題型練9大題綜合練(一)1.(20xx全國(guó),理17)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.2.端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.3.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求證:PD平面PAB;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,說明理由.4.設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為510.(1)求E的離心率e;(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為72,求E的方程.5.設(shè)函數(shù)f(x)=2ln(x+1)+x2x+1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)如果對(duì)所有的x0,都有f(x)ax,求a的最小值;(3)已知在數(shù)列an中,a1=1,且(1-an+1)(1+an)=1,若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn>an+12an-ln an+1.參考答案題型練9大題綜合練(一)1.解(1)由題設(shè)及A+B+C=,得sinB=8sin2B2,故sinB=4(1-cosB).上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=1517.(2)由cosB=1517得sinB=817,故SABC=12acsinB=417ac.又SABC=2,則ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×1+1517=4.所以b=2.2.解(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”,則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.(2)X的所有可能值為0,1,2,且P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.綜上知,X的分布列為X012P715715115故E(X)=0×715+1×715+2×115=35(個(gè)).3.(1)證明因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因?yàn)镻APD,所以PD平面PAB.(2)解取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)镻A=PD,所以POAD.又因?yàn)镻O平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因?yàn)镃O平面ABCD,所以POCO.因?yàn)锳C=CD,所以COAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n·PD=0,n·PC=0,即-y-z=0,2x-z=0.令z=2,則x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又PB=(1,1,-1),所以cos<n,PB>=n·PB|n|PB|=-33.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為33.(3)解設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在0,1使得AM=AP.因此點(diǎn)M(0,1-,),BM=(-1,-,).因?yàn)锽M平面PCD,所以BM平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)BM·n=0,即(-1,-,)·(1,-2,2)=0.解得=14.所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM平面PCD,此時(shí)AMAP=14.4.解(1)由題設(shè)條件知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為23a,13b,又kOM=510,從而b2a=510,進(jìn)而得a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255.(2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得,直線AB的方程為x5b+yb=1,點(diǎn)N的坐標(biāo)為52b,-12b.設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為x1,72,則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為54b+x12,-14b+74.又點(diǎn)T在直線AB上,且kNS·kAB=-1,從而有54b+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b=5,解得b=3.所以a=35,故橢圓E的方程為x245+y29=1.5.(1)解f(x)的定義域?yàn)?-1,+),f'(x)=x2+4x+2(x+1)2.當(dāng)-1<x<-2+2時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>-2+2時(shí),f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,-2+2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-2+2,+)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)解設(shè)g(x)=2ln(x+1)+x2x+1-ax,則g'(x)=x2+4x+2(x+1)2-a=(x+1)2+2(x+1)-1(x+1)2-a=-1x+1-12+2-a.因?yàn)閤0,所以-1<-1x+1-120.當(dāng)a2時(shí),2-a0,g'(x)0,所以g(x)在區(qū)間0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,而g(0)=0,所以對(duì)所有的x0,g(x)0,即f(x)ax.當(dāng)1<a<2時(shí),0<2-a<1,若x0,2-a+2-aa-1,則g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,而g(0)=0,所以當(dāng)x0,2-a+2-aa-1時(shí),g(x)>0,即f(x)>ax.當(dāng)a1時(shí),2-a1,g'(x)>0,所以g(x)在區(qū)間0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,而g(0)=0,所以對(duì)所有的x>0,g(x)>0,即f(x)>ax.綜上,a的最小值為2.(3)證明由(1-an+1)(1+an)=1,得an-an+1=an·an+1,由a1=1得,an0,所以1an+1-1an=1,數(shù)列1an是以1a1=1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,所以1an=n,an=1n,an+1=1n+1.Sn>an+12an-lnan+1ln(n+1)+n2(n+1)<1+12+13+1n.由(2)知當(dāng)a=2時(shí),2ln(x+1)+x2x+12x,x>0,即ln(x+1)+x22(x+1)<x,x>0.(方法一)令x=1n,得lnn+1n+12n(n+1)<1n,即ln(n+1)-lnn+121n-1n+1<1n,因?yàn)閗=1nln(k+1)-lnk+121k-1k+1=ln(n+1)+n2(n+1),所以ln(n+1)+n2(n+1)<1+12+13+1n,故Sn>an+12an-lnan+1.(方法二)Sn>an+12an-lnan+11+12+13+1n>ln(n+1)+n2(n+1).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí),令x=1代入ln(x+1)+x22(x+1)<x,即得1>ln2+14,不等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,k1)時(shí),不等式成立,即1+12+13+1k>ln(k+1)+k2(k+1),則當(dāng)n=k+1時(shí),1+12+13+1k+1k+1>ln(k+1)+k2(k+1)+1k+1,令x=1k+1代入ln(x+1)+x22(x+1)<x,得1k+1>lnk+2k+1+12(k+1)(k+2),ln(k+1)+k2(k+1)+1k+1>ln(k+1)+k2(k+1)+lnk+2k+1+12(k+1)(k+2)=ln(k+2)+k(k+2)+12(k+1)(k+2)=ln(k+2)+k+12(k+2),即1+12+13+1k+1k+1>ln(k+2)+k+12(k+2).由可知不等式1+12+13+1n>ln(n+1)+n2(n+1)對(duì)任何nN*都成立.故Sn>an+12an-lnan+1.