第3講 自由落體運動和豎直上拋運動追及和相遇問題1 重力靜止零重力加速度勻加速一、自由落體運動的規(guī)律1自由落體運動(1)定義：物體僅在_作用下從_開始下落的運動(2)實質(zhì)：初速度為_、加速度為_的_直線運動2基本規(guī)律(1)速度公式：v_.(2)位移公式：h_.(3)速度-位移關(guān)系式：v2_.gt2gt22gh二、豎直上拋運動的規(guī)律重力v0gt1豎直上拋運動：把物體以一定初速度 v0 沿著豎直方向2豎直上拋運動規(guī)律2gh(1)vt_.(2)s_.(4)兩個特征量：最大高度 h_；從拋出到落回拋出點的運動時間 t_.向上拋出，僅在_作用下物體所做的運動【基礎(chǔ)檢測】1(多選)在某一高度以 v020 m/s 的初速度豎直上拋一個小球(不計空氣阻力)，當(dāng)小球速度大小為 10 m/s 時，以下判斷正確的是(g 取 10 m/s2)()A小球在這段時間內(nèi)的平均速度大小可能為 15 m/s，方向向上B小球在這段時間內(nèi)的平均速度大小可能為 5 m/s，方向向下C小球在這段時間內(nèi)的平均速度大小可能為 5 m/s，方向向上D小球的位移大小一定是 15 m答案：ACD三、追及與相遇1主要包括兩物體在同一直線上的追及、相遇和避免相撞等問題(1)關(guān)鍵條件：兩物體能否同時到達空間同一_(2)求解方法：分別研究兩物體，列位移方程，然后利用_關(guān)系、_關(guān)系、_關(guān)系求解位置時間速度位移速度增大減小極值距離2追及(1)能追上、追不上、二者間的距離有極值的臨界條件：追和被追的_相等(2)追者的速度小于被追者時，兩者距離_；追者的速度大于被追者時，兩者距離_；速度相等時，兩者距離有_(最大值還是最小值則要視實際情況而定)3相遇相向運動的兩物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移的絕對值之和等于開始時兩物體間的_時即相遇【基礎(chǔ)檢測】2(多選)甲、乙兩車在一平直道路上同向運動，其 v-t 圖象如圖 1-3-1 所示，圖中OPQ 和OQT 的面積分別為 s1 和s2(s2s1)初始時，甲車在乙車前方 s0 處下列說法正確的是()A若 s0s1s2，兩車不會相遇B若 s0s1，兩車相遇 2 次圖 1-3-1C若 s0s1，兩車相遇 1 次D若 s0s2，兩車相遇 1 次答案：ABC考點 1自由落體運動和豎直上拋運動 重點歸納1應(yīng)用自由落體運動規(guī)律解題時的兩點注意(1)可充分利用自由落體運動初速度為零的特點、比例關(guān)系及推論等規(guī)律解題(2)物體由靜止開始的自由下落過程才是自由落體運動，從中間截取的一段運動過程不是自由落體運動，而是豎直下拋運動，應(yīng)該用初速度不為零的勻變速直線運動規(guī)律去解決問題2豎直上拋運動的處理方法(1)兩種方法“分段法”就是把豎直上拋運動分為上升階段和下降階段，上升階段物體做勻減速直線運動，下降階段物體做自由落體運動下落過程是上升過程的逆過程“全程法”就是把整個過程看成是一個勻減速直線運動過程從全程來看，加速度方向始終與初速度 v0 的方向相反(2)符號法則：應(yīng)用公式時，要特別注意 v0、v、h 等矢量的正負號，一般選向上為正方向，v0 總是正值，上升過程中 v 為正值，下降過程中 v 為負值，物體在拋出點以上時 h 為正值，在拋出點以下時 h 為負值【考題題組】1(多選)將一物體以某一初速度豎直上拋物體在運動過程中受到一個大小不變的空氣阻力作用，它從拋出點到最高點的運動時間為 t1，再從最高點回到拋出點的運動時間為 t2，如果沒有空氣阻力作用，它從拋出點到最高點所用的時間為 t0，則()Bt1t1Dt1t0，t2t0，t2t0，t2t1答案：BC2如圖 1-3-2 所示，在地面上一盤子 C 的正上方 A 處有一金屬小球 a 距 C 為 20 m，在 B 處有另一個金屬小球 b 距 