考點測試12函數(shù)與方程高考概覽考綱研讀結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)一、基礎(chǔ)小題1若函數(shù)f(x)axb的零點是2，那么函數(shù)g(x)bx2ax的零點是()A0，2 B0，C0， D2，答案C解析由題意知2ab0，即b2a令g(x)bx2ax0，得x0或x2若函數(shù)f(x)ax1在區(qū)間(1，1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1，) B(，1)C(，1)(1，) D(1，1)答案C解析由題意知，f(1)f(1)<0，即(1a)(1a)<0，解得a<1或a>13下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是()答案C解析能用二分法求零點的函數(shù)必須在給定區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，并且有f(a)f(b)<0A，B中不存在f(x)<0，D中函數(shù)不連續(xù)故選C4用二分法研究函數(shù)f(x)x58x31的零點時，第一次經(jīng)過計算得f(0)<0，f(05)>0，則其中一個零點所在的區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為()A(0，05)，f(0125) B(05，1)，f(0875)C(05，1)，f(075) D(0，05)，f(025)答案D解析f(x)x58x31，f(0)<0，f(05)>0，f(0)f(05)<0，其中一個零點所在的區(qū)間為(0，05)，第二次應(yīng)計算的函數(shù)值為f(025)，故選D5二次函數(shù)f(x)ax2bxc，若f(1)>0，f(2)<0，則f(x)在(1，2)上零點的個數(shù)為()A至多有一個 B有一個或兩個C有且僅有一個 D一個也沒有答案C解析f(1)>0，f(2)<0，f(x)在(1，2)上必有零點，又函數(shù)為二次函數(shù)，有且只有一個零點6函數(shù)f(x)3xx22的零點個數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案C解析函數(shù)f(x)3xx22的零點個數(shù)即為函數(shù)y3x與函數(shù)y2x2的圖象的交點個數(shù)，由圖象易知交點個數(shù)為2，則f(x)3xx22的零點個數(shù)為2，故選C7已知自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下表：x020610141822263034y2x114915162026393482459560638010556yx200403610196324484676901156則方程2xx2的一個根位于區(qū)間()A(06，10) B(14，18)C(18，22) D(26，30)答案C解析令f(x)2x，g(x)x2，因為f(18)3482，g(18)324，f(22)4595，g(22)484令h(x)2xx2，則h(18)>0，h(22)<0故選C8函數(shù)f(x)ex2x3的零點所在的一個區(qū)間為()A(1，0) B0， C，1 D1，答案C解析fe2<0，f(1)e1>0，零點在，1上，故選C9設(shè)函數(shù)f(x)x33x，若函數(shù)g(x)f(x)f(tx)有零點，則實數(shù)t的取值范圍是()A(2，2) B(，)C2，2 D，答案C解析由題意，g(x)x33x(tx)33(tx)3tx23t2xt33t，當(dāng)t0時，顯然g(x)0恒成立；當(dāng)t0時，只需(3t2)243t(t33t)0，化簡得t212，即2t2，t0綜上可知，實數(shù)t的取值范圍是2，210若a<b<c，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi) B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi) D(，a)和(c，)內(nèi)答案A解析易知f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)又a<b<c，則f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又該函數(shù)是二次函數(shù)，且圖象開口向上，可知兩個零點分別在(a，b)和(b，c)內(nèi)11已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個零點比1大，一個零點比1小，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(2，1)解析函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，則f(1)<0，即1(a21)a2<0，得2<a<1故實數(shù)a的取值范圍是(2，1)12函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為_答案解析由于當(dāng)x0時，f(x)|x22x1|的圖象與x軸只有1個交點，即只有1個零點，故由題意只需方程2x1a0有1個正根即可，變形為2x2a，結(jié)合圖形只需2a>1a<即可二、高考小題13(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()A1，0) B0，)C1，) D1，)答案C解析畫出函數(shù)f(x)的圖象，再畫出直線yx并上下移動，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線yx過點A時，直線yx與函數(shù)f(x)的圖象有兩個交點，并且向下無限移動，都可以保證直線yx與函數(shù)f(x)的圖象有兩個交點，即方程f(x)xa有兩個解，也就是函數(shù)g(x)有兩個零點，此時滿足a1，即a1，故選C14(2017全國卷)已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點，則a()A