第2講小題考法圓錐曲線的性質(zhì)一、主干知識要記牢圓錐曲線的定義、標準方程和性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)|PF|PM|，點F不在直線l上，PMl于M標準方程1(a>b>0)1(a>0，b>0)y22px(p>0)圖形幾何性質(zhì)軸長軸長2a，短軸長2b實軸長2a，虛軸長2b離心率e (0<e<1)e (e>1)e1漸近線yx二、二級結(jié)論要用好1橢圓焦點三角形的3個規(guī)律設(shè)橢圓方程是1(a>b>0)，焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c，0)，點P是橢圓上一點且點P的坐標是(x0，y0)(1)三角形的三個邊長是|PF1|aex0，|PF2|aex0，|F1F2|2c，e為橢圓的離心率(2)如果PF1F2中F1PF2，則這個三角形的面積SPF1F2c|y0|b2tan (3)橢圓的離心率e2雙曲線焦點三角形的2個結(jié)論P(x0，y0)為雙曲線1(a>0，b>0)上的點，PF1F2為焦點三角形(1)面積公式Sc|y0|r1r2sin (其中|PF1|r1，|PF2|r2，F(xiàn)1PF2)(2)焦半徑若P在右支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a；若P在左支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a3拋物線y22px(p>0)焦點弦AB的4個結(jié)論(1)xAxB；(2)yAyBp2；(3)|AB|(是直線AB的傾斜角)；(4)|AB|xAxBp4圓錐曲線的通徑(1)橢圓通徑長為；(2)雙曲線通徑長為；(3)拋物線通徑長為2p5圓錐曲線中的最值(1)橢圓上兩點間的最大距離為2a(長軸長)(2)雙曲線上兩點間的最小距離為2a(實軸長)(3)橢圓焦半徑的取值范圍為ac，ac，ac與ac分別表示橢圓焦點到橢圓上的點的最小距離與最大距離(4)拋物線上的點中頂點到拋物線準線的距離最短三、易錯易混要明了1利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支2解決橢圓、雙曲線、拋物線問題時，要注意其焦點的位置3直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零，判別式0的限制尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時，必須先有“判別式0”；在解決交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應(yīng)在“>0”下進行考點一圓錐曲線的定義與標準方程求解圓錐曲線標準方程的思路方法(1)定型，即指定類型，也就是確定圓錐曲線的類型、焦點位置，從而設(shè)出標準方程(2)計算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當焦點位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y2ax或x2ay(a0)，橢圓常設(shè)為mx2ny21(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn>0)1(2018邵陽模擬)設(shè)點P是雙曲線y21上一點，A(0，2)，B(0,2)，|PA|PB|8，|PA|4，則|PB|(C)A2 BC3 D解析由于|PA|4, 所以|PB|4, 故|PA|PB|2a2，由于|PA|PB|8, 解得|PB|3, 故選C2(2018珠海模擬)已知雙曲線M：1(a0，b0)，其焦點F(c,0)(c0)，右頂點A(a,0)到雙曲線M的一條漸近線距離為，以點A為圓心，c為半徑的圓在y軸所截弦長為8，則雙曲線M的方程為(A)A1 B1Cx2y29 Dx2y216解析因為右頂點A(a，0)到雙曲線M的一條漸近線距離為，所以.圓的方程為(xa)2y2c2，令x0得，yb，2b8.b4.又因為a2b2c2，c5，a3，故選A3(2018衡水中學(xué)押題卷)已知橢圓1的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，點P在該橢圓上，若|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積是_解析由橢圓的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2為直角三角形，且PF2F1為直角，所以SPF1F2|F1F2|PF2|21考點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)1橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零，分解因式可得(2)用法：可得或的值；利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程1(2018齊魯名校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1(ab0)的上、下頂點分別為B1、B2，左頂點為A，左焦點為F，若直線AB1與直線B2F互相垂直，則橢圓的離心率為(C)A BC D解析依題意，直線AB1與直線B2F互相垂直，kAB1kB2F1，b2ac，a2c2ac，e2e10，e，故選C2(2018三湘教育聯(lián)盟聯(lián)考)已知P(，)為雙曲線C：x21上一點，則點P到雙曲線C的漸近線的距離為(B)A B或C D或解析由題意知，31解得b23，則雙曲線C的漸近線方程為xy0，所以P(，)到xy0的距離為或，即或，故選B3(2018郴州二模)已知雙曲線1的一個焦點在直線xy5上，則雙曲線的漸近線方程為(B)Ayx ByxCyx Dyx解析根據(jù)題意，雙曲線的方程為1，則其焦點在x軸上，直線xy5與x軸交點的坐標為(5,0)，則雙曲線的焦點坐標為(5,0)，則有9m25，解可得，m16，則雙曲線的方程為1，其漸近線方程為yx，故選B4(2018株洲二檢)已知雙曲線C：1的右焦點為F，其中一條漸近線與圓(xc)2y2a2(c2a2b2，c0)交于A，B兩點，ABF為銳角三角形，則雙曲線C的離心率的取值范圍是(D)AB(，)C(1，) D解析雙曲線C：1的右焦點為F(c,0)，一條漸近線方程為bxay0，圓(xc)2y2a2(c2a2b2，c0)的圓心(c,0)，半徑為a，漸近線與圓交于A，B兩點，ABF為銳角三角形，可得：aa，可得a2b2a2，又c2a2b2，b2a2，可得c2a2可得e，由a2b2可得e.所以雙曲線C的離心率的取值范圍是.故選D考點三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及簡單應(yīng)用處理圓錐曲線與圓相結(jié)合問題的注意點(1)注意圓心、半徑和平面幾何知識的應(yīng)用，如直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等(2)注意圓與特殊線的位置關(guān)系，如圓的直徑與橢圓長軸(短軸)，與雙曲線的實軸(虛軸)的關(guān)系；圓與過定點的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準線的位置關(guān)系等1(2018河南聯(lián)考)已知直線ykxt與圓x2(y1)21相切且與拋物線C：x24y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是(A)A(，3)(0，) B(，2)(0，)C(3,0) D(2,0)解析因為直線與圓相切，所以1，即k2t22t.將直線方程代入拋物線方程并整理得x24kx4t0，于是16k216t16(t22t)16t>0，解得t>0或t<3.故選A2經(jīng)過橢圓y21的一個焦點作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A，B兩點設(shè)O為坐標原點，則等于(B)A3 BC或3 D解析依題意，當直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(1,0)時，其方程為y0tan 45(x1)，即yx1，代入橢圓方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以兩個交點坐標分別為(0，1)，同理，直線 l經(jīng)過橢圓的左焦點時，也可得.故的值為3(2018湖北聯(lián)考)拋物線y24x的焦點為F，直線yx與該拋物線交于O、A兩點(O為坐標原點)，與拋物線的準線交于B點，直線AF與拋物線的另一交點為C，則cos ABC_解析A(4,4)，B(1，1)，AF：y(x1)，CABC，cos ABC4(2018唐山一模)已知P為拋物線y2x上異于原點O的點，PQx軸，垂足為Q，過PQ的中點作x軸的平行線交拋物線于點M，直線QM交y軸于點N，則_ _解析如圖，設(shè)P(t2，t)，則Q(t2,0)，PQ中點H.M，直線MQ的方程為： y(xt2)，令x0，可得yN，則