考點(diǎn)測(cè)試25解三角形的應(yīng)用一、基礎(chǔ)小題1從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，之間的關(guān)系是()A> BC90 D180答案B解析根據(jù)仰角與俯角的含義，畫圖即可得知2在ABC中，若A，B，C成等差數(shù)列，且AC，BC2，則A()A135 B45C30 D45或135答案B解析因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，所以B60由正弦定理，得，則sinA又BCAC，所以AB，故A45故選B3海上有三個(gè)小島A，B，C，測(cè)得BAC135，AB6，AC3，若在B，C兩島的連線段之間建一座燈塔D，使得燈塔D到A，B兩島距離相等，則B，D間的距離為()A3 B C D3答案B解析由題意可知，D為線段AB的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，設(shè)BDt由余弦定理可得BC262(3)2263cosBAC90，解得BC3由cosABC，解得t故選B4一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A海里/小時(shí) B34海里/小時(shí)C海里/小時(shí) D34海里/小時(shí)答案A解析如圖所示，在PMN中，MN34v(海里/小時(shí))故選A5在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c若，則ABC的形狀為()A等邊三角形B等腰直角三角形C有一個(gè)角為30的直角三角形D有一個(gè)角為30的等腰三角形答案B解析由正弦定理，得，又，兩式相除，得1tanBtanC，所以BC45所以A90，故ABC為等腰直角三角形故選B6如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測(cè)量方法：測(cè)量A，C，b；測(cè)量a，b，C；測(cè)量A，B，a，則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號(hào)為()A B C D答案D解析由題意可知，在三個(gè)條件下三角形均可唯一確定，通過解三角形的知識(shí)可求出AB故選D7一艘海監(jiān)船在某海域?qū)嵤┭埠奖O(jiān)視，由A島向正北方向行駛80海里至M處，然后沿東偏南30方向行駛50海里至N處，再沿南偏東30方向行駛30海里至B島，則A，B兩島之間的距離是_海里答案70解析依題意畫出圖形，連接AN，則在AMN中，應(yīng)用余弦定理可得AN250280225080cos60，即AN70應(yīng)用余弦定理可得cosANM，所以sinANM在ANB中，應(yīng)用余弦定理可得AB2(30)270223070cosANB，而cosANBcos(150ANM)cos150cosANMsin150sinANM，所以AB708某中學(xué)舉行升旗儀式，在坡度為15的看臺(tái)E點(diǎn)和看臺(tái)的坡腳A點(diǎn)，分別測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為30和60，量得看臺(tái)坡腳A點(diǎn)到E點(diǎn)在水平線上的射影B點(diǎn)的距離為10 m，則旗桿的高是_m答案10(3)解析由題意得DEA45，ADE30，AE，所以AD，因此CDADsin60sin6010(3)二、高考小題9(2016全國(guó)卷)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cosA()A B C D答案C解析解法一：過A作ADBC，垂足為D，由題意知ADBDBC，則CDBC，ABBC，ACBC，在ABC中，由余弦定理的推論可知，cosBAC故選C解法二：過A作ADBC，垂足為D，由題意知ADBDBC，則CDBC，在RtADC中，ACBC，sinDAC，cosDAC，又因?yàn)锽，所以cosBACcoscosDACcossinDACsin故選C10(2018北京高考)若ABC的面積為(a2c2b2)，且C為鈍角，則B_；的取值范圍是_答案(2，)解析依題意有acsinB(a2c2b2)2accosB，則tanB，0<B<，B，C為鈍角，A>，又A>0，0<A<，則0<tanA<，>，故>2故的取值范圍為(2，)11(2018江蘇高考)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，ABC120，ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD1，則4ac的最小值為_答案9解析解法一：依題意畫出圖形，如圖所示易知SABDSBCDSABC，即csin60asin60acsin120，acac，1，4ac(4ac)59，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，c3時(shí)取“”解法二：作DECB交AB于E，BD為ABC的平分線，DECB，2，1222|，1，acac，1，4ac(4ac)59，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，c3時(shí)取“”解法三：以B為原點(diǎn)，BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(1，0)，ABc，BCa，A，c，C，aA，D，C三點(diǎn)共線，1ac10，acac，1，4ac(4ac)59，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，c3時(shí)取“”12(2015全國(guó)卷)在平面四邊形ABCD中，ABC75，BC2，則AB的取值范圍是_答案(，)解析解法一：如圖所示，因?yàn)锳BC75，所以D135因?yàn)锽C2，所以當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，由正弦定理可得，解得AB當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，由正弦定理可得，解得AB因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以AB(，)所以AB的取值范圍是(，)解法二：如圖所示，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFAD交AB于點(diǎn)F，則BF<AB<BE在等腰三角形CBF中，F(xiàn)CB30，CFBC2，BF在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE<AB<所以AB的取值范圍是(，)13(2017浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD2，連接CD，則BDC的面積是_，cosBDC_答案解析ABAC4，BC2，cosABCABC為三角形的內(nèi)角，sinABC，sinCBD，故SCBD22BDBC2，ABC2BDC又cosABC，2cos2BDC1，得cos2BDC，又BDC為銳角，cosBDC三、模擬小題14(2018東北三校聯(lián)考)若兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東40方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km Ba km C2a km Da km答案D解析如圖所示，依題意知ACB1802040120，ACBCa km，在ABC中，由余弦定理知ABa(km)，即燈塔A與燈塔B的距離為a