第5講數(shù)學(xué)歸納法考綱解讀1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的命題(重點(diǎn))2.數(shù)學(xué)歸納法的主要作用是證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式及數(shù)列問(wèn)題(難點(diǎn))考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，對(duì)本講并沒(méi)有直接涉及，當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式的證明，且其他方法不易證時(shí)，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明求解.數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：1(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立；2(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立，上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法1概念辨析(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立()(2)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用()(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223.()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)下列結(jié)論能用數(shù)學(xué)歸納法證明的是()Ax>sinx，x(0，)Bexx1(xR)C12n1(nN*)Dsin()sincoscossin(，R)答案C解析數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法，由此可知C符合題意(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(a1，nN*)，在驗(yàn)證n1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案C解析驗(yàn)證n1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)是1aa2.(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(kN*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n_時(shí)，命題亦真答案2k1解析由于步長(zhǎng)為2，所以2k1后一個(gè)奇數(shù)應(yīng)為2k1.題型 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式設(shè)i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，0,2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：(cosisin)ncosnisinn.證明當(dāng)n1時(shí)，左邊右邊cosisin，所以命題成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，命題成立，即(cosisin)kcoskisink，則當(dāng)nk1時(shí)，(cosisin)k1(cosisin)k(cosisin)(coskisink)(cosisin)(coskcossinksin)i(sinkcoscosksin)cos(k1)isin(k1)，所以當(dāng)nk1時(shí)，命題成立綜上，由和可得，(cosisin)ncosnisinn.數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意點(diǎn)(1)思路：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少(2)注意點(diǎn)：由nk時(shí)等式成立，推出nk1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫(xiě)出證明過(guò)程提醒：歸納假設(shè)就是證明nk1時(shí)命題成立的條件，必須用上，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN*)證明當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，等式成立即，當(dāng)nk1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立由知，對(duì)nN*，原等式成立題型 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式>均成立證明當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊.左邊>右邊，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kN*)時(shí)不等式成立即>.則當(dāng)nk1時(shí)，>>.當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由知對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式成立應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問(wèn)題(1)適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(2)關(guān)鍵：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明.求證：當(dāng)n1(nN*)時(shí)，(12n)n2.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊右邊，命題成立當(dāng)n2時(shí)，左邊(12)>22，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)命題成立，即(12k)k2.則當(dāng)nk1時(shí)，有左邊(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).當(dāng)k2時(shí)，11，左邊k21(k1)k22k1(k1)2.這就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)可知當(dāng)n1(nN*)時(shí)原命題成立題型 歸納猜想證明如圖，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)(0<y1<y2<<yn)是曲線(xiàn)C：y23x(y0)上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)Ai(ai,0)(i1,2,3，n)在x軸的正半軸上，且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點(diǎn))(1)寫(xiě)出a1，a2，a3；(2)求出點(diǎn)An(an,0)(nN*)的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式解(1)設(shè)P1(x1，y1)，A1(a1,0)，則x1，即a12x1，由y23x得y1，由|A0P1|OA1|得，a1，即a1a，即a1>0，所以a12，同理可得a26，a312.(2)依題意，得xn，yn，由此及y3xn得2(an1an)，即(anan1)22(an1an)由(1)可猜想：ann(n1)(nN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：當(dāng)n1時(shí)，命題顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即有ank(k1)，則當(dāng)nk1時(shí)，由歸納假設(shè)及(ak1ak)22(akak1)得ak1k(k1)22k(k1)ak1，即a2(k2k1)ak1k(k1)(k1)(k2)0，解得ak1(k1)(k2)或ak1k(k1)<ak(不符合題意，舍去)即當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由知，命題成立. 歸納猜想證明的應(yīng)用策略一般思路是：通過(guò)觀察有限個(gè)特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn1且an>0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項(xiàng)公式；(2)證明通項(xiàng)公式的正確性解(1)當(dāng)n1時(shí)，由已知得a11，a2a120.所以a11(a1>0)當(dāng)n2時(shí)，由已知得a1a21，將a11代入并整理得a2a220.所以a2(a2>0)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)證明：由(1)知，當(dāng)n1,2,3時(shí)，通項(xiàng)公式成立假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，即ak.由ak1Sk1Sk，將ak代入上式并整理，得a2ak120，解得ak1(負(fù)值舍去)即當(dāng)nk1時(shí)，通項(xiàng)公式也成立由和，可知對(duì)所有nN*，an都成立