43.2函數(shù)的極大值和極小值讀教材填要點(diǎn)1極值與極值點(diǎn)(1)極大值點(diǎn)與極大值：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)x0附近的函數(shù)值都小于f(x0)(即f(x)f(x0)，x(a，b)，就說(shuō)f(x0)是函數(shù)yf(x)的一個(gè)極大值，x0稱為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)(2)極小值點(diǎn)與極小值：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)x0附近的函數(shù)值都大于f(x0)(即f(x)f(x0)，x(a，b)，就說(shuō)f(x0)是函數(shù)yf(x)的一個(gè)極小值，x0稱為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)極大值和極小值統(tǒng)稱極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)2極大值與極小值的判斷(1)如果f(x)在(a，x0上遞增，在x0，b)上遞減，則f(x)在xx0處取到極大值；(2)如果f(x)在(a，x0上遞減，在x0，b)上遞增，則f(x)在xx0處取到極小值3極值的求法(1)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)求f(x)的駐點(diǎn)，即求f(x)0的根；(3)檢查f(x)在駐點(diǎn)左右的符號(hào)，得到極大值或極小值小問題大思維1導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)都是極值點(diǎn)嗎？提示：不一定yf(x)在xx0及附近有定義，且f(x0)0，yf(x)是否在xx0處取得極值，還要看f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)是否異號(hào)例如f(x)x3，由f(x)3x2知f(0)0，但x0不是f(x)x3的極值點(diǎn)2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有幾個(gè)極小值點(diǎn)？提示：由圖可知，在區(qū)間(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)內(nèi)f(x)>0；在區(qū)間(x1，x2)，(x3，b)內(nèi)f(x)<0.即f(x)在(a，x1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x1，x2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x2，x3)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x3，b)內(nèi)單調(diào)遞減所以函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值點(diǎn)為xx2.3函數(shù)yf(x)在給定區(qū)間上一定有極值點(diǎn)嗎？極大值是否一定比極小值大？提示：(1)在一個(gè)給定的區(qū)間上，函數(shù)可能有若干個(gè)極值點(diǎn)，也可能不存在極值點(diǎn)；函數(shù)可以只有極大值，沒有極小值，或者只有極小值沒有極大值，也可能即有極大值，又有極小值(2)極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小求函數(shù)的極值 求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)x42x2；(2)f(x)x2ex.自主解答(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽. f(x)4x34x4x(x1)(x1)令f(x)0，得x0或x1或x1.列表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)極小值極大值極小值從表中可以看出：當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)有極大值，且f(0)0；當(dāng)x1或x1時(shí)，函數(shù)有極小值，且f(1)f(1)1.(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽.f(x)2xexx2exx(2x)exexx(x2)令f(x)0，得x0或x2.列表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極小值極大值由上表可以看出：當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)有極小值，且f(0)0；當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極大值，且f(2).求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)令f(x)0，求出全部的根x0；(3)列表，方程的根x0將整個(gè)定義域分成若干個(gè)區(qū)間，把x，f(x)，f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在這個(gè)表格內(nèi)；(4)判斷得結(jié)論，若導(dǎo)數(shù)在x0附近左正右負(fù)，則在x0處取得極大值；若左負(fù)右正，則取得極小值要注意函數(shù)的定義域1求函數(shù)f(x)2的極值解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.f(x).令f(x)0，得x1或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)31所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極小值，且f(x)極小值3；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極大值，且f(x)極大值1.極值的逆運(yùn)用 已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值0.求a，b的值自主解答f(x)在x1時(shí)有極值0且f(x)3x26axb.即解得或當(dāng)a1，b3時(shí)，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去當(dāng)a2，b9時(shí)，f(x)3x212x93(x1)(x3)當(dāng)x(，3)時(shí)，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x(3，1)時(shí)，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)為增函數(shù)所以f(x)在x1時(shí)取得極小值，因此a2，b9.若將“在x1時(shí)有極值0”改為“在x1和x3處有極值”，如何求解？解：f(x)3x26axb，1,3是f(x)的極值點(diǎn)，1,3是f(x)0的兩個(gè)根即1,3是3x26axb0的兩根由根與系數(shù)的關(guān)系知解得a1，b9.