專題22 與基本不等式有關(guān)的應(yīng)用題【自主熱身，歸納總結(jié)】1、某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則的值是 .【答案】 30【解析】 總費(fèi)用240，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.即時(shí)取得故當(dāng)米時(shí)，有最大值，的最大值為立方米2、用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻，且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器（如圖），設(shè)容器的高為米，蓋子邊長為米設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)為_時(shí)，V最大【解析】 設(shè)為正四棱錐的斜高由已知解得，進(jìn)而得，因?yàn)?，所以等式?dāng)且僅當(dāng)， 3、某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長，計(jì)劃利用學(xué)校空地建造一間室內(nèi)面積為900 m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1 m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左、右內(nèi)墻保留3 m寬的通道，如圖設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為x(m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(m2)(1) 求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2) 求S的最大值【解析】 (1) 由題設(shè)得S(x8)2x916，x(8,450)(6分)(2) 因?yàn)?<x<450，所以2x2 240，(8分)當(dāng)且僅當(dāng)x60時(shí)等號(hào)成立(10分)從而S676.(12分)答：當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長為60 m時(shí)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為676 m2.(14分)4、如圖，某小區(qū)擬在空地上建一個(gè)占地面積為2400m2的矩形休閑廣場，按照設(shè)計(jì)要求，休閑廣場中間有兩個(gè)完全相同的矩形綠化區(qū)域，周邊及綠化區(qū)域之間是道路(圖中陰影部分)，道路的寬度均為2m.怎樣設(shè)計(jì)矩形休閑廣場的長和寬，才能使綠化區(qū)域的總面積最大？并求出其最大面積 在利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意驗(yàn)證基本不等式成立的三個(gè)條件，即一正二定三相等如果等號(hào)成立的條件不具備，就應(yīng)該研究函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的最值5、某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)示意圖如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1) 該小組已測得一組，的值，tan1.24，tan1.20，請據(jù)此算出H的值；(2) 該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位：m)，使與之差較大，可以提高測量精確度若電視塔的實(shí)際高度為125 m，試問d為多少時(shí)，最大？【解析】 (1) 由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124.因此算出的電視塔的高度H是124 m.(2) (1) 由題知dAB，則tan.由ABADBD，得tan，所以tan()，當(dāng)且僅當(dāng)d55時(shí)取等號(hào)又0<<，所以當(dāng)d55時(shí)，tan()的值最大因?yàn)?<<<，所以當(dāng)d55時(shí)，的值最大6、如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1 km.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1) 求炮的最大射程；(2) 設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2 km，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請說明理由【解析】 (1)令y0，得kx(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，故x10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號(hào)所以炮的最大射程為10km.(2) 因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)等價(jià)于存在k>0，使3.2ka(1k2)a2成立，即關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根，所以判別式(20a)24a2(a264)0，解得a6，所以0<a6.所以當(dāng)a不超過6km時(shí)，炮彈可擊中目標(biāo)【問題探究，變式訓(xùn)練】例1、 如圖，一個(gè)鋁合金窗分為上、下兩欄，四周框架和中間隔欄的材料為鋁合金，寬均為6cm，上欄和下欄的框內(nèi)高度（不含鋁合金部分）的比為，此鋁合金窗占用的墻面面積為28800，設(shè)該鋁合金窗的寬和高分別為，鋁合金的透光部分的面積為.（1）試用表示；（2）若要使最大，則鋁合金窗的寬和高分別為多少？【解析】（1） 又設(shè)上欄框內(nèi)高度為h（cm），下欄框內(nèi)高度為2h（cm）.