3.4不等式的實(shí)際應(yīng)用1.能根據(jù)實(shí)際情景建立不等式模型.(難點(diǎn))2.掌握運(yùn)用不等式知識，解決實(shí)際問題的方法、步驟.(重點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理不等式的實(shí)際應(yīng)用閱讀教材P81P83，完成下列問題.1.實(shí)際問題中，有許多不等式模型，必須首先領(lǐng)悟問題的實(shí)際背景，確定問題中量與量之間的關(guān)系，然后適當(dāng)設(shè)未知數(shù)，將量與量間的關(guān)系變成不等式或不等式組.2.實(shí)際問題中的每一個量都有其實(shí)際意義，必須充分注意定義域的變化.3.解不等式應(yīng)用題，一般可按以下四個步驟進(jìn)行：(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系；(3)解不等式；(4)回答實(shí)際問題.1.有如圖341所示的兩種廣告牌，其中圖(1)是由兩個等腰直角三角形構(gòu)成的，圖(2)是一個矩形，從圖形上看，這兩個廣告牌面積的大小關(guān)系為_，并將這種大小關(guān)系用含字母a，b的不等式表示出來為_.圖341【解析】圖(1)廣告牌面積大于圖(2)廣告牌面積.設(shè)圖(1)面積為S1，則S1，圖(2)面積為S2，則S2ab，a2b2ab.【答案】圖(1)廣告牌面積大于圖(2)廣告牌面積a2b2>ab2.一輛汽車原來每天行駛x km，如果這輛汽車每天行駛的路程比原來多19 km，那么在8天內(nèi)它的行程超過2 200 km，寫成不等式為_；如果它每天行駛的路程比原來少12km，那么它原來行駛8天的路程就得花9天多的時間，用不等式表示為_.【解析】原來每天行駛x km，現(xiàn)在每天行駛(x19) km.則不等關(guān)系“在8天內(nèi)的行程超過2 200 km”，寫成不等式為8(x19)>2 200.若每天行駛(x12) km，則不等關(guān)系“原來行駛8天的路程就得花9天多的時間”用不等式表示為>9.【答案】8(x19)>2 200>9小組合作型比較法在實(shí)際問題中的應(yīng)用(1)某品牌彩電為了打開市場，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對其特定型號彩電降價，有四種降價方案：方案(1)先降價a%，再降價b%；方案(2)先降價b%，再降價a%；方案(3)先降價%，再降價%；方案(4)一次性降價(ab)%.其中a0，b0，ab，上述四種方案中，降價幅度最小的是()A.方案(1)B.方案(2)C.方案(3)D.方案(4)(2)甲、乙兩家飯館的老板同去超市購買兩次大米，這兩次大米的價格不同，兩家飯館老板購買的方式也不同，其中甲每次購進(jìn)100 kg大米，而乙每次用去100元錢.購買方式更合算的是_老板.【精彩點(diǎn)撥】首先用代數(shù)式表示出要比較的兩個量，然后用比差法比較這兩個量的大小.【自主解答】設(shè)原價為1，則四種方案中，降價后的價格分別為：(1)(1a%)(1b%)；(2)(1b%)(1a%)；(3)2；(4)1(ab)%.由于(1a%)(1b%)(1b%)(1a%)22，且(1a%)(1b%)1(ab)%，所以方案(3)降價后價格最高.(2)設(shè)兩次大米的價格分別為a元/千克，b元/千克(a、b0，ab)，則甲兩次購買大米的平均價格是元/千克；乙兩次購買大米的平均價格是元/千克.0，.乙飯館的老板購買大米的方式更合算.【答案】(1)C(2)乙比較法在實(shí)際中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在決策優(yōu)化問題中，解決的關(guān)鍵是兩個量表示后用作差法或作商法進(jìn)行大小比較，然后作出實(shí)際問題的解答.再練一題1.如圖342(2)，一圓柱的底面半徑為5 dm，高為5 dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線.小明設(shè)計了兩條路線：試說明哪條路線最短？路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC.如圖(1)所示：路線2：高線AB底面直徑BC.如圖(2)所示：(1)(2)圖342【解】設(shè)路線1的長度為l1，則lAC2AB2BC252(5)225252.設(shè)路線2的長度為l2，則l(ABBC)2(510)2225.ll2525222525220025(28)>0，l>l，l1>l2.所以選擇路線2較短.一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點(diǎn))，計劃可收購 a萬擔(dān)，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x0)個百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2x個百分點(diǎn).(1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍.【精彩點(diǎn)撥】認(rèn)真閱讀題意，理解各個量之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系或不等式解決問題.【自主解答】(1)降低稅率后為(10x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(12x%)萬擔(dān)，收購總金額為200a(12x%).依題意：y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10).(2)原計劃稅收為200a10%20a(萬元).依題意得：a(1002x)(10x)20a83.2%，化簡得，x240x840，42x2.又0x10，0x2.x的取值范圍是(0,2.不等式應(yīng)用題常以函數(shù)、數(shù)列為背景出現(xiàn)，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的最優(yōu)化問題，在解題中主要涉及到不等式的解法等問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是解不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵.再練一題2.某市新建一處公園，要對園內(nèi)一塊長為800 m，寬為600 m的長方形地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：18082048】【解】設(shè)花卉帶的寬度為x m，則中間草坪的長為(8002x) m，寬為(6002x) m.根據(jù)題意可得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x6001000，即(x600)(x100)0，所以0<x100或x600，x600不符合題意，舍去.故所求花卉帶寬度的范圍為(0,100 m.探究共研型均值不等式的實(shí)際應(yīng)用探究1某單位決定投資3 200元建一長方體倉庫，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米造價40元，兩側(cè)用磚墻，每米造價45元，頂部每平方米造價20元.若設(shè)鐵柵長為x米，一側(cè)磚墻長為y米，那么x，y間有何關(guān)系？