6.3數(shù)學(xué)歸納法(一)一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN*)時(shí)，該命題成立，那么可推得nk1時(shí)，該命題也成立現(xiàn)在已知當(dāng)n5時(shí)，該命題成立，那么可推導(dǎo)出()A當(dāng)n6時(shí)命題不成立 B當(dāng)n6時(shí)命題成立C當(dāng)n4時(shí)命題不成立 D當(dāng)n4時(shí)命題成立答案B2一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n2時(shí)命題成立，且由nk時(shí)命題成立可以推得nk2時(shí)命題也成立，則()A該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立B該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時(shí)成立與k取值無關(guān)D以上答案都不對答案B解析由nk時(shí)命題成立可以推出nk2時(shí)命題也成立且n2，故對所有的正偶數(shù)都成立3在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時(shí)，第一步驗(yàn)證n等于()A1 B2 C3 D0答案C解析因?yàn)槭亲C凸n邊形，所以應(yīng)先驗(yàn)證三角形，故選C.4若f(n)1(nN*)，則n1時(shí)f(n)是()A1 B.C1 D以上答案均不正確答案C5用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nN*)的過程中，第二步假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)應(yīng)得到_答案12222k12k2k11解析由nk到nk1等式的左邊增加了一項(xiàng)6已知f(n)(nN*)，則f(k1)_.答案f(k)7用數(shù)學(xué)歸納法證明(nN*)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)等式成立，即，當(dāng)nk1時(shí)，所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立由(1)(2)可知，對于任意nN*等式都成立二、能力提升8用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，從k到k1左端需要增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D.答案B解析nk1時(shí)，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，應(yīng)增乘2(2k1)9已知f(n)，則()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)答案D解析觀察分母的首項(xiàng)為n，最后一項(xiàng)為n2，公差為1，項(xiàng)數(shù)為n2n1.10以下用數(shù)學(xué)歸納法證明“242nn2n(nN*)”的過程中的錯誤為_答案缺少步驟(1)，沒有遞推的基礎(chǔ)證明假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立因此對于任何nN*等式都成立11用數(shù)學(xué)歸納法證明：12223242(1)n1n2(1)n1.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊(1)111，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立即12223242(1)k1k2(1)k1，那么當(dāng)nk1時(shí)，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k(1)k11.即nk1時(shí)結(jié)論也成立由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n都有此結(jié)論成立12已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a15且Sn1an(n2，nN*)，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an.(2)證明當(dāng)n2時(shí)，a252225，公式成立假設(shè)nk(k2，kN*)時(shí)成立，即ak52k2，當(dāng)nk1時(shí)，由已知條件和假設(shè)有ak1Ska1a2a3ak551052k2.552k152(k1)2.故nk1時(shí)公式也成立由可知，對n2，nN*，有an52n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.三、探究與創(chuàng)新13已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1nan(nN*)(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解(1)計(jì)算得a1；a2；a3；a4.(2)猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，猜想顯然成立假設(shè)nk(kN*)時(shí)，猜想成立，即ak.那么，當(dāng)nk1時(shí)，Sk11(k1)ak1，即Skak11(k1)ak1.又Sk1kak，所以ak11(k1)ak1，從而ak1.即nk1時(shí)，猜想也成立故由和可知，猜想成立.