則3h+18=b， 透光部分的面積 （2）當(dāng)且僅當(dāng)9a=8b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)代入式得，a=160，從而b=180，即當(dāng)a=160，b=180時(shí)，S取得最小值. 答：鋁合金窗的寬度為160，高為180時(shí)，可使透光部分的面積最大?！咀兪?】、 某市近郊有一塊400m400m正方形的荒地，準(zhǔn)備在此荒地上建一個(gè)綜合性休閑廣場，需先建造一個(gè)總面積為3000 m2的矩形場地(如圖所示) 圖中，陰影部分是寬度為2 m的通道，三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場地（其中兩個(gè)小矩形場地形狀、大小相同），塑膠運(yùn)動(dòng)場地總面積為S m2（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并給出定義域；（2）當(dāng)x為何值時(shí)S取得最大值，并求最大值【變式2】、 【解析】：（1）在RtPAE中，由題意可知，AP=8，則所以 2分同理在RtPBF中，PB1，則， 所以 4分故PAE與PFB的面積之和為 5分=8， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”， 故當(dāng)AE=1km， BF=8km時(shí)，PAE與PFB的面積之和最小6分（2）在RtPAE中，由題意可知，則同理在RtPBF中，則令， 8分則， 10分令，得，記， 0極小值所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，這個(gè)極小值就是函數(shù)的最小值，所以時(shí)，取得最小值， 12分此時(shí)，所以當(dāng)AE為4km，且BF為2km時(shí)，PE+PF的值最小 14分【關(guān)聯(lián)1】、在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3 600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的長方體紙盒(如圖)設(shè)小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中ab.(1) 當(dāng)a90時(shí)，求紙盒側(cè)面積的最大值；(2) 試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值思路分析 (1) 紙盒側(cè)面積S(x)是關(guān)于x的函數(shù)，即求S(x)max.(2) 先猜想并證明ab時(shí)，底面積取最大，這樣問題變?yōu)榍篌w積關(guān)于x的函數(shù)的最大值【解析】(1) 當(dāng)a90時(shí)，b40，紙盒的底面矩形的長為902x，寬為402x，周長為2608x.所以紙盒的側(cè)面積S(x)(2608x)x8x2260x，其中x(0,20)，(3分)故S(x)maxS.答：當(dāng)a90時(shí)，紙盒側(cè)面積的最大值為平方厘米(6分)(2) 紙盒的體積V(a2x)(b2x)x，其中x，ab0，且ab3 600.(8分)因?yàn)?a2x)(b2x)ab2(ab)x4x2ab4x4x24(x260x900)，當(dāng)且僅當(dāng)ab60時(shí)取等號(hào)，所以V4(x360x2900x)，x(0,30)(10分)記f(x)4(x360x2900x)，x(0,30)，則f(x)12(x10)(x30)，令f(x)0，得x10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f(x)0f(x)極大值由上表可知，f(x)的極大值是f(10)16 000，也是最大值(12分)答：當(dāng)ab60，且x10時(shí)，紙盒的體積最大，最大值為16 000 立方厘米(14分)解后反思 因?yàn)閍，所以第(2)題實(shí)際上是體積V關(guān)于兩個(gè)變量b，x的最值問題先固定x，處理變量b，再處理x.另外，對于求f(x)的最大值，學(xué)習(xí)過不等式選講的學(xué)生也可用下面的解法因?yàn)閤(0,30)，所以f(x)4x(30x)222x(30x)(30x)2316 000，當(dāng)且僅當(dāng)x10時(shí)取等號(hào)【關(guān)聯(lián)2】、某賓館在裝修時(shí)，為了美觀，欲將客房的窗戶設(shè)計(jì)成半徑為1m的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個(gè)區(qū)域，其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形，現(xiàn)計(jì)劃將矩形ABCD區(qū)域設(shè)計(jì)為可推拉的窗口(1) 若窗口ABCD為正方形，且面積大于 m2(木條寬度忽略不計(jì))，求四根木條總長的取值范圍；(2) 若四根木條總長為6 m，求窗口ABCD面積的最大值 第(1)問，注意到四邊形ABCD為正方形，所以四根木條的長度相等，以木條的長度x為自變量，將正方形的面積表示為x的函數(shù)，根據(jù)四邊形ABCD的面積的要求，以及“四根木條將圓分成9個(gè)區(qū)域”來求出四根木條的總長度的取值范圍；第(2)問，由于四根木條的總長為6m，所以AB，BC所在的木條的長度之和為3m，因此，可以選擇AB所在的木條的長度為自變量a，求出四邊形ABCD的面積的表達(dá)式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法來求出它的最大值；或者，選擇雙變量，即AB，BC所在的木條的長度為自變量a，b，建立四邊形ABCD的面積的表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式來求它的最大值規(guī)范解答 (1) 設(shè)一根木條長為xm，則正方形的邊長為2m.(2分)因?yàn)镾四邊形ABCD>，所以4x2>，即x<.(4分)又因?yàn)樗母緱l將圓分成9個(gè)區(qū)域，所以x>，所以4<4x<2.