第二章 第13節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 第三課時(shí)1(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577238)(理科)(2018濟(jì)南市一模)已知函數(shù)f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函數(shù)f(x)在x0處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；并求此時(shí)f(x)在2,1上的最大值；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(x)exa，由函數(shù)f(x)在x0處取得極值，則f(0)1a0，解得a1，即有f(x)exx1，f(x)ex1，當(dāng)x0時(shí)，有f(x)0，f(x)遞減，當(dāng)x0時(shí)，有f(x)0，f(x)遞增則x0處f(x)取得極小值，也為最小值，且為2，又f(2)e23，f(1)e，f(2)f(1)，即有f(2)為最大值e23；(2)函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，即為exaxa0無實(shí)數(shù)解，由于x1時(shí)，e00顯然不成立，即有aR且a0.若x1，即有a，令g(x)，則g(x)，當(dāng)x2時(shí)，g(x)0，g(x)遞增，當(dāng)x1和1x2時(shí)，g(x)0，g(x)遞減即有x2處g(x)取得極小值，為e2，在x1時(shí)，g(x)0，則有0ae2，解得e2a0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e2,0)1(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577239)(文科)(2018南平市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)exx.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)已知t為實(shí)數(shù)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t2上的最小值；(3)定義在區(qū)間D上的函數(shù)g(x)，若存在區(qū)間a，bD及實(shí)常數(shù)m，當(dāng)xa，b時(shí)，g(x)的取值范圍恰為am，bm，則稱區(qū)間a，b為g(x)的一個(gè)同步偏移區(qū)間，m為同步偏移量試問函數(shù)yf(x)x(x21)在(1，)上是否存在同步偏移區(qū)間？若存在，請(qǐng)求出一個(gè)同步偏移區(qū)間及對(duì)應(yīng)的偏移量；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)由題意知f(1)e1, f(x)ex1.函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率ke1，切線方程為y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x.(2)令f(x)ex10得x0.當(dāng)t0時(shí)，在t，t2上f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，fmin(x)f(t)ett.當(dāng)2<t<0時(shí)，在t,0上f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；在0，t2上f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，fmin(x)f極小(x)f(0)1.當(dāng)t2時(shí)，在t，t2上f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，fmin(x)f(t2)et2t2.fmin(x) (3)函數(shù)yf(x)x(x21)在(1，)上不存在同步偏移區(qū)間證明如下：假設(shè)函數(shù)g(x)f(x)x(x21)(x21)ex存在同步偏移區(qū)間a，b, 則g(x)(x22x1)ex.x>1時(shí)，g(x)>0 ，g(x)為增函數(shù)，即方程(x21)exxm有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根設(shè)(x)(x21)exxm(x>1)，則(x)(x22x1)ex1.x>1，(x)>0，(x)在(1，)上單調(diào)遞增. (x)在區(qū)間(1，)上至多有一個(gè)零點(diǎn)與方程(x21)exxm有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根矛盾，假設(shè)不成立，即g(x)在(1，)上不存在同步偏移區(qū)間2(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577240)(理科)(2018濮陽市一模)設(shè)函數(shù)f(x)aln xbx2.(1)當(dāng)b1時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a1，b0時(shí)，函數(shù)g(x)f(x)kx，k為常數(shù)，若函數(shù)g(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1，x2，證明：x1x2>e2.解：(1)b1時(shí)，f(x)aln xx2，定義域是(0，)，f(x)(x0)，a0時(shí)，a2x20，f(x)0，f(x)在(0，)遞減a0時(shí)，f(x)，(x0)，x時(shí)，f(x)0，x時(shí)，f(x)0，故f(x)在遞減，在遞增(2)證明：a1，b0時(shí)，g(x)f(x)kxln xkx，由g(x)0，得ln xkx，設(shè)x1x2，又ln x1kx10，ln x2kx20，ln x1ln x2k(x1x2)，ln x1ln x2k(x1x2)，k.要證明x1x2e2，只需證明ln x1ln x22，即證明k(x1x2)2，即證明k，即證明，即證明ln .設(shè)t，則t1.設(shè)h(t)ln t，(t1)，則h(t)0，函數(shù)h(t)在(1，)遞增h(1)0，h(t)h(1)0，ln t，x1x2e2.3(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577241)(文科)(2018菏澤市一模)設(shè)函數(shù)f(x)ln xax2bx.(1)當(dāng)ab時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)令F(x)f(x)ax2bx(0<x3)，其圖象上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處切線的斜率k恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。(3)當(dāng)a0，b1時(shí)，方程f(x)mx在區(qū)間1，e2內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：(1)依題意，知f(x)的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)ab時(shí)，f(x)ln xx2x，f(x)x.令f(x)0，解得x1或x2(舍去)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1，)(2)由題意知F(x)ln x，x(0,3則有kF(x0)在(0,3)上恒成立，所以amax，當(dāng)x01時(shí)，xx0取得最大值，所以a； (3)當(dāng)a0，b1時(shí)，f(x)ln xx，由f(x)mx，得ln xxmx，又x>0，所以m1，要使方程f(x)mx在區(qū)間1，e2上有唯一實(shí)數(shù)解，只需m1有唯一實(shí)數(shù)解， 