第1節(jié)坐標系【選題明細表】知識點、方法題號伸縮變換、極坐標與直角坐標的互化1直線和圓的極坐標方程及應用2簡單曲線的極坐標方程及應用3,41.將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線.(1)寫出的參數(shù)方程;(2)設直線l:3x+2y-6=0與的交點為P1,P2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.解:(1)設(x1,y1)為圓上的點,在已知變換下變?yōu)樯系狞c(x,y),依題意,得即由+=1,得()2+()2=1,即曲線的方程為+=1.故的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(2)由解得或不防設P1(2,0),P2(0,3),則線段P1P2的中點坐標為(1,),所求直線的斜率k=.于是所求直線方程為y-= (x-1),即4x-6y+5=0,化為極坐標方程,得4cos -6sin +5=0.2.在直角坐標系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C1,C2的極坐標方程;(2)若直線C3的極坐標方程為= (R),設C2與C3的交點為M,N,求C2MN的面積.解:(1)因為x=cos ,y=sin ,所以C1的極坐標方程為cos =-2,C2的極坐標方程為2-2cos -4sin +4=0.(2)將=代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=.故1-2=,即|MN|=.由于C2的半徑為1,所以C2MN的面積為.3.在極坐標系中,曲線C:=2acos (a>0),l:cos(-)=,C與l有且僅有一個公共點.(1)求a;(2)O為極點,A,B為曲線C上的兩點,且AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.解:(1)曲線C:=2acos (a>0),變形2=2acos ,化為x2+y2=2ax,即(x-a)2+y2=a2.所以曲線C是以(a,0)為圓心,a為半徑的圓.由l:cos(-)=,展開為cos +sin =,所以l的直角坐標方程為x+y-3=0.由題可知直線l與圓C相切,即=a,解得a=1.(2)不妨設A的極角為,B的極角為+,則|OA|+|OB|=2cos +2cos(+)=3cos -sin =2cos(+),當=-時,|OA|+|OB|取得最大值2.4. (2017成都模擬)在直角坐標系xOy中,半圓C的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1(0y1).以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C的極坐標方程;(2)直線l的極坐標方程是(sin +cos )=5,射線OM:=與半圓C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長.解:(1)由x=cos ,y=sin ,所以半圓C的極坐標方程是=2cos ,0,.(2)設(1,1)為點P的極坐標,則有解得設(2,2)為點Q的極坐標,則有解得由于1=2,所以|PQ|=|1-2|=4,所以線段PQ的長為4.