答：四根木條總長的取值范圍為.(6分)列表如下：af(a)0f(a)極大值所以當(dāng)a時(shí)，f(a)maxf，即Smax.答：窗口ABCD面積的最大值為 m2.(16分) 解法2 設(shè)AB所在的木條長為am，BC所在的木條長為bm.由條件知，2a2b6，即ab3.因?yàn)閍，b(0,2)，所以b3a(0,2)，從而a，b(1,2)(8分)由于AB2，BC2，S矩形ABCD4，(10分)因?yàn)椋?14分)當(dāng)且僅當(dāng)ab(1,2)時(shí)，S矩形ABCD.答：窗口ABCD面積的最大值為 m2.(16分) 第(1)問中，最容易出錯(cuò)的地方是忽略“四根木條將圓分成9個(gè)區(qū)域”這一條件，從而導(dǎo)致變量的取值范圍出錯(cuò) 本題的本質(zhì)是直線與圓的位置關(guān)系問題，第(1)問是由圓心到直線的距離的要求來求弦長的范圍；而第(2)問是已知弦長的要求來求圓心到直線的距離的范圍，弄清這一本質(zhì)，問題就很容易求解【關(guān)聯(lián)3】、一位創(chuàng)業(yè)青年租用了一塊邊長為1百米的正方形田地ABCD來養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，他在正方形的邊BC，CD上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)(不與正方形的頂點(diǎn)重合)，連結(jié)AE，EF，F(xiàn)A，使得EAF45. 現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長區(qū)，AEF部分規(guī)劃為蜂巢區(qū)，CEF部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū). 若蜂源植物生長區(qū)的投入約為2105元/百米2，蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為105元/百米2，則這三個(gè)區(qū)域的總投入最少需要多少元？ 解法1設(shè)陰影部分面積為S，三個(gè)區(qū)域的總投入為T.則T2105S105(1S)105(S1)，從而只要求S的最小值即可(2分)設(shè)EAB(0<<45)，在ABE中，因?yàn)锳B1，B90，所以BEtan，則SABEABBEtan，(4分)又DAF45，同理得SADFtan(45)，(6分)所以Stantan(45)tan，(8分)令xtan(0,1)，S (10分) (22)1，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)取等號(hào)(12分)從而三個(gè)區(qū)域的總投入T的最小值約為105元(14分)(說明：這里S的最小值也可以用導(dǎo)數(shù)來求解：因?yàn)镾，則由S0，得x1.當(dāng)x(0，1)時(shí)，S<0，S遞減；當(dāng)x(1,1)時(shí)，S>0，S遞增所以當(dāng)x1時(shí)，S取得最小值1.解法2 設(shè)陰影部分面積為S，三個(gè)區(qū)域的總投入為T.則T2105S105(1S)105(S1)，從而只要求S的最小值即可(2分)如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)直線AE的方程為ykx(0<k<1)，即ktanEAB，因?yàn)镋AF45，所以直線AF的斜率為tan(EAB45)，從而直線AF方程為yx.(6分)在方程ykx中，令x1，得E(1，k)，所以SEABABBEk；在方程yx中，令y1，得F，所以SADFADDF；從而S，k(0,1)(10分)以下同解法一(14分)解法3 設(shè)陰影部分面積為S，三個(gè)區(qū)域的總投入為T.則T2105S105(1S)105(S1)，從而只要求S的最小值即可(2分)設(shè)DAF，BAE(0<，<45)，則S(tantan)(4分)因?yàn)?0EAF45，所以tan()1，(8分)所以tantan1tantan12，(10分)即2S1S2，解得S1，即S取得最小值為1，從而三個(gè)區(qū)域的總投入T的最小值約為105元(14分)例2、某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量（單位：百千克）與肥料費(fèi)用（單位：百元）滿足如下關(guān)系：，且投入的肥料費(fèi)用不超過5百元此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費(fèi)等）百元已知這種水蜜桃的市場售價(jià)為16元/千克（即16百元/百千克），且市場需求始終供不應(yīng)求記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為（單位：百元）（1）求利潤函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？法二：，由得，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；故答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，種植該果樹獲得的最大利潤是4300元【變式1】、 某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量P萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費(fèi)用x萬元滿足P(其中0xa，a為正常數(shù))已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品還需投入成本6萬元(不含促銷費(fèi)用)，產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元/件(1) 將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；(2) 當(dāng)促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，該公司的利潤最大？