B C D1答案C解析解法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，則g(t)f(t1)t2a1g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函數(shù)g(t)為偶函數(shù)f(x)有唯一零點，g(t)也有唯一零點又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)0，2a10，解得a故選C解法二：f(x)0a(ex1ex1)x22xex1ex12 2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”x22x(x1)211，當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”若a0，則a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零點，則必有2a1，即a若a0，則f(x)的零點不唯一故選C15(2017山東高考)已知當(dāng)x0，1時，函數(shù)y(mx1)2的圖象與ym的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是()A(0，12，) B(0，13，)C(0，2，) D(0，3，)答案B解析在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)(mx1)2m22與g(x)m的大致圖象分兩種情形：(1)當(dāng)0m1時，1，如圖，當(dāng)x0，1時，f(x)與g(x)的圖象有一個交點，符合題意；(2)當(dāng)m1時，01，如圖，要使f(x)與g(x)的圖象在0，1上只有一個交點，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)綜上所述，m(0，13，)故選B16(2016天津高考)已知函數(shù)f(x) (a>0，且a1)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f(x)|2x恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是()A BC D答案C解析要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，只需解得a，因為方程|f(x)|2x恰有兩個不相等的實數(shù)解，所以直線y2x與函數(shù)y|f(x)|的圖象有兩個交點，如圖所示易知y|f(x)|的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)為1，又12，故由圖可知，直線y2x與y|f(x)|的圖象在x>0時有一個交點；當(dāng)直線y2x與yx2(4a3)x3a(x<0)的圖象相切時，設(shè)切點為(x0，y0)，則整理可得4a27a30，解得a1(舍)或a而當(dāng)3a2，即a時，直線y2x與y|f(x)|的圖象在y軸左側(cè)有一個交點，綜合可得a17(2016山東高考)已知函數(shù)f(x)其中m>0若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)b有三個不同的根，則m的取值范圍是_答案(3，)解析f(x)的大致圖象如圖所示，若存在bR，使得方程f(x)b有三個不同的根，只需4mm2<m，又m>0，所以m>318(2018全國卷)函數(shù)f(x)cos在0，的零點個數(shù)為_答案3解析0x，3x由題可知，當(dāng)3x，3x或3x時，f(x)0解得x，或故函數(shù)f(x)cos3x在0，上有3個零點19(2018天津高考)已知a>0，函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是_答案(4，8)解析設(shè)g(x)f(x)ax方程f(x)ax恰有2個互異的實數(shù)解即函數(shù)yg(x)有兩個零點，即yg(x)的圖象與x軸有2個交點，滿足條件的yg(x)的圖象有以下兩種情況：情況一：則情況二：則不等式組無解綜上，滿足條件的a的取值范圍是(4，8)20(2018浙江高考)已知R，函數(shù)f(x)當(dāng)2時，不等式f(x)<0的解集是_；若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則的取值范圍是_答案(1，4)(1，3(4，)解析當(dāng)2時，不等式f(x)<0等價于即2x<4或1<x<2，故不等式f(x)<0的解集為(1，4)易知函數(shù)yx4(xR)有一個零點x14，函數(shù)yx24x3(xR)有兩個零點x21，x33在同一坐標(biāo)系中作出這兩個函數(shù)的圖象如圖，要使函數(shù)f(x)恰有2個零點，則只能有以下兩種情形：兩個零點為1，3，由圖可知，此時>4兩個零點為1，4，由圖可知，此時1<3綜上，的取值范圍為(1，3(4，)三、模擬小題21(2018河南濮陽一模)函數(shù)f(x)ln 2x1的零點所在區(qū)間為()A(2，3) B(3，4) C(0，1) D(1，2)答案D解析由f(x)ln 2x1，得函數(shù)是增函數(shù)，并且是連續(xù)函數(shù)，f(1)ln 21<0，f(2)ln 41>0，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可得，函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(1，2)上，故選D22(2018安徽安慶二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，則函數(shù)F(x)f(x)g(x)在(0，)內(nèi)的零點個數(shù)為()A3 B2 C1 