直線的方程一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 若直線l1：(m-2)x-y-1=0，與直線l2：3x-my=0互相平行，則m的值等于( )A. 0或-1或3 B. 0或3 C. 0或-1 D. -1或3（正確答案）D解：m=0時(shí)，兩條直線方程分別化為：-2x-y-1=0，x=0，此時(shí)兩條直線不平行，舍去m0，由于l1/l2，則m-23=-1-m，解得m=-1或3，經(jīng)過驗(yàn)證滿足條件綜上可得：m=-1或3故選：D對(duì)m分類討論，利用兩條直線相互平行的條件即可得出本題考查了兩條直線相互平行的充要條件，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題2. 已知直線l1：x+my+7=0和l2：(m-2)x+3y+2m=0互相平行，則實(shí)數(shù)m=( )A. m=-1或3 B. m=-1C. m=-3 D. m=1或m=-3（正確答案）A解：由m(m-2)-3=0，解得m=3或-1經(jīng)過驗(yàn)證都滿足兩條直線平行，m=3或-1故選：A由m(m-2)-3=0，解得m.經(jīng)過驗(yàn)證即可得出本題考查了兩條直線平行的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3. 已知直線ax+3y-1=0與直線3x-y+2=0互相垂直，則a=( )A. -3 B. -1 C. 1 D. 3（正確答案）C解：直線ax+3y-1=0與直線3x-y+2=0互相垂直，a3+3(-1)=0，解得a=1 故選：C由直線的垂直關(guān)系可得a的方程，解方程可得a值本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題4. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，過定點(diǎn)P的直線l：ax+y-1=0與過定點(diǎn)Q的直線m：x-ay+3=0相交于點(diǎn)M，則|MP|2+|MQ|2的值為( )A. 102 B. 10 C. 5 D. 10（正確答案）D【分析】由已知得P(0,1)，Q(-3,0)，過定點(diǎn)P的直線ax+y-1=0與過定點(diǎn)Q的直線x-ay+3=0垂直，M位于以PQ為直徑的圓上，由此能求出|MP|2+|MQ|2的值【解答】解：在平面內(nèi)，過定點(diǎn)P的直線ax+y-1=0與過定點(diǎn)Q的直線x-ay+3=0相交于點(diǎn)M，P(0,1)，Q(-3,0)，過定點(diǎn)P的直線ax+y-1=0與過定點(diǎn)Q的直線x-ay+3=0垂直，M位于以PQ為直徑的圓上，|PQ|=9+1=10，|MP|2+|MQ|2=10，故選D5. 如果直線l1：2x-y-1=0與直線l2：2x+(a+1)y+2=0平行，那么a等于( )A. -2 B. -1 C. 1 D. 2（正確答案）A解：直線l1：2x-y-1=0與直線l2：2x+(a+1)y+2=0平行，a+1=-1，解得a=-2故選：A直接由兩直線平行的條件列式求解a的值本題考查了直線的一般式方程與直線平行的關(guān)系，關(guān)鍵是熟記由直線的一般式方程得到直線平行的條件，是基礎(chǔ)題6. 已知直線l1：(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2：2(k-3)x-2y+3=0平行，則k的值是( )A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或2（正確答案）C解：由兩直線平行得，當(dāng)k-3=0時(shí)，兩直線的方程分別為 y=-1 和y=32，顯然兩直線平行當(dāng)k-30時(shí)，由 k-32(k-3)=4-k-213，可得k=5.綜上，k的值是3或5，故選C當(dāng)k-3=0時(shí)，求出兩直線的方程，檢驗(yàn)是否平行；當(dāng)k-30時(shí)，由一次項(xiàng)系數(shù)之比相等且不等于常數(shù)項(xiàng)之比，求出k的值本題考查由直線的一般方程求兩直線平行時(shí)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想7. 直線x+2ay-1=0與(a-1)x-ay+1=0平行，則a的值為( )A. 12 B. 12或0 C. 0 D. -2或0（正確答案）A解：當(dāng)a=0時(shí)，兩直線重合；當(dāng)a0時(shí)，由a-11=-a2a1-1，解得a=12，綜合可得，a=12，故選：A當(dāng)a=0時(shí)，檢驗(yàn)兩直線是否平行，當(dāng)a0時(shí)，由一次項(xiàng)系數(shù)之比相等但不等于常數(shù)項(xiàng)之比，求出a的值本題考查兩直線平行的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題8. 過點(diǎn)(1,2)且與直線y=2x+1垂直的直線的方程為( )A. x+2y-3=0 B. 2x-y+4=0 C. x+2y+3=0 D. x+2y-5=0（正確答案）D解：與直線y=2x+1垂直的直線方程的斜率k=-12，直線過點(diǎn)(1,2)，所求直線的方程為y-2=-12(x-1)，整理，得x+2y-5=0故選：D與直線y=2x垂直的直線方程的斜率k=-12，直線過點(diǎn)(1,2)，由此能求出直線方程本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線間位置關(guān)系的合理運(yùn)用9. 