C 為15 m，小球 a 比小球 b 提前 1 s 由靜止釋放(g 取 10 m/s2)則()Ab 先落入 C 盤中，不可能在下落過程中相遇圖 1-3-2Ba 先落入 C 盤中，a、b 下落過程相遇點發(fā)生在 BC 之間某位置Ca、b 兩小球同時落入 C 盤D在 a 球下落過程中，a、b 兩小球相遇點恰好在 B 處答案：D考點 2追及與相遇問題 重點歸納1討論追及、相遇的問題，其實質(zhì)就是討論兩物體在相同時間內(nèi)能否到達相同的空間位置的問題(1)兩個關(guān)系：即時間關(guān)系和位移關(guān)系，這兩個關(guān)系可通過畫草圖得到(2)一個條件：兩者速度相等，它往往是物體間能否追上、追不上，(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點2常見的情況物體 A 追物體 B，開始時，兩個物體相距 x0.(1)A 追上 B 時，必有 xAxBx0，且vAvB.(2)要使兩物體恰好不相撞，必有 xAxBx0，且vAvB.(3)若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷追上前該物體是否已經(jīng)停止運動3解題思路和方法【考題題組】3甲、乙兩物體在同一直線上，相距為 d，從某一時刻起甲做速度為 v 的勻速運動，乙做初速度為零、加速度為 a 的勻加速直線運動，乙在前，甲在后，則甲、乙能相遇一次的條件是什么？甲、乙能相遇兩次的條件是什么？甲、乙不能相遇的條件是什么？解：通過對物理過程進行分析，明確甲、乙的運動性質(zhì)，找出相關(guān)物理量之間的關(guān)系4甲、乙兩輛車在同一直軌道上向右勻速行駛，甲車的速度為 v116 m/s，乙車的速度為 v212 m/s，乙車在甲車的前面當(dāng)兩車相距 L6 m 時，兩車同時開始剎車，從此時開始計時，甲車以大小為 a12 m/s2 的加速度剎車，6 s 后立即改做勻速運動，乙車剎車的加速度大小為 a21 m/s2.從兩車剎車開始計時，求：(1)甲車第一次追上乙車的時刻；(2)兩車相遇的次數(shù)；(3)兩車速度相等的時刻解：(1)在甲減速時，設(shè)經(jīng)時間 t 兩車相遇，甲和乙的位移分別為 x1、x2，則有x1x2L聯(lián)立解得 t2 s 或 t6 s即在甲車減速時，兩車相遇兩次，第一次相遇的時刻為 t2 s.(2)當(dāng) t6 s 時，甲車的速度為 v1v1a1t4 m/s，乙車的速度為 v2v2a2t 6 m/s，甲車的速度小于乙車的速度，但乙車做減速運動，設(shè)再經(jīng)時間t 甲追上乙，有解得t4 s此時乙仍在做減速運動，此解成立綜合以上分析知，甲、乙兩車共相遇 3 次(3)設(shè)第一次速度相等的時刻為 t1 時刻，有v1a1t1v2a2t1解得 t14 s甲車勻速運動的速度為 4 m/s，設(shè)第二次速度相等的時刻為t2 時刻，有v1v2a2t2解得 t28 s.方法“對稱法”在豎直上拋運動中的應(yīng)用在豎直上拋運動的上升階段和下降階段，速度、時間都具有對稱性，分析問題時，注意利用對稱性如上升、下落經(jīng)過同一位置時的速度大小相等、方向相反；從該位置到最高點的上升時間與從最高點落回該位置的時間相等如圖 1-3-3 所示，物體以初速度 v0 豎直上拋，A、B 為途中的任意兩點，C 為最高點圖 1-3-31時間對稱性物體上升過程中從 AC 所用時間 tAC 和下降過程中 從CA 所用時間 tCA相等，同理tABtBA.2速度對稱性物體上升過程經(jīng)過 A 點的速度與下降過程經(jīng)過 A 點的速度大小相等3能量對稱性物體從 AB 和從 BA 重力勢能變化量的大小相等，均等于 mghAB.例 1：一個小球做豎直上拋運動，經(jīng)過時間 t1 上升到位置x1，上升到位置 x2 的時間為 t2，小球上升到最高點后下落到位置 x2 的時間為 t3，繼續(xù)下落到位置 x1 的時間為 t4(說明：各時間8(x2x1)均以開始運動計時)求證重力加速度 g(t4t1)2(t3t2)2.