4.1 數(shù)學歸納法學習目標1了解數(shù)學歸納法的原理2了解數(shù)學歸納法的使用范圍3會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題一、自學釋疑根據(jù)線上提交的自學檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。二、合作探究思考探究探究1數(shù)學歸納法的第一步n的初始值是否一定為1?探究2在用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題時，只有第一步或只有第二步可以嗎？為什么？名師點撥：1.歸納法由一系列有限的特殊事物得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫作歸納法它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生猜想的一種方法歸納法又分完全歸納法和不完全歸納法(1)不完全歸納法不完全歸納法是根據(jù)事物的部分特例(而不是全部)得到一般結(jié)論的方法用不完全歸納法得出的結(jié)論不一定是正確的，應(yīng)設(shè)法去證明結(jié)論是正確的或舉出反例說明結(jié)論是不正確的(2)完全歸納法如果驗證一切可能的特殊事物，得出一般性的結(jié)論，這種歸納法稱為完全歸納法完全歸納法是驗證所有情況后得出的結(jié)論，因此結(jié)論是正確的然而對于數(shù)量多，乃至無窮多個，是不能做到一一驗證的對于無窮多個的事物，常用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，并設(shè)法予以證明，數(shù)學歸納法就是解決這類問題的證明方法2數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題，它是在歸納的基礎(chǔ)上進行演繹推證，所得結(jié)論是正確的 (1)數(shù)學歸納法的原理從數(shù)學歸納法的定義可以看出，它強調(diào)的就是兩個基本步驟，第一步，驗證nn0時，命題成立，稱為奠基第二步，是假設(shè)遞推，這兩步都非常重要，缺一不可第一步，證明了nn0時，命題成立，nn0成為后面遞推的出發(fā)點第二步的歸納假設(shè)nk(kN，kn0)就有了依據(jù)，在nn0成立時，n01成立，n02成立這樣就可以無限推理下去，而證nk1就是替代了無限的驗證過程，所以說數(shù)學歸納法是一種合理，切實可行的證明方法，它實現(xiàn)了從有限到無限的飛躍(2)應(yīng)用數(shù)學歸納法的一般步驟驗證nn0(n0為使命題有意義的最小正整數(shù))命題成立；假設(shè)當nk(kn0，kN時)，命題成立，利用假設(shè)證明nk1時命題也成立由和知，對一切nn0的正整數(shù)命題成立3如何正確運用數(shù)學歸納法(1)適用范圍，與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題(2)驗證nn0是基礎(chǔ)，找準n0，它是使命題成立的最小正整數(shù)，不一定都是從1開始(3)遞推是關(guān)鍵，數(shù)學歸納法的實質(zhì)是遞推，即從nk到nk1的推理過程，必須用上假設(shè)，否則不是數(shù)學歸納法(4)正確尋求遞推關(guān)系，在驗證nn0時，不妨多寫出幾項，這樣可能找出遞推關(guān)系；在解決幾何命題時，可先用特例歸納出規(guī)律，即找出f(k)到f(k1)的圖形的變化情況；對于整除性問題，往往添加項湊出假設(shè)【例1】看下面的證明是否正確，如果不正確，指出錯誤的原因，并加以改正用數(shù)學歸納法證明：1248(1)n12n1(1)n1. 【證明】(1)當n1時，左邊1，右邊1，等式成立(2)假設(shè)nk時，等式成立，即1248(1)k12k1(1)k1.則當nk1時，有1248(1)k12k1(1)k2k (1)k1 (1)k.這就是說，當nk1時，等式也成立由(1)與(2)知，對任意nN等式成立【變式訓練1】用數(shù)學歸納法證明：nN時，.【例2】設(shè)xN，nN，求證：xn2(x1)2n1能被x2x1整除【變式訓練2】求證：二項式x2ny2n(nN)能被xy整除【例3】平面上有n條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過同一點，求證：這n條直線把平面分割成f(n)塊區(qū)域【變式訓練3】已知n個圓中每兩個圓相交于兩點，且無三圓過同一點，用數(shù)學歸納法證明這n個圓把平面分成n2n2部分參考答案1.歸納法由一系列有限的特殊事物得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫作歸納法它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生猜想的一種方法歸納法又分完全歸納法和不完全歸納法(1)不完全歸納法不完全歸納法是根據(jù)事物的部分特例(而不是全部)得到一般結(jié)論的方法用不完全歸納法得出的結(jié)論不一定是正確的，應(yīng)設(shè)法去證明結(jié)論是正確的或舉出反例說明結(jié)論是不正確的(2)完全歸納法如果驗證一切可能的特殊事物，得出一般性的結(jié)論，這種歸納法稱為完全歸納法完全歸納法是驗證所有情況后得出的結(jié)論，因此結(jié)論是正確的然而對于數(shù)量多，乃至無窮多個，是不能做到一一驗證的對于無窮多個的事物，常用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，并設(shè)法予以證明，數(shù)學歸納法就是解決這類問題的證明方法2數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題，它是在歸納的基礎(chǔ)上進行演繹推證，所得結(jié)論是正確的 (1)數(shù)學歸納法的原理從數(shù)學歸納法的定義可以看出，它強調(diào)的就是兩個基本步驟，第一步，驗證nn0時，命題成立，稱為奠基第二步，是假設(shè)遞推，這兩步都非常重要，缺一不可第一步，證明了nn0時，命題成立，nn0成為后面遞推的出發(fā)點第二步的歸納假設(shè)nk(kN，kn0)就有了依據(jù)，在nn0成立時，n01成立，n02成立這樣就可以無限推理下去，而證nk1就是替代了無限的驗證過程，所以說數(shù)學歸納法是一種合理，切實可行的證明方法，它實現(xiàn)了從有限到無限的飛躍(2)應(yīng)用數(shù)學歸納法的一般步驟驗證nn0(n0為使命題有意義的最小正整數(shù))命題成立；假設(shè)當nk(kn0，kN時)，命題成立，利用假設(shè)證明nk1時命題也成立由和知，對一切nn0的正整數(shù)命題成立3如何正確運用數(shù)學歸納法(1)適用范圍，與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題(2)驗證nn0是基礎(chǔ)，找準n0，它是使命題成立的最小正整數(shù)，不一定都是從1開始(3)遞推是關(guān)鍵，數(shù)學歸納法的實質(zhì)是遞推，即從nk到nk1的推理過程，必須用上假設(shè)，否則不是數(shù)學歸納法(4)正確尋求遞推關(guān)系，在驗證nn0時，不妨多寫出幾項，這樣可能找出遞推關(guān)系；在解決幾何命題時，可先用特例歸納出規(guī)律，即找出f(k)到f(k1)的圖形的變化情況；對于整除性問題，往往添加項湊出假設(shè)探究1提示不一定探究2提示不可以這兩個步驟缺一不可，只完成步驟而缺少步驟，就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論因為單靠步驟，無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確，我們無法判定同樣，只有步驟而缺少步驟時，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟這個基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟也就沒有意義了.【例1】【解】從上面的證明過程可以看出，是用數(shù)學歸納法證明等式成立在第二步中，證nk1時沒有用上假設(shè)，而是直接利用等比數(shù)列的求和公式，這是錯誤的第二步正確證法應(yīng)為：當nk1時，1248(1)k12k1(1)k2k(1)k1(1)k2k(1)k(1)k2k(1)k2k(1)k.即當nk1時，等式也成立【變式訓練1】證明(1)當n1時，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)nk時，等式成立，即.則當nk1時，.即當nk1時，等式也成立由(1)，(2)可知對一切nN等式成立【例2】【證明】(1)當n1時，x3(x1)3x(x1)x2x(x1)(x1)2(2x1)(x2x1)，結(jié)論成立(2)假設(shè)nk時，結(jié)論成立，即xk2(x1)2k1能被x2x1整除，那么當nk1時，x(k1)2(x1)2(k1)1xxk2(x1)2(x1)2k1xxk2(x1)2k1(x1)2(x1)2k1x(x1)2k1xxk2(x1)2k1(x2x1)(x1)2k1.由假設(shè)知，xk2(x1)2k1及x2x1均能被x2x1整除，故x(k1)2(x1)2(k1)1能被x2x1整除，即nk1時，結(jié)論也成立由(1)(2)知，原結(jié)論成立【變式訓練2】證明(1)當n1時，x2y2(xy)(xy)，命題成立(2)假設(shè)nk時，x2ky2k能被xy整除，那么nk1時，x2(k1)y2(k1)x2x2ky2y2kx2(x2ky2k)x2y2ky2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k與x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1時，命題也成立由(1)(2)知，對任意的正整數(shù)n命題成立【例3】【證明】(1)當n1時，一條直線把平面分割成2塊而f(1)2，命題成立(2)假設(shè)nk時，k條直線把平面分成f(k)塊區(qū)域，那么當nk1時，設(shè)k1條直線為l1，l2，l3lk，lk1，不妨取出l1，余下的k條直線l2，l3，lk，lk1將平面分割成f(k)塊區(qū)域， 直線l1被這k條直線分割成k1條射線或線段，它們又分別將各自所在區(qū)域一分為二，故增加了k1塊區(qū)域，所以f(k1)f(k)k1k1，這就是說，當nk1時，命題也成立由(1)(2)知，命題對一切nN成立【變式訓練3】證明(1)當n1時，1個圓把平面分成兩部分，而21212.所以當n1時，命題成立(2)假設(shè)nk時命題成立，即k個圓把平面分成k2k2部分當nk1時，平面上增加第k1個圓，它與原來的k個圓中的每個圓都相交于兩個不同點，共2k個交點，而這2k個交點把第k1個圓分成2k段弧，每段弧把原來的區(qū)域隔成了兩塊區(qū)域，區(qū)域的塊數(shù)增加了2k塊k1個圓把平面劃分成的塊數(shù)為(k2k2)2kk2k2(k1)2(k1)2，當nk1時命題也成立根據(jù)(1)(2)知，命題對nN都成立