解決此類問題通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的取值等于零來(lái)建立關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值需注意的是，可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零只是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要條件，所以必須對(duì)求出的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合函數(shù)取得極值的條件2已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1時(shí)取得極值，且f(1)1.(1)求常數(shù)a，b，c的值；(2)判斷x1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說(shuō)明理由解：(1)f(x)3ax22bxc，由f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.a，b0，c.(2)由(1)可得f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(，1)和(1，)上是增函數(shù)，在(1,1)上為減函數(shù)當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(1)1；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)1.含參數(shù)的函數(shù)的極值問題 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的極值；(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)自主解答(1)f(x)3x22x1(x1)(3x1)令f(x)0，則x或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)變化情況如下表：x1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)的極大值是fa，極小值是f(1)a1.(2)函數(shù)f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1.由此可知x取足夠大的正數(shù)時(shí)有f(x)0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有f(x)0，所以曲線yf(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，當(dāng)f(x)的極大值a0，即a時(shí)它的極小值也小于0，因此曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在(1，)上；當(dāng)f(x)的極小值a10，即a(1，)時(shí)它的極大值也大于0，因此曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在上所以當(dāng)a(1，)時(shí)，曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)在本例(2)中，若將“曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)”改為“曲線yf(x)與x軸有三個(gè)交點(diǎn)”呢？解：由于曲線yf(x)與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，f(x)極大值>0且f(x)極小值<0.即解得<a<1.即a的取值范圍為.利用導(dǎo)數(shù)求極值，要先討論函數(shù)的單調(diào)性，涉及參數(shù)時(shí)，必須對(duì)參數(shù)的取值情況進(jìn)行討論，在存在極值的情況下，求出極值3已知函數(shù)f(x)x33axb(a0)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)解：f(x)3(x2a)(a0)，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0恒成立，即函數(shù)在(，)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)沒有極值點(diǎn)當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)0，得x1，x2，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)和(，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，)，此時(shí)x是f(x)的極大值點(diǎn)，x是f(x)的極小值點(diǎn)a為何值時(shí)，方程x33x2a0恰有一個(gè)實(shí)根、兩個(gè)不等實(shí)根、三個(gè)不等實(shí)根，有沒有可能無(wú)實(shí)根？巧思方程x33x2a0根的個(gè)數(shù)，即為直線ya和函數(shù)f(x)x33x2圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此可借助函數(shù)的單調(diào)性和極值畫出函數(shù)f(x)x33x2的圖象，然后借助圖象判斷根的個(gè)數(shù)妙解令f(x)x33x2，則f(x)的定義域?yàn)镽，由f(x)3x26x0，得x0或x2.所以當(dāng)x0或x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)0x2時(shí)，f(x)0.函數(shù)f(x)在x0處有極大值0，在x2處有極小值4，如圖所示，故當(dāng)a0或a4時(shí)，原方程有一個(gè)根；當(dāng)a0或a4時(shí)，原方程有兩個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)4a0時(shí)，原方程有三個(gè)不等實(shí)根；由圖象可知，原方程不可能無(wú)實(shí)根1若函數(shù)f(x)x3ax23x9在x3時(shí)取得極值，則a等于()A2B3C4 D5解析：f(x)3x22ax3，由題意知f(3)0，即3(3)22(3)a30，解得a5.答案：D2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y (1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)解析：由題圖可知，當(dāng)x<2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)2<x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值答案：D3若a0，b0，且函數(shù)(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于()A2B3C6 D9解析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(x)12x22ax2b，由函數(shù)(x)在x1處有極值，可知函數(shù)(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)值為零，即122a2b0，所以ab6.