第2講大題考法數(shù)列求和問題考向一等差、等比數(shù)列的簡單綜合【典例】 (2017全國卷)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，a11，b11，a2b22(1)若a3b35，求bn的通項公式；(2)若T321，求S3解設an的公差為d，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.聯(lián)立解得(舍去)或因此bn的通項公式為bn2n1(2)由b11，T321得q2q200解得q5或q4當q5時，由得d8，則S321當q4時，由得d1，則S36技法總結(jié)等差、等比數(shù)列的基本量的求解策略(1)分析已知條件和求解目標，確定為最終解決問題需要先求解的中間問題如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差(公比)等，即確定解題的邏輯次序(2)注意細節(jié)例如：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，若等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能；在數(shù)列的通項問題中，第一項和后面的項能否用同一個公式表示等變式提升1(2018東莞二模)已知等比數(shù)列an與等差數(shù)列bn，a1b11，a1a2，a1，a2，b3成等差數(shù)列，b1，a2，b4成等比數(shù)列(1)求an，bn的通項公式；(2)設Sn，Tn分別是數(shù)列an，bn的前n項和，若SnTn100, 求n的最小值解(1)設數(shù)列an的公比為q，數(shù)列bn的公差為d，則 解得 (舍)或an2n1，bnn(2)由(1)易知Sn2n1，Tn由SnTn100，得2n101，是單調(diào)遞增數(shù)列，且2685101,27156101，n的最小值為7考向二等差、等比數(shù)列的判定及應用【典例】 (2017全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知(1)求an的通項公式；(2)求Sn，并判斷是否成等差數(shù)列審題指導看到S2，S3，想到設基本量，列方程組求解看到三項成等差數(shù)列，想到可用2SnSn1Sn2是否成立判斷規(guī)范解答(1)設an的公比為q由題設可得3分解得5分故an的通項公式為an(2)n.6分(2)由(1)可得Sn(1)n.8分由于Sn2Sn1(1)n22Sn，10分故Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列.12分處注意此類方程組的整體運算方法的運用，可快速求解處化簡Sn時易出現(xiàn)計算錯誤處對于Sn2Sn1的運算代入后，要針對目標，即化為2Sn，觀察結(jié)構(gòu)，整體運算變形，可得結(jié)論技法總結(jié)判定和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法(1)定義法：對于n1的任意自然數(shù)，驗證an1an為與正整數(shù)n無關(guān)的某一常數(shù)(2)中項公式法：若2anan1an1(nN*，n2)，則an為等差數(shù)列；若aan1an10(nN*，n2)，則an為等比數(shù)列變式提升2(2018吉林調(diào)研)艾薩克牛頓(1643年1月4日1727年3月31日)英國皇家學會會長，英國著名物理學家，同時在數(shù)學上也有許多杰出貢獻，牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f(x)的零點時給出一個數(shù)列xn滿足xn1xn，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列如果函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)有兩個零點1,2，數(shù)列xn為牛頓數(shù)列，設anln ，已知a12，xn>2，求an的通項公式an解 函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)有兩個零點1,2，解得f(x)ax23ax2a，則f(x)2ax3a則xn1xnxn，2，則數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列，又a12， 數(shù)列an是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則an22n12n3(2018六安聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且n，an，Sn成等差數(shù)列，bn2log2(1an)1(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn中去掉數(shù)列an的項后余下的項按原順序組成數(shù)列cn，求c1c2c100的值解(1)因為n，an，Sn成等差數(shù)列，所以Snn2an，所以Sn1(n1)2an1(n2)，得an12an2an1，所以an12(an11)(n2)又當n1時，S112a1，所以a11，所以a112，故數(shù)列an1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an122n12n，即an2n1(2)據(jù)(1)求解知，bn2log2(12n1)12n1，b11，所以bn1bn2，所以數(shù)列bn是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列又因為a11，a23，a37，a415，a531，a663，a7127，a8255，b64127，b106211，b107213，所以c1c2c100(b1b2b107)(a1a2a7)(212227)77107228911 202考向三數(shù)列求和問題【典例】等差數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足a13，b11，b2S210，a52b2a3(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)令cn設數(shù)列cn的前n項和為Tn，求T2n解(1)設數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，則由得解得所以an32(n1)2n1，bn2n1(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，則cn即cn所以T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)技法總結(jié)1.分組求和中分組的策略(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組(2)根據(jù)正號、負號分組2裂項相消的規(guī)律(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差(2)裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多3錯位相減法的關(guān)注點(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn對應項相乘(anbn)型數(shù)列求和(2)步驟：求和時先乘以數(shù)列bn的公比；將兩個和式錯位相減；整理結(jié)果形式變式提升4(2018云南模擬)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a1a34，a3是a22與a4的等差中項，若an12bn(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)若數(shù)列cn滿足cnan1，求數(shù)列cn的前n項和Sn解(1)設等比數(shù)列an的公比為q，且q0，由an0，a1a34得a22，又a3是a22與a4的等差中項，故2a3a22a4，22q222q2，q2或q0(舍)所以ana2qn22n1，an12n2bn，bnn(2)由(1)得，cnan12n2n，所以數(shù)列cn的前n項和：Sn2222n2n125(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a1a3，an1，設bn2nan(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn解(1)由bn2nan，得an，代入an1得，即bn1bn3，所以數(shù)列bn是公差為3的等差數(shù)列，又a1a3，所以，即，所以b12，所以bnb13(n1)3n1(2) 由bn3n1得an，所以Sn，Sn，兩式相減得Sn13所以Sn5