第六節(jié)第六節(jié)幾何概型幾何概型考綱傳真(教師用書獨具)1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.2.了解幾何概型的意義(對應(yīng)學生用書第 181 頁)基礎(chǔ)知識填充1幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例， 與區(qū)域的形狀，位置無關(guān)，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型2幾何概型的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(2)等可能性：每個試驗結(jié)果的發(fā)生具有等可能性3幾何概型的概率公式P(A)構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積).基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率()(2)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個數(shù)，取到 1 的概率是110.()(3)概率為 0 的事件一定是不可能事件()(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是()A AP(A)38，P(B)28，P(C)26，P(D)13，所以P(A)P(C)P(D)P(B)3已知函數(shù)f(x)x22x3，x1,4，則f(x)為增函數(shù)的概率為()A15B25C35D45C Cf(x)x22x3(x1)24，x1,4，f(x)在1,4上是增函數(shù)f(x)為增函數(shù)的概率為P414(1)35.4(20 xx全國卷)如圖 1061，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱 在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()圖 1061A14B8C12D4B B不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為 2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為 1，可得S正方形4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑S白12S圓2，所以由幾何概型知所求概率PS黑S正方形248.故選 B5 如圖 1062 所示， 在邊長為 1 的正方形中隨機撒 1 000 粒豆子， 有 180 粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為_圖 10620 0.1818由題意知，S陰S正1801 0000.18.S正1，S陰0.18.(對應(yīng)學生用書第 181 頁)與長度(角度)有關(guān)的幾何概型(1)(20 xx全國卷)某公司的班車在 7：30,8：00,8：30 發(fā)車，小明在 7：50 至 8：30 之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過 10分鐘的概率是()A13B12C23D34(2)如圖 1063 所示，四邊形ABCD為矩形，AB 3，BC1，在DAB內(nèi)作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為_圖 1063(1)B B(2)13(1)如圖，7：50 至 8：30 之間的時間長度為 40 分鐘，而小明等車時間不超過 10 分鐘是指小明在 7：50 至 8：00 之間或 8：20 至 8：30 之間到達發(fā)車站，此兩種情況下的時間長度之和為 20 分鐘， 由幾何概型概率公式知所求概率為P204012.故選B(2)以A為圓心，以AD1 為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C，P，B.依題意，點P在上任何位置是等可能的，若射線AP與線段BC有公共點，則事件“點P在上發(fā)生”又在 RtABC中，易求BACBAC6.故所求事件的概率規(guī)律方法1.與長度有關(guān)的幾何概型,如果試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域可用長度度量，則其概率的計算公式為PA構(gòu)成事件A的區(qū)域長度試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度.2.與角度有關(guān)的幾何概型,當涉及射線的轉(zhuǎn)動、扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段.跟蹤訓練(1)(20 xx廣州綜合測試(二)在區(qū)間1,5上隨機地取一個實數(shù)a， 則方程x22ax4a30 有兩個正根的概率為()A23B12C38D13(2)(20 xx江蘇高考)記函數(shù)f(x) 6xx2的定義域為D在區(qū)間4,5上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是_(1)C C(2)59(1) 因 為 方 程x2 2ax 4a 3 0 有 兩 個 正 根 ， 所 以2a0，4a30，4a24(4a3)0，解得340，b1a.所有試驗結(jié)果為(a，b)|1ae,0b2，面積為 2(e1)，使函數(shù)f(x)有兩個相異零點的事件為1 (a，b)|b1a，1ae，0b2，面積為錯誤錯誤!1adalna|e1101，則所求概率為 P(A)12(e1)，故選A規(guī)律方法1.與平面幾何、解析幾何等知識交匯問題的解題思路利用平面幾何、解析幾何等相關(guān)知識，先確定基本事件對應(yīng)區(qū)域的形狀，再選擇恰當?shù)姆椒ê凸?，計算出其面積，進而代入公式求概率.2.與線性規(guī)劃交匯問題的解題思路先根據(jù)約束條件作出可行域，再確定形狀，求面積大小，進而代入公式求概率.3.與定積分交匯問題的解題思路先確定基本事件對應(yīng)區(qū)域的形狀構(gòu)成，再將其面積轉(zhuǎn)化為某定積分的計算，并求其大小，進而代入公式求概率.跟蹤訓練(1)(20 xx云南二檢)RAND(0,1)表示生成一個在(0,1)內(nèi)的隨機數(shù)(實數(shù))，若xRAND(0,1)，yRAND(0,1)，則x2y21 的概率為()A4B14C8D18(2)如圖 1064，點 A 的坐標為(1,0)，點 C 的坐標為(2,4)，函數(shù) f(x)x2.若在矩形 ABCD 內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于_圖 1064(1)A A(2)5 51212(1)由幾何概型的概率計算公式知， 所求概率P1412114， 故選 A(2)由題意知，陰影部分的面積S錯誤錯誤!(4x2)dx4x13x3|2153，所以所求概率 PSS矩形 ABCD5314512.與體積有關(guān)的幾何概型在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中， 點O為底面ABCD的中心， 在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于 1 的概率為_112如圖， 與點O距離不大于1的點的軌跡是一個半球， 其體積V112431323.事件“點P與點O距離大于 1 的概率”對應(yīng)的區(qū)域體積為 2323，根據(jù)幾何概型概率公式得，點P與點O距離大于 1 的概率P232323112.規(guī)律方法與體積有關(guān)的幾何概型問題求法的關(guān)鍵點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題， 關(guān)鍵是計算問題的總體積總空間以及事件的體積事件空間，對于某些較復(fù)雜的事件也可利用其對立事件去求.跟蹤訓練一個多面體的直觀圖和三視圖如圖 1065 所示， 點M是AB的中點， 一只蝴蝶在幾何體ADFBCE內(nèi)自由飛翔，則它飛入幾何體FAMCD內(nèi)的概率為()【導學號：79140363】圖 1065A34B23C13D12D D由題圖可知VFAMCD13SAMCDDF14a3，VADFBCE12a3，所以它飛入幾何體FAMCD內(nèi)的概率為14a312a312.