【解析】 (1) 由題意知，yPx6.(3分)將P代入化簡得y19x(0xa)(5分)(2) y2222310，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x2時(shí)，上式取等號(hào)(8分)所以當(dāng)a2時(shí)，促銷費(fèi)用投入2萬元時(shí)，廠家的利潤最大；(9分)由y19x，得y，當(dāng)x<2時(shí)，y>0，此時(shí)函數(shù)y在0,2上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a<2時(shí)，函數(shù)y在0，a上單調(diào)遞增，(11分)所以當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)有最大值即促銷費(fèi)用投入a萬元時(shí)，廠家的利潤最大(12分)綜上，當(dāng)a2時(shí)，促銷費(fèi)用投入2萬元，廠家的利潤最大；當(dāng)a<2時(shí)，促銷費(fèi)用投入a萬元，廠家的利潤最大(14分) 【變式2】、 某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷售Q（萬件）與廣告費(fèi)x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系為Q（x0）已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4.5萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入32萬元，且能全部銷售完若每件銷售價(jià)定為：“平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的25%”之和 （1） 試將年利潤W（萬元）表示為年廣告費(fèi)x（萬元）的函數(shù)； （2） 當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)年利潤最大？最大利潤為多少？ 【解析】（1）由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為（32Q4.5）萬元， 每件銷售價(jià)為150%25%年銷售收入為(150%25%)Q(32Q)x年利潤W(32Q)x(32Q)x(32Q)x16Qx16x，(x0) （2）令x1t（t1），則W16(t1)643t673()t1，24，即W55，當(dāng)且僅當(dāng)，即t8時(shí)，W有最大值55，此時(shí)x7 即當(dāng)年廣告費(fèi)為7萬元時(shí)，企業(yè)利潤最大，最大值為55萬元【變式3】、 過去的2013年，我國多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷某品牌口罩原來每只成本為6元，售價(jià)為8元，月銷售5萬只(1) 據(jù)市場調(diào)查，若售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少0.2萬只，要使月總利潤不低于原來的月總利潤(月總利潤月銷售總收入月總成本)，該口罩每只售價(jià)最多為多少元？(2) 為提高月總利潤，廠家決定下月進(jìn)行營銷策略改革，計(jì)劃每只售價(jià)x(x9)元，并投入(x9)萬元作為營銷策略改革費(fèi)用據(jù)市場調(diào)查，每只售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少萬只，則當(dāng)每只售價(jià)x為多少時(shí)，下月的月總利潤最大？并求出下月最大總利潤【解析】 (1) 設(shè)每只售價(jià)為x元，則月銷售量為萬只由已知得(x6)(86)5，(3分)所以x2x0，即2x253x2960.(4分)解得8x.(5分)即每只售價(jià)最多為18.5元(6分)(2) 下月的月總利潤y(x6)(x9)(9分) x x .(10分)因?yàn)閤9，所以2，(12分)當(dāng)且僅當(dāng)，即x10，等號(hào)成立，所以ymin14.(13分)答：當(dāng)x10時(shí)，下月的月總利潤最大，且最大利潤為14萬元(14分)【變式4】、 某工廠有100名工人接受了生產(chǎn)1000臺(tái)某產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù)，每臺(tái)產(chǎn)品由9個(gè)甲型裝置和3個(gè)乙型裝置配套組成，每個(gè)工人每小時(shí)能加工完成1個(gè)甲型裝置或3個(gè)乙型裝置現(xiàn)將工人分成兩組分別加工甲型和乙型裝置設(shè)加工甲型裝置的工人有x人，他們加工完甲型裝置所需時(shí)間為t1小時(shí)，其余工人加工完乙型裝置所需時(shí)間為t2小時(shí)設(shè)f(x)t1t2.(1) 求f(x)的【解析】式，并寫出其定義域； (2) 當(dāng)x等于多少時(shí)，f(x)取得最小值？ 本題分為兩個(gè)階段：建模和解模，建模階段就是用自變量x表示時(shí)間t1，t2.解模階段就是根據(jù)(2) 解法1(基本不等式) f(x)1 000()10x(100x)1010(10分)因?yàn)?x99，xN*，所以0，0，所以26，(12分)當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)x75時(shí)取等號(hào)(13分)答：當(dāng)x75時(shí)，f(x)取得最小值(14分)解法2(導(dǎo)數(shù)) f(x)，令f(x)0得，x75，xN*(10分)當(dāng)x(0，75)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(75，100)時(shí)，f(x)>0，(13分)故當(dāng)x75時(shí)，f(x)取得最小值(14分) 本題要注意定義域的書寫，人只能是正整數(shù)個(gè)，即xN*.一般地，求解函數(shù)【解析】式時(shí)，必須給出定義域，否則高考閱卷時(shí)會(huì)扣分，即便在后面列表中有范圍，也沒有用