km故選D15(2018福建八校聯(lián)考)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為S若a2sinC4sinA，(ac)212b2，則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為()A B2 C3 D答案A解析由正弦定理得a2c4a，所以ac4，且a2c2b2122ac4，代入面積公式得故選A16(2018湖南邵陽(yáng)一模)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知三個(gè)向量ma，cos，nb，cos，pc，cos共線，則ABC的形狀為()A等邊三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案A解析向量ma，cos，nb，cos共線，acosbcos由正弦定理得sinAcossinBcos2sincoscos2sincoscos，sinsin0<<，0<<，AB同理可得BC，ABC為等邊三角形故選A17(2018南昌模擬)如圖所示，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東30角的方向沿直線前往B處營(yíng)救，則sin的值為_答案解析如圖，連接BC，在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos120700，BC10，再由正弦定理，得，sin18(2018廣東汕頭期末)為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣候觀測(cè)，如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)點(diǎn)A，B兩地相距100米，BAC60，在A地聽到彈射聲音比B地晚秒(已知聲音傳播速度為340米/秒)，在A地測(cè)得該儀器至高H處的仰角為30，則這種儀器的垂直彈射高度HC_米答案140解析設(shè)BCx米，則ACx340(x40)米在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC，即x21002(40x)22100(40x)，解得x380，所以AC38040420(米)解法一：HCACtanHAC420140(米)解法二：因?yàn)镠AC30，所以AHC903060在ACH中，由正弦定理，得，即，所以HC140(米)一、高考大題1(2018天津高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c已知bsinAacosB(1)求角B的大??；(2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB，又由bsinAacosB，得asinBacosB，即sinBcosB，可得tanB又因?yàn)锽(0，)，可得B(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accosB7，故b由bsinAacosB，可得sinA因?yàn)閍<c，故cosA因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1所以，sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB2(2017全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知sinAcosA0，a2，b2(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積解(1)由已知可得tanA，所以A在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240解得c6(舍去)或c4(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD故ABD面積與ACD面積的比值為1又ABC的面積為42sinBAC2，所以ABD的面積為3(2016浙江高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c已知bc2acosB(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小解(1)證明：由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB，于是sinBsin(AB)又A，B(0，)，故0<AB<，所以，B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B(2)由S得absinC，故有sinBsinCsin2BsinBcosB，因sinB0，得sinCcosB又B，C(0，)，所以CB當(dāng)BC時(shí)，A；當(dāng)CB時(shí)，A綜上，A或A二、模擬大題4(2018湖北部分重點(diǎn)中學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足cos(AB)2sinAsinB(1)判斷ABC的形狀；(2)若a3，c6，CD為角C的平分線，求CD的長(zhǎng)解(1)由cos(AB)2sinAsinB，得cosAcosBsinAsinB2sinAsinB，cosAcosBsinAsinB0，cos(AB)0，C90故ABC為直角三角形(2)由(1)知C90，又a3，c6，b3，A30，ADC1803045105由正弦定理得，CDsin305(2018云南昆明二模)如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，滿足ADAC，cosBAC，AB3，BD(1)求AD的長(zhǎng)；(2)求ABC的面積解(1)因?yàn)锳DAC，cosBAC，且BAC(0，)，所以sinBAC又sinBACsinBADcosBAD，在ABD中，BD2AB2AD22ABADcosBAD，即AD28AD150，解得AD5或AD3，由于AB>AD，所以AD3(2)在ABD中，又由cosBAD，得sinBAD，所以sinADB，則sinADCsin(ADB)sinADB因?yàn)锳DBDACCC，所以cosC在RtADC中，cosC，則tanC，所以AC3則ABC的面積SABACsinBAC3366(2018鄭州質(zhì)檢)在ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccosB2ab(1)求角C的大?。?2)若ABC的面積Sc，求ab的最小值解解法一：(1)因?yàn)?ccosB2ab，所以2c2ab，化簡(jiǎn)得a2b2c2ab，所以cosC又因?yàn)?<C<180，所以C120(2)因?yàn)镾absinCabc，即cab代入a2b2c2ab，得a2b2aba2b22ab，解得ab12，所以ab的最小值為12，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立解法二：(1)因?yàn)?ccosB2ab，2R，所以2sinCcosB2sinAsinB，即2sinCcosB2sin(BC)sinB，所以2sinCcosB2sinBcosC2cosBsinCsinB即sinB(2cosC1)0，因?yàn)閟inB0，解得cosC又因?yàn)?<C<180，所以C120(2)因?yàn)镾absinCabc，即cab又因?yàn)閏2a2b22abcosCa2b2ab，所以a2b2a2b2ab3ab，解得ab12，所以ab的最小值為12，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立