過點(diǎn)P(-2,2)作直線l，使直線l與兩坐標(biāo)軸在第二象限內(nèi)圍成的三角形面積為8，這樣的直線l一共有( )A. 3條 B. 2條 C. 1條 D. 0條（正確答案）C解：假設(shè)存在過點(diǎn)P(-2,2)的直線l，使它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為8，設(shè)直線l的方程為：xa+yb=1，則-2a+2b=1即2a-2b=ab 直線l與兩坐標(biāo)軸在第二象限內(nèi)圍成的三角形面積S=-12ab=8，即ab=-16，聯(lián)立2a-2b=abab=-16，解得：a=-4，b=4直線l的方程為：x-4+y4=1，即x-y+4=0，即這樣的直線有且只有一條，故選：C 設(shè)直線l的方程為：xa+yb=1，結(jié)合直線過點(diǎn)P(-2,2)且在第二象限內(nèi)圍成的三角形面積為8，構(gòu)造方程組，解得直線方程，可得答案本題考查了直線的截距式、三角形的面積計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題10. 直線x+(l-m)y+3=0(m為實(shí)數(shù))恒過定點(diǎn)( )A. (3,0) B. (0,-3) C. (-3,0) D. (-3,1)（正確答案）C解：令x+3=0(1-m)y=0，解得：x=-3y=0，故直線恒過定點(diǎn)(-3,0)，故選：C令x+3=0(1-m)y=0，可得直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)本題考查了直線系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11. 過點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為( )A. 2x+y-3=0 B. 2x-y-3=0 C. 4x-y-3=0 D. 4x+y-3=0（正確答案）A解：因?yàn)檫^點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以圓的一條切線方程為y=1，切點(diǎn)之一為(1,1)，顯然B、D選項(xiàng)不過(1,1)，B、D不滿足題意；另一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)在(1,-1)的右側(cè)，所以切線的斜率為負(fù)，選項(xiàng)C不滿足，A滿足故選A由題意判斷出切點(diǎn)(1,1)代入選項(xiàng)排除B、D，推出令一個(gè)切點(diǎn)判斷切線斜率，得到選項(xiàng)即可本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線方程求法，可以直接解答，本題的解答是間接法，值得同學(xué)學(xué)習(xí)12. 已知三條直線2x-3y+1=0，4x+3y+5=0，mx-y-1=0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為( )A. -43,23 B. 43,-23 C. -43,23,43 D. -43,-23,23（正確答案）C解：三條直線不能圍成一個(gè)三角形，(1)l1/l3，此時(shí)m=23；l2/l3，此時(shí)m=-43；(2)三點(diǎn)共線時(shí)也不能圍成一個(gè)三角形2x-3y+1=0與4x+3y+5=0交點(diǎn)是(-1,-13) 代入mx-y-1=0，則m=43故選：C三條直線若兩兩相交圍成一個(gè)三角形，則斜率必不相同；否則，只要有兩條直線平行，或三點(diǎn)共線時(shí)不能構(gòu)成三角形本題考查兩直線平行的條件，當(dāng)斜率相等且截距不相等時(shí)兩直線平行.屬于基礎(chǔ)題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 若k，-1，b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則直線y=kx+b必經(jīng)過定點(diǎn)_ （正確答案）(1,-2)解：若k，-1，b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則有k+b=-2，即-2=k1+b，故直線y=kx+b必經(jīng)過定點(diǎn)(1,-2)，故答案為(1,-2)由條件可得 k+b=-2，即-2=k1+b，故直線y=kx+b必經(jīng)過定點(diǎn)(1,-2)本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，直線過定點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題14. 若直線(m-1)x-y+2=0與直線3x+my+3=0垂直，則實(shí)數(shù)m的值等于_（正確答案）32解：直線(m-1)x-y+2=0的斜率為k1=m-1，直線3x+my+3=0的斜率為k2=-3m 直線(m-1)x-y+2=0與直線3x+my+3=0垂直， (m-1)(-3m)，解得m=32， 故答案為32根據(jù)兩直線垂直時(shí)，一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)之積的和等于0，解方程求得m的值本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時(shí)，一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)之積的和等于0，屬于基礎(chǔ)題15. 已知直線l1：2x-2y+1=0，直線l2：x+by-3=0，若l1l2，則b= _ ；若l1/l2，則兩直線間的距離為_ （正確答案）1；724解：l1l2，則-2-2(-1b)=-1，解得b=1若l1/l2，則-2-2=-1b，解得b=-1.兩條直線方程分別為：x-y+12=0，x-y-3=0則兩直線間的距離=|-3-12|2=724故答案為：1，724由l1l2，則-2-2(-1b)=-1，解得b若l1/l2，則-2-2=-1b，解得b.利用平行線之間的距離公式即可得出本題考查了平行與相互垂直的充要條件和平行線之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題16. 