令g(x)1(x>0)，g(x)，由g(x)>0得0<x<e；g(x)<0，得x>e，g(x)在區(qū)間1，e上是增函數(shù)，在區(qū)間e，e2上是減函數(shù)g(1)1，g(e2)1，g(e)1，故1m<1.3(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577242)(理科)(2018鷹潭市一模)已知函數(shù)f(x)(2ax2bx1)ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若a，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(1)1，且方程f(x)1在(0,1)內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)若a，f(x)(x2bx1)ex，則f(x)(2xb)ex(x2bx1)exx2(b2)x1bex(x1)x(1b)ex，由f(x)0得(x1)x(1b)0，即x1或x1b，若1b1，即b0時(shí)，f(x)(x1)2ex0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為(，)若1b1，即b0時(shí)，由f(x)(x1)x(1b)ex0得(x1)x(1b)0，即1x1b，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1b)，由f(x)(x1)x(1b)ex0得(x1)x(1b)0，即x1，或x1b，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)，(1b，)，若1b1，即b0時(shí)，由f(x)(x1)x(1b)ex0得(x1)x(1b)0，即1bx1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為(1b,1)，由f(x)(x1)x(1b)ex0得(x1)x(1b)0，即x1b，或x1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為(，1b)，(1，)(2)若f(1)1，則f(1)(2ab1)e11，即2ab1e，則be12a，若方程f(x)1在(0,1)內(nèi)有解，即方程f(x)(2ax2bx1)ex1在(0,1)內(nèi)有解，即2ax2bx1ex在(0,1)內(nèi)有解，即ex2ax2bx10，設(shè)g(x)ex2ax2bx1，則g(x)在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，設(shè)x0是g(x)在(0,1)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則g(0)0，g(1)0，知函數(shù)g(x)在(0，x0)和(x0,1)上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減，設(shè)h(x)g(x)，則h(x)在(0，x0)和(x0,1)上存在零點(diǎn)，即h(x)在(0,1)上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，g(x)ex4axb，h(x)ex4a，當(dāng)a時(shí)，h(x)0，h(x)在(0,1)上遞增，h(x)不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，當(dāng)a時(shí)，h(x)0，h(x)在(0,1)上遞減，h(x)不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，當(dāng)a時(shí)，令h(x)0，得xln (4a)(0,1)，則h(x)在(0，ln (4a)上遞減，在(ln(4a)，1)上遞增，h(x)在(0,1)上存在最小值h(ln(4a)若h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則有h(ln (4a)0，h(0)0，h(1)0，h(ln (4a)4a4aln (4a)b6a4aln (4a)1e，a，設(shè)(x)xxln x1x，(1xe)，則(x)ln x，令(x)ln x0，得x，當(dāng)1x時(shí)，(x)0，此時(shí)函數(shù)(x)遞增，當(dāng)xe時(shí)，(x)0，此時(shí)函數(shù)(x)遞減，則(x)max()1e0，則h(ln(4a)0恒成立，由h(0)1b2ae20，h(1)e4ab0，得a，當(dāng)a時(shí)，設(shè)h(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，則g(x)在(0，x1)遞增，在(x1，x2)上遞減，在(x2,1)遞增，則g(x1)g(0)0，g(x2)g(1)0，則g(x)在(x1，x2)內(nèi)有零點(diǎn)，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.4(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577243)(理科)(2018長(zhǎng)春市一模)已知函數(shù)f(x)，其中a為實(shí)數(shù)，常數(shù)e2.718(1)若x是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；(2)當(dāng)a4時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)a取正實(shí)數(shù)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x的方程f(x)m有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍解：(1) f(x).因?yàn)閤是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f0，即aa10，a.而當(dāng)a時(shí)，ax22ax1，可驗(yàn)證：x是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)因此a.(2)當(dāng)a4時(shí)，f(x)令f(x)0得4x28x10，解得x1，而x.所以當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化是因此f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，；f(x)的單調(diào)減區(qū)間是，； (3)當(dāng)a取正實(shí)數(shù)時(shí)，f(x)，令f(x)0得ax22ax10，當(dāng)a>1時(shí)，解得x1，x2.f(x)在(，x1)和(x2，)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減，但是函數(shù)值恒大于零，極大值f(x1)，極小值f(x2)，并且根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的變化速度可知當(dāng)x時(shí)，f(x)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0.因此當(dāng)f(x2)<m<f(x1)時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)m一定總有三個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)論成立；當(dāng)0<a1時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(，)，無論m取何值，方程f(x)m最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)論不成立因此所求a的取值范圍是(1，)4(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577244)(文科)(2018成都市一診)已知函數(shù)f(x)ax2(1a)xln x(aR)(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)a0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)xf(x)k(x2)2.若函數(shù)g(x)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)ax1a(a0)，當(dāng)a(0,1)時(shí)，>1.由f(x)0，得x>或x1.當(dāng)x(0,1)，x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，；當(dāng)a1時(shí)，恒有f(x)0，f(x)單調(diào)遞減f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)；當(dāng)a(1，)時(shí)，<1.由f(x)0，得x1或x<.當(dāng)x，x(1，)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，(1，)綜上，當(dāng)a(0,1)時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，；當(dāng)a1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)；當(dāng)a(1，)時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，(1，)(2)g(x)x2xln xk(x2)2在x上有零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程k在x上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根令函數(shù)h(x)，x.則h(x).令函數(shù)p(x)x23x2ln x4，x.則p(x)在上有p(x)0.故p(x)在上單調(diào)遞增p(1)0，當(dāng)x時(shí)，有p(x)0，即h(x)0.h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，有p(x)0，即h(x)0，h(x)單調(diào)遞增h，h(1)1，h(10)>>h ，k的取值范圍為.