你能建立倉庫底面積S與x、y間的關(guān)系嗎？【提示】x與y間關(guān)系為40x245y20xy3 200，S與x、y間的關(guān)系為Sxy.探究2在探究1中若要求S的最大值能用只含一個自變量的函數(shù)求最值嗎？若不能，如何求S的最大值？【提示】在Sxy中含兩個變量x，y，而x，y滿足40x90y20xy3 200，利用該關(guān)系不能將S表示為關(guān)于x或只關(guān)于y的函數(shù)，故不能用求函數(shù)求最值的方法求解，可用均值不等式進(jìn)行如下求解.解：設(shè)鐵柵長為x m，一側(cè)磚墻長為y m，則有Sxy.由題意得40x245y20xy3 200.由均值不等式，得3 200220xy12020xy12020S，S6160，即(16)(10)0.160，100，S100.S的最大允許值是100 m2.某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1 800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？(2)某提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠，問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由.【精彩點(diǎn)撥】平均每天所支付的總費(fèi)用，根據(jù)題意列出函數(shù)式，利用均值不等式求解.【自主解答】(1)設(shè)該廠應(yīng)每x天購買一次面粉，其購買量為6x噸，由題意知，面粉的保管等其他費(fèi)用為36x6(x1)6(x2)6139x(x1)，設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為Y1元，則Y11 80069x10 8092 10 80910 989，當(dāng)且僅當(dāng)9x，即x10時取等號.該廠每10天購買一次面粉，才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少.(2)設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件后，每x天購買一次面粉，因?yàn)椴簧儆?10噸，每天用面粉6噸，所以至少每35天購買一次面粉，即x35.設(shè)平均每天支付的總費(fèi)用為Y2元，則Y21 80069x9 729(x35)，記f(x)x，x35，)，設(shè)x1，x235，)，取x1<x2，則f(x1)f(x2)(x1x2)，35x1<x2，x1x2>100，x1x2<0，x1x2100>0，<0，f(x1)f(x2)<0，函數(shù)f(x)x在35，)上是增函數(shù)，當(dāng)x35時，f(x)minf(35).所以，當(dāng)x35時，Y2有最小值，此時Y2的最小值小于10 989.故該廠應(yīng)接受此優(yōu)惠條件.求實(shí)際問題中最值的一般思路：(1)先讀懂題意，設(shè)出變量，理清思路，列出函數(shù)關(guān)系式.(2)把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題.(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮均值不等式，當(dāng)均值不等式求最值的條件不具備時，再考慮函數(shù)的單調(diào)性.(4)正確寫出答案.再練一題3.某單位用2 160萬元購得一塊空地，計劃在該空地上建造一棟至少10層，每層2 000平方米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為56048x(單位：元).(1)寫出樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該樓房應(yīng)建造多少層時，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少值是多少？(注：平均綜合費(fèi)用平均建筑費(fèi)用平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用)【解】(1)依題意得y(56048x)56048x(x10，xN).(2)x>0，48x21 440，當(dāng)且僅當(dāng)48x，即x15時取到“”，此時，平均綜合費(fèi)用的最小值為5601 4402 000(元). 答：當(dāng)該樓房建造15層時，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，最少值為2 000元.1.若集合Ax|12x13，B，則AB()A.x|1x<0B.x|0<x1C.x|0x2D.x|0x1【解析】Ax|1x1，Bx|0<x2，ABx|0<x1.【答案】B2.將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2 m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是()A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m【解析】設(shè)兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長為l，則ab2，ab4，lab2426.828(m).因?yàn)橐髩蛴们依速M(fèi)最少，故選C.【答案】C3.某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y3 00020x0.1x2(0<x<240，xN)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是_臺.【解析】y25x0.1x25x3 0000，所以x250x30 0000，得x200(舍去)或x150，又因?yàn)?<x<240，xN，所以150x<240，xN.【答案】1504.用一根長為100 m的繩子，圍成一個一邊長為x米，面積大于600 m2的矩形，則x的取值范圍為_. 【導(dǎo)學(xué)號：18082049】【解析】設(shè)圍成的矩形一邊的長為x m，則另一邊的長為(50x) m，且0<x<50.由題意，得圍成矩形的面積Sx(50x)>600，即x250x600<0，解得20<x<30.所以，當(dāng)矩形一邊的長在(20,30)范圍內(nèi)取值時，能圍成一個面積大于600 m2的矩形.【答案】(20,30)5.某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0x1)，則出廠價相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(出廠價投入成本)年銷售量.(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式.(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi).【解】(1)由題意得y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0x1).整理得，y6 000x22 000x20 000(0x1).(2)要使本年度的年利潤比上年有所增加，必須有：即0x，所以投入成本增加的比例應(yīng)在范圍內(nèi).