如果直線ax+2y+3a=0與直線3x+(a-1)y=a-7平行，則a=_（正確答案）3解：直線ax+2y+3a=0與直線3x+(a-1)y=a-7平行，a3=2a-1-3aa-7，解得a=3故答案為：3利用直線與直線平行的性質(zhì)直接求解本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查直線與直線平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題三、解答題（本大題共3小題，共30分）17. ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(-3,0)，B(2,1)，C(-2,3)，求：(1)BC所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊上的垂直平分線DE的方程（正確答案）解：(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(-2,3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得BC的方程為y-1=3-1-2-2(x-2)，即x+2y-4=0(2)設(shè)BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)，則x=2-22=0，y=1+32=2BC邊的中線AD過點(diǎn)A(-3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為x-3+y2=1，即2x-3y+6=0(3)BC的斜率k1=-12，則BC的垂直平分線DE的斜率k2=2，由斜截式得直線DE的方程為y=2x+2(1)利用B和C的坐標(biāo)直接求出直線方程即可；(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B與C的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用A和D的坐標(biāo)寫出中線方程即可；(3)求出直線BC的斜率，然后根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為-1求出BC垂直平分線的斜率，由(2)中D的坐標(biāo)，寫出直線DE的方程即可18. 如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M(2,0)，AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0點(diǎn)T(-1,1)在AD邊所在直線上()求AD邊所在直線的方程；()求矩形ABCD外接圓的方程；()若動(dòng)圓P過點(diǎn)N(-2,0)，且與矩形ABCD的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程（正確答案）解：(I)因?yàn)锳B邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為-3又因?yàn)辄c(diǎn)T(-1,1)在直線AD上，所以AD邊所在直線的方程為y-1=-3(x+1)3x+y+2=0(II)由3x+y+2=0x-3y-6=0解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-2)，因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為M(2,0)所以M為矩形ABCD外接圓的圓心又|AM|=(2-0)2+(0+2)2=22從而矩形ABCD外接圓的方程為(x-2)2+y2=8(III)因?yàn)閯?dòng)圓P過點(diǎn)N，所以|PN|是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，所以|PM|=|PN|+22，即|PM|-|PN|=22故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為22的雙曲線的左支因?yàn)閷?shí)半軸長a=2，半焦距c=2所以虛半軸長b=c2-a2=2從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為x22-y22=1(x-2)(I)先由AD與AB垂直，求得AD的斜率，再由點(diǎn)斜式求得其直線方程；(II)先求得其圓心和半徑，再由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解；(III)由圓心距等于兩半徑之和，抽象出雙曲線的定義從而求得軌跡方程本題主要考查直線方程的求法，平面圖形外接圓的求法和軌跡方程的求法19. 已知直線l過點(diǎn)(1,2)且在x，y軸上的截距相等(1)求直線l的一般方程；(2)若直線l在x，y軸上的截距不為0，點(diǎn)p(a,b)在直線l上，求3a+3b的最小值（正確答案）解：(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為y=2x，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為xa+ya=1，代入點(diǎn)P(1,2)，解得：a=3，則直線的方程為x+y-3=0，綜上，直線的方程為y=2x，或x+y-3=0；(2)由題意得l：x+y-3=0，a+b=3，3a+3b23a3b=23a+b=63，3a+3b的最小值為63，當(dāng)a=b=32時(shí)，等號(hào)成立(1)通過討論直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)時(shí)的情況，求出直線方程即可；(2)求出a+b=3，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出代數(shù)式的最小值即可本題考查了求直線方程以及基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題