)z的模(或絕對值)，即|z|.6. 運算法則z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)(1) z1z2(ac)(bd)i；(2) z1z2(acbd)(adbc)i；(3) i.備課札記,1復(fù)數(shù)的運算),1)(1) 已知復(fù)數(shù)z(2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)為_；(2) 若復(fù)數(shù)z滿足(zi)(2i)5(i為虛數(shù)單位)，則z_；答案：(1) 34i(2) 22i解析：(1) z34i，則z的共軛復(fù)數(shù)為34i.(2) zi22i.變式訓(xùn)練(1) (2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z13yi(yR)，z22i，且1i，則y_(2) (2017南京、鹽城一模)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(1i)2，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為_答案：(1) 1(2) 1解析：(1) 1i3yi(2i)(1i)3yi3i，yRy1.(2) z(1i)2z1i，所以虛部為1.,2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念),2)(1) 若(12i)(ai)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a_；(2) (2017第一次全國大聯(lián)考江蘇卷)已知復(fù)數(shù)(12i)z2i，其中i為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)的模為_答案：(1) 3 (2) 1解析：(1) (12i)(ai)a2(2a1)i， a22a1，解得a3.(2) zi，zi，則|z|i|1.本題若用模的性質(zhì)，則能簡化運算：|z|z|1.變式訓(xùn)練(1) 若復(fù)數(shù)z滿足(12i)z3(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的實部為_；(2) (2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(一)若復(fù)數(shù)z滿足zi(i為虛數(shù)單位)，則|z|_答案：(1) (2) 解析：(1) 由zi，則復(fù)數(shù)z的實部為.(2) zi13i， |z|.,3復(fù)數(shù)的相等),3)(1) 若復(fù)數(shù)z滿足2zz32i，其中i為虛數(shù)單位，則z_；(2) 若復(fù)數(shù)z滿足z(1i)2i(i是虛數(shù)單位)，z是z的共軛復(fù)數(shù)，則zz_答案：(1) 12i(2) 2解析：(1) 設(shè)zabi，(a，bR)，則由已知得2(abi)(abi)32i，即3abi32i，所以解得故z12i.(2) 因為z1i，所以z1i，所以zz(1i)(1i)2.變式訓(xùn)練(1) 若復(fù)數(shù)z滿足i，其中i為虛數(shù)單位，則z_；(2) 已知復(fù)數(shù)z滿足z24.若z的虛部大于0，則z_答案：(1) 1i(2) 2i解析：(1) 設(shè)zabi(a，bR) i， i， abii(1i)1i， z1i， z1i.(2) 設(shè)復(fù)數(shù)zxyi，則z2x2y22xyi4, 得x2y24，xy0，則x0，y2.又 z的虛部大于0， y2， z2i.,4復(fù)數(shù)的幾何意義),4)(1) 如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1.若i(i為虛數(shù)單位)，則z2_；(2) 已知復(fù)數(shù)zxyi，且|z2|，則的最大值為_答案：(1) 2i(2) 解析：(1) z2z1i(12i)i2i.(2) |z2|， (x2)2y23.由圖可知.(1) 若復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點分別為(1，1)，(0，2)，則復(fù)數(shù)zz1z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第_象限；(2) 滿足條件|zi|34i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是_答案：(1) 三(2) 以(0，1)為圓心，5為半徑的圓解析：(1) 由題意，z11i，z22i，則z11i，z1z2(1i)(2i)2i2i222i，即z22i，因而對應(yīng)點位于第三象限(2) 因為|34i|5，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得1. (2016江蘇卷)復(fù)數(shù)z(12i)(3i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是_答案：5解析：因為z55i，所以z的實部是5.2. 已知復(fù)數(shù)z(i是虛數(shù)單位)，則|z|_答案：解析：zi，|z|.3. 設(shè)復(fù)數(shù)z1i，若1，對應(yīng)的向量分別為和，則|_答案：解析：1(1i)1i，|.4. 若z43i，則_答案：i解析：z43i，|z|5，i.1. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(1i)24i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為_答案：3i解析：z3i，z的共軛復(fù)數(shù)是3i.2. 設(shè)復(fù)數(shù)z(m0，i為虛數(shù)單位)，若z，則m的值為_答案： 解析：z，它與其共軛復(fù)數(shù)相等，則其虛部為0.又m>0，所以m.3. 已知zabi(a，bR，i是虛數(shù)單位)，z1，z2C，定義：D(z)|z|a|b|，D(z1，z2)|z1z2|.給出下列命題： 對任意zC，都有D(z)>0； 若z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則D(z)D(z)恒成立； 若D(z1)D(z2)(z1，z2C)，則z1z2.其中，真命題是_(填序號)答案：解析：若z0，則D(z)0，所以錯誤；因為D(z)D(abi)|a|b|a|b|D(z)，所以正確；設(shè)z11i，z21i，則有D(z1)D(z2)，但z1z2，所以錯誤4. 若復(fù)數(shù)za2i(i為虛數(shù)單位，aR)滿足|z|3，則a的值為_答案：解析：|z|3，則a.5. 已知集合A1，2z2，zi，B2，4，i為虛數(shù)單位若AB2，則純虛數(shù)z為_答案：2i解析： A1，2z2，zi，B2，4，且AB2 2z22或zi2