D0答案B解析由f(x1)f(x1)，知f(x)的周期是2，畫出函數(shù)f(x)和g(x)的部分圖象，如圖所示，由圖象可知f(x)與g(x)的圖象有2個交點，故F(x)有2個零點故選B23(2018沈陽質(zhì)檢一)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x2)f(2x)，當(dāng)x2，0時，f(x)x1，則在區(qū)間(2，6)上關(guān)于x的方程f(x)log8(x2)0的解的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案C解析原方程等價于yf(x)與ylog8(x2)的圖象的交點個數(shù)問題，由f(x2)f(2x)，可知f(x)的圖象關(guān)于x2對稱，再根據(jù)f(x)是偶函數(shù)這一性質(zhì)，可由f(x)在2，0上的解析式，作出f(x)在(0，2)上的圖象，進而作出f(x)在(2，6)上的圖象，如圖所示再在同一坐標(biāo)系下，畫出ylog8(x2)的圖象，注意其圖象過點(6，1)，由圖可知，兩圖象在區(qū)間(2，6)內(nèi)有三個交點，從而原方程有三個根，故選C24(2018鄭州質(zhì)檢一)已知函數(shù)f(x)(aR)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(0，1 B1，)C(0，1) D(，1答案A解析由于x0時，f(x)exa在(，0上單調(diào)遞增，x>0時，f(x)2xa在(0，)上也單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，所以當(dāng)x0時，f(x)exa在(，0上有一個零點，即exa有一個根因為x0，0<ex1，所以0<a1當(dāng)x>0時，f(x)2xa在(0，)上有一個零點，即2xa有一個根因為x>0，2x>0，所以a>0所以函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是(0，1，故選A25(2018唐山期末)已知a>1，函數(shù)f(x)若存在t使得g(x)f(x)t有三個零點，則a的取值范圍是()A(1，0) B(0，1) C(1，) D(0，)答案C解析如圖，作出函數(shù)yx2和ylog2(x1)的圖象，從圖中可以看出，在點O(0，0)和點A(1，1)處兩函數(shù)圖象有交點，顯然，要使g(x)f(x)t有三個零點，則函數(shù)yf(x)的圖象與直線yt有三個交點，顯然，只有當(dāng)a>1時，才可能有三個交點，故選C26(2018衡陽三模)已知函數(shù)f(x)x23x8cosx，則函數(shù)f(x)在(0，)上的所有零點之和為()A6 B7 C9 D12答案A解析h(x)x23xx21的圖象關(guān)于x對稱，設(shè)函數(shù)g(x)8cosx由xk，可得xk(kZ)，令k1可得x，所以函數(shù)g(x)8cosx的圖象也關(guān)于x對稱當(dāng)x時，h2<g8，作出函數(shù)h(x)，g(x)的圖象由圖可知函數(shù)h(x)x23xx21的圖象與函數(shù)g(x)8cosx的圖象有四個交點，所以函數(shù)f(x)x23x8cosx在(0，)上的零點個數(shù)為4，所有零點之和為46，故選A27(2018廣東惠州4月模擬)已知函數(shù)f(x)對任意的xR，都有fxfx，函數(shù)f(x1)是奇函數(shù)，當(dāng)x時，f(x)2x，則方程f(x)在區(qū)間3，5內(nèi)的所有根的和為_答案4解析函數(shù)f(x1)是奇函數(shù)，函數(shù)f(x1)的圖象關(guān)于點(0，0)對稱，把函數(shù)f(x1)的圖象向右平移1個單位可得函數(shù)f(x)的圖象，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，則f(2x)f(x)又fxfx，f(1x)f(x)，從而f(2x)f(1x)，f(x1)f(x)，即f(x2)f(x1)f(x)，函數(shù)f(x)的周期為2，且圖象關(guān)于直線x對稱畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示結(jié)合圖象可得方程f(x)在區(qū)間3，5內(nèi)有8個根，且所有根之和為24428(2018江西上高第二中學(xué)模擬)已知f(x)則函數(shù)y2f2(x)3f(x)的零點個數(shù)為_答案5解析令y2f2(x)3f(x)0，則f(x)0或f(x)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：由圖可得，f(x)0有2個根，f(x)有3個根，故函數(shù)y2f2(x)3f(x)的零點個數(shù)為5一、高考大題本考點在近三年高考中未涉及此題型二、模擬大題1(2018湖南衡陽八中月考)已知函數(shù)f(x)x22x，g(x)(1)求gf(1)的值；(2)若方程gf(x)a0有4個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍解(1)利用解析式直接求解得gf(1)g(3)312(2)令f(x)t，則原方程化為g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)內(nèi)有2個不同的解，則原方程有4個解等價于函數(shù)yg(t)(t<1)與ya的圖象有2個不同的交點，作出函數(shù)yg(t)(t<1)的圖象，如圖，由圖象可知，當(dāng)1a<時，函數(shù)yg(t)(t<1)與ya有2個不同的交點，即所求實數(shù)a的取值范圍是1，2(2018河北滄州一中月考)已知關(guān)于x的二次方程x22mx2m10(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍解(1)由條件，拋物線f(x)x22mx2m1與x軸的交點分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，如圖1所示，得(2)拋物線與x軸交點均落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，如圖2所示，列不等式組即<m1