由題意知a，b都是正實(shí)數(shù)，所以ab229，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí)取到等號(hào)答案：D4若函數(shù)f(x)x36x2m的極大值為13，則實(shí)數(shù)m等于_解析：f(x)3x212x3x(x4)由f(x)0，得x0或x4.當(dāng)x(，0)(4，)時(shí)，f(x)0；x(0,4)時(shí)，f(x)0，x4時(shí)f(x)取到極大值故6496m13，解得m19.答案：195若函數(shù)f(x)x3x2ax4在區(qū)間(1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：由題意，f(x)3x22xa，則f(1)f(1)<0，即(1a)(5a)<0，解得1<a<5，另外，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)x3x2x4在區(qū)間(1，1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)a5時(shí)，函數(shù)f(x)x3x25x4在區(qū)間(1,1)沒有極值點(diǎn)故實(shí)數(shù)a的范圍為1,5)答案：1,5)6已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y 4x4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值解：(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4，故b4，ab8.從而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0，得xln 2或x2.從而當(dāng)x(，2)(ln 2，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(2，ln 2)時(shí)，f(x)<0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上單調(diào)遞增，在(2，ln 2)上單調(diào)遞減當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(2)4(1e2)一、選擇題1當(dāng)函數(shù)yx2x取極小值時(shí)，x()A.BCln 2 Dln 2解析：令y2xx2xln 20，x.答案：B2已知函數(shù)yf(x)，其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)()A在(，0)上為減函數(shù)B在x0處取極小值C在(4，)上為減函數(shù) D在x2處取極大值解析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：x(，0)(2,4)時(shí)，f(x)>0，即x(0,2)(4，)時(shí)，f(x)<0，因此f(x)在(，0)，(2,4)上為增函數(shù)，在(0,2)，(4，)上為減函數(shù)，所以x0取得極大值，x2取得極小值，x4取得極大值，因此選C.答案：C3已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa27a在x1處取得極大值10，則的值為()A B2C2或 D2或解析：由題意知，f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.答案：A4設(shè)函數(shù)f(x)exsin x，x0，則()Ax為f(x)的極小值點(diǎn)Bx為f(x)的極大值點(diǎn)Cx為f(x)的極小值點(diǎn)Dx為f(x)的極大值點(diǎn)解析：f(x)exsin x，f(x)ex(sin xcos x)exsin，由f(x)0，得sin0，2kx2k2(kZ)，即2kx2k(kZ)，x0，f(x)在上單調(diào)遞增，f(x)在上單調(diào)遞減，x為f(x)的極大值點(diǎn)答案：D二、填空題5已知函數(shù)yf(x)x33ax23bxc在x2處有極值，其圖象在x1處的切線平行于直線6x2y50，則f(x)的極大值與極小值之差為_解析：f(x)3x26ax3b，f(x)3x26x，令3x26x0，得x0或x2，f(x)極大值f(x)極小值f(0)f(2)4.答案：46設(shè)aR，若函數(shù)yexax，xR有大于零的極值點(diǎn)，則a的取值范圍為_解析：yexa，由y0，得xln(a)，由題意知ln(a)>0，a<1.答案：(，1)7函數(shù)f(x)ax2bx在x處有極值，則b的值為_解析：f(x)2axb，函數(shù)f(x)在x處有極值，f2ab0，即b2.答案：28若函數(shù)f(x)x36bx3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_解析：f(x)3x26b，若f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，只需f(0)f(1)0，即6b(36b)0，解得0b.答案：三、解答題9設(shè)函數(shù)f(x)x2ex1ax3bx2，已知x2和x1為f(x)的極值點(diǎn)(1)求a和b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性解：(1)f(x)ex1(2xx2)3ax22bxxex1(x2)x(3ax2b)，因?yàn)閤2和x1是f(x)的極值點(diǎn)，所以f(2)f(1)0，即解方程組得(2)因?yàn)閍，b1，所以f(x)x(x2)(ex11)令f(x)0，解得x12，x20，x31.因?yàn)楫?dāng)x(，2)(0,1)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(2,0)(1，)時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(2,0)，(1，)上單調(diào)遞增；在(，2)，(0,1)上單調(diào)遞減10設(shè)函數(shù)f(x)x3bx2cxd(a0)，且方程f(x)9x0的兩個(gè)根分別為1,4.(1)當(dāng)a3且曲線yf(x)過原點(diǎn)時(shí)，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍解：由f(x)x3bx2cxd，得f(x)ax22bxc.因?yàn)閒(x)9xax22bxc9x0的兩個(gè)根分別為1,4，所以(*)(1)當(dāng)a3時(shí)，由(*)式得解得b3，c12.又因?yàn)榍€yf(x)過原點(diǎn)，所以d0，故f(x)x33x212x.(2)由于a0，所以“f(x)x3bx2cxd在(，)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)”等價(jià)于“f(x)ax22bxc0在(，)內(nèi)恒成立”由(*)式得2b95a，c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9)解得a1,9即a的取值范圍是1,9