課時分層作業(yè)(二十一)空間的角的計算(建議用時：40分鐘)基礎(chǔ)達標練一、填空題1已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為_解析(2，2，1)，(2，3，3)，cos，直線AB，CD所成角的余弦值為.答案2在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為A1B1，BB1的中點，則異面直線AM與CN所成角的余弦值是_. 【導(dǎo)學(xué)號：71392207】解析依題意，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.，cos，故異面直線AM與CN所成角的余弦值為.答案3已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于_解析如圖，建立空間直角坐標系設(shè)正方體的棱長為1，平面ABC的法向量為n1(0,0,1)，平面AEF的法向量為n2(x，y，z)所以A(1,0,0)，E，F(xiàn)，所以，則即取x1，則y1，z3，故n2(1，1,3)，所以cosn1，n2，所以平面AEF與平面ABC所成的二面角的平面角滿足cos ，sin ，所以tan .答案4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于_解析以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，則(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)設(shè)平面BDC1的法向量為n(x，y，z)，則n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一個法向量為n(2，2,1)設(shè)CD與平面BDC1所成的角為，則sin |cosn，|.答案5已知E，F(xiàn)分別是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中點，則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的余弦值是_. 【導(dǎo)學(xué)號：71392208】解析以D為坐標原點，以DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖，則A(1,0,0)，E，F(xiàn)，D1(0,0,1)所以(1,0,1)，.設(shè)平面AEFD1的法向量為n(x，y，z)，則取y1，則n(2,1,2)，而平面ABCD的一個法向量為u(0,0,1)，cosn，u.答案6在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱長AA1和BB1的中點，則sinC，_.解析建立如圖直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2.可知C(2，2,1)，(2,2，1)，cosC，sinC，.答案7. 如圖3229，在四面體ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB，則二面角ABCD的大小為_圖3229解析二面角ABCD的大小等于AB與CD所成角的大小.，而22222|cos ，即1214922cos，cos，AB與CD所成角為，即二面角ABCD的大小為.答案8在空間四邊形OABC中，OBOC，AOBAOC，則cos，的值為_解析()|cos |cos |(|)0.cos，0.答案0二、解答題9如圖3230，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，DABDCB，EAEBAB1，PA，連接CE并延長交AD于F.圖3230(1)求證：AD平面CFG；(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值解(1)證明：在ABD中，因為E是BD中點，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB，因為DABDCB，所以EABECB，從而有FEDBECAEB，所以FEDFEA，故EFAD，AFFD.因為PGGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG.(2)以點A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P，故，.設(shè)平面BCP的一個法向量n1(1，y1，z1)，則解得即n1.設(shè)平面DCP的一個法向量n2(1，y2，z2)，則解得即n2.從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為cos .10如圖3231，在幾何體ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EAAB，M是EC的中點，EADAAB2CB.圖3231(1)求證：DMEB；(2)求異面直線AB與CE所成角的余弦值；(3)求二面角MBDA的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：71392209】解以直線AE，AB，AD為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，設(shè)CBa，則A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，所以M，(1)證明：，(2a,2a,0)，a(2a)a2a00，即DMEB.(2)(0,2a,0)，(2a，2a，a)，設(shè)異面直線AB與CE所成的角為，則cos ，即異面直線AB與CE所成角的余弦值為.(3)DA平面EAB，AD平面DAB，平面DAB平面EAB.EA平面EAB，平面EAB平面DABAB，EAAB.EA平面DAB.(2a,0,0)是平面DAB的一個法向量設(shè)平面MBD的一個法向量為n(x，y，z)，(0，2a,2a)，則即令za，則n，設(shè)二面角MBDA的平面角為，則cos .即二面角MBDA的余弦值為.能力提升練1如圖3232，在三棱錐VABC中，頂點C在空間直角坐標系的原點處，頂點A，B，V分別在x，y，z軸上，D是線段AB的中點，且ACBC2，VDC.當時，則異面直線AC與VD所成角的余弦值是_圖3232解析由于ACBC2，D是AB的中點，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)當時，在RtVCD中，CD，故V(0,0，)所以(2,0,0)，(1,1，)，所以cos，所以異面直線AC與VD所成角的余弦值為.答案2如圖3233，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為_圖3233解析不妨令CB1，則CACC12.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，>0.與的夾角即為直線BC1與直線AB1的夾角，直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為.答案3在三棱錐OABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OAOBOC，M是AB邊的中點，則OM與平面ABC所成角的正切值是_解析如圖所示，建立空間直角坐標系，設(shè)OAOBOC1，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，M，故(1，1,0)，(1,0,1)，.設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則由得令x1，得n(1,1,1)故cosn，所以O(shè)M與平面ABC所成角的正弦值為，其正切值為.答案4如圖3234，PA平面ABC，ACBC，BC，PAAC1，求二面角APBC的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：71392210】圖3234解法一：建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，取PB的中點D，連接DC，則DCPB，作AEPB于E.則向量與的夾角的大小為二面角APBC的大小A(1,0,0)，B(0，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，又D為PB的中點，D.在RtPAB中，E，.又|，|1，cos，即二面角APBC的余弦值為.法二：以C為坐標原點，直線CA，CB分別為x軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，B(0，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，(0,0，1)，(1，1)，(1,0，1)，設(shè)平面PAB的一個法向量為n1(x1，y1，z1)，則n10，n10，取y11，則x1，z10，n1(，1,0)，設(shè)平面PBC的一個法向量為n2(x2，y2，z2)，則n20，n20，取x21，則y20，z21，n2(1,0，1)，cosn1，n2，二面角APBC的余弦值為.