審題突破：此題求證結(jié)果較為復(fù)雜，若不加選擇地套用豎直上拋運動公式，則很難理出頭緒，但如果抓住豎直上拋運動中時間的對稱性從某一位置上升到最高點和從最高點落回該位置所用的時間相等，則可簡化問題的處理證明：設(shè)最高點到位置 x1 的距離為 h1，T1 為從 x1 上升到最高點，又落回 x1 的總時間則 T1t4t1小球從最高點自由落體運動到 x1 的過程有設(shè)最高點到位置 x2 的距離為 h2，T2 為從 x2 上升到最高點，又落回 x2 的總時間，則T2t3t2小球從最高點自由落體運動到 x2 的過程有而 h1h2x2x1同類延伸：高中物理階段碰到的對稱問題很多，如斜拋運動過程的對稱、電路的對稱、圖象的對稱、粒子在電場或磁場中運動的對稱以及彈簧振子振動過程的對稱等【觸類旁通】1一個小球豎直向上拋出，兩次經(jīng)過拋出點上方距離拋出點的高度為 10 m 處的時間間隔為t2 s，則小球的上拋初速度v0 有多大？從拋出到返回原處，小球共經(jīng)歷了多長時間？(g 取10 m/s2)解：因為小球兩次經(jīng)過距拋出點高度為 10 m 處的時間間隔為t2 s，所以，根據(jù)豎直上拋運動的上升階段與下降階段的再根據(jù)速率的對稱性，小球上升至該位置的速度為易錯點追及與相遇問題中的位移關(guān)系例 2：汽車 A 的制動性能：以標(biāo)準(zhǔn)速度 20 m/s 在平直公路上行駛時，制動后40 s 停下來現(xiàn)汽車 A 在平直公路上以20 m/s的速度行駛，發(fā)現(xiàn)前方 180 m 處有一貨車 B 以 6 m/s 的速度同向勻速行駛，司機立即制動，是否會發(fā)生撞車事故？錯解分析：設(shè)汽車 A 制動后 40 s 的位移為 s1，貨車 B 在這段時間內(nèi)的位移為 s2.s2v2t640 m240 m兩車位移差為 400 m240 m160 m，因為兩車開始相距180 m160 m，所以兩車不相撞正解分析：這是典型的追及問題，關(guān)鍵是要弄清兩車不相撞的條件汽車 A 與貨車 B 同速時，兩車位移差與初始時刻兩車距離的關(guān)系是判斷兩車能否相撞的依據(jù)當(dāng)兩車同速時，兩車位移差大于初始時刻的距離時，兩車相撞；小于或等于時，則不相撞A 以 20 m/s 的初速度做勻減速直線運動經(jīng) 40 s 停下來，根據(jù)加速度公式可求出 a0.5 m/s2，當(dāng) A 車減速到與 B 車同速時，A 車與 B 車相距的距離最短此時間內(nèi) B 車位移為 s2v2t628 m168 ms(364168) m196 m180 m，所以兩車會相撞指點迷津：兩物體在同一條直線上運動，往往涉及追及、相遇或避免碰撞問題，解答此類問題的關(guān)鍵條件是：兩物體能否同時到達空間某位置【觸類旁通】2(多選)如圖 1-3-4 所示，a、b 分別表示先后從同一地點以相同的初速度做勻變速直線運動的兩個物體的速度圖象，則下列說法正確的是()A4 s 末兩個物體速度相同Ba、b 兩物體運動的加速度相同C4 s 末兩個物體在途中相遇圖 1-3-4D5 s 末兩個物體在途中相遇答案：BC3(2017 年合肥第一中學(xué)高三月考)A、B 兩輛玩具小汽車在相互靠近的兩條平直的軌道上同向勻速行駛，初速度分別為vA6 m/s、vB2 m/s，當(dāng) A 車在 B 車后面 x3.5 m 時開始以恒定的加速度 aA1 m/s2大小剎車并停止運動，求：(1)A 車超過 B 車后，保持在 B 車前方的時間(2)A 車超過 B 車后領(lǐng)先 B 車的最大距離(3)若 A 車剎車時 B 車同時開始加速，加速度 aB2 m/s2，但 B 車的最大速度只有 vm4 m/s，通過計算說明 A 車能否追上 B 車？