突破點(diǎn)3平面向量(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第14頁(yè)) 核心知識(shí)提煉 提煉1 平面向量共線、垂直的兩個(gè)充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)aba·b0x1x2y1y20. 提煉2 數(shù)量積常見(jiàn)的三種應(yīng)用已知兩個(gè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)證明向量垂直：aba·b0x1x2y1y20.(2)求向量的長(zhǎng)度：|a|.(3)求向量的夾角：cosa，b.提煉3平面向量解題中應(yīng)熟知的常用結(jié)論(1)A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，有，且1.(2)C是線段AB中點(diǎn)的充要條件是()(3)G是ABC的重心的充要條件為0，若ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則ABC的重心坐標(biāo)為，.(4)···P為ABC的垂心(5)非零向量a，b垂直的充要條件：aba·b0|ab|ab|x1x2y1y20.(6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos ，向量a在b的方向上的投影為|a|cos .高考真題回訪回訪1平面向量的線性運(yùn)算1(20xx·浙江高考)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_42設(shè)a，b的夾角為.|a|1，|b|2，|ab|ab|.令y，則y2102.0，cos20,1，y216,20，y4,2，即|ab|ab|4,22(20xx·浙江高考)記maxx，yminx，y設(shè)a，b為平面向量，則()Amin|ab|，|ab|min|a|，|b|Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2D由于|ab|，|ab|與|a|，|b|的大小關(guān)系與夾角大小有關(guān)，故A，B錯(cuò)當(dāng)a，b夾角為銳角時(shí)，|ab|>|ab|，此時(shí)，|ab|2>|a|2|b|2；當(dāng)a，b夾角為鈍角時(shí)，|ab|<|ab|，此時(shí)，|ab|2>|a|2|b|2；當(dāng)ab時(shí)，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故選D.3(20xx·浙江高考)設(shè)為兩個(gè)非零向量a，b的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t，|bta|的最小值為1.() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334048】A若確定，則|a|唯一確定B若確定，則|b|唯一確定C若|a|確定，則唯一確定D若|b|確定，則唯一確定B|bta|2b22a·b·tt2a2|a|2t22|a|·|b|cos ·t|b|2.因?yàn)閨bta|min1，所以|b|2(1cos2)1.所以|b|2sin21，所以|b|sin 1，即|b|.即確定，|b|唯一確定回訪2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用4(20xx·浙江高考)設(shè)ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0BAB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P, 恒有··，則()AABC90°BBAC90°CABACDACBCDA項(xiàng)，若ABC90°，如圖，則·|·|cosBPC|2，·|2.當(dāng)點(diǎn)P落在點(diǎn)P0的右側(cè)時(shí)，|2|2，即··，不符合；B項(xiàng)，若BAC90°，如圖，則·|·|cosBPC|·|，·|3.當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，·4，··，不符合；C項(xiàng)，若ABAC，假設(shè)BAC120°，如圖，則AC2，·|·|cosBPC|，·|cosBP0C|5.當(dāng)P落在A點(diǎn)時(shí)，|8，所以··，不符合故選D.5(20xx·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|1，|b|2，a·b1，若e為平面單位向量，則|a·e|b·e|的最大值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334049】a·b|a|·|b|cosa，b1×2×cosa，b1，cosa，b，a，b60°.以a的起點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則a(1,0)，b(1，)設(shè)e(cos ，sin )，則|a·e|b·e|cos |cos sin |cos |cos |sin |2|cos |sin |.6(20xx·浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2.若平面向量b滿足b·e1b·e21，則|b|_.e1·e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260°.又b·e1b·e21>0，b，e1b，e230°.由b·e11，得|b|e1|cos 30°1，|b|.7(20xx·浙江高考)設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于_2根據(jù)題意，得2.因?yàn)?，所以024，所以02.故的最大值為2.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第15頁(yè))熱點(diǎn)題型1平面向量的運(yùn)算題型分析：該熱點(diǎn)是高考的必考點(diǎn)之一，考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是以平面圖形為載體考查向量的線性運(yùn)算；二是以向量的共線與垂直為切入點(diǎn)，考查向量的夾角、模等.【例1】(1)(20xx·杭州第二次調(diào)研)在梯形ABCD中，ABDC，ABAD，ADDC1，AB2.若，則|t|(tR)的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334050】A.B，)C.D1，)(2)已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE2EF，則·的值為()AB.C.D.(1)A(2)B(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系(圖略)，則D(0,1)，B(2,0)，C(1,1)，設(shè)P(x，y)，由得(x，y)(0，1)(2,0)，x，y，所以P，(1,1)，即|t|，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)等號(hào)成立，故選A.(2)如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，且DE2EF，所以，所以.又，則··()·22·22·.又|1，BAC60°，故·×1×1×.故選B.方法指津1平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過(guò)作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)2正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用提醒：運(yùn)算兩平面向量的數(shù)量積時(shí)，務(wù)必要注意兩向量的方向變式訓(xùn)練1(1)已知向量a(1,2)，b(3,1)，c(x,4)，若(ab)c，則c·(ab)()A(2,12)B(2,12)C14D10(2)已知e1，e2是不共線向量，ame12e2，bne1e2，且mn0.若ab，則_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334051】(1)C(2)2(1)易知ab(4,1)，由(ab)c，可得(4)×x1×40，即4x40，解得x1，c(1,4)而ab(2,3)，c·(ab)1×24×314.故選C.(2)ab，ab，即me12e2(ne1e2)，則解得2.熱點(diǎn)題型2三角與向量的綜合問(wèn)題題型分析：平面向量作為解決問(wèn)題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過(guò)向量運(yùn)算作為題目條件.【例2】(名師押題)已知向量a，b(cos x，1)(1)當(dāng)ab時(shí)，求cos2xsin 2x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)2(ab)·b，已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，b2，sin B，求yf(x)4cos 的取值范圍解(1)ab，cos xsin x0，2分tan x，4分cos2xsin 2x.6分(2)f(x)2(ab)·bsin ，8分由正弦定理得，可得sin A.9分ba，A，10分yf(x)4cossin.13分x，2x，1y，即y的取值范圍是.15分方法指津平面向量與三角函數(shù)問(wèn)題的綜合主要利用向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)形式，多與同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和角與倍角等公式求值等問(wèn)題相結(jié)合，計(jì)算的準(zhǔn)確性和三角變換的靈活性是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)變式訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)若mn，則m·n0.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin xcos x0，4分tan x1.6分(2)m與n的夾角為，m·n|m|·|n|cos ，即sin xcos x，8分sin .12分又x，x，x，即x.15分