拋物線一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準線于D、E兩點.已知|AB|=42，|DE|=25，則C的焦點到準線的距離為( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8（正確答案）B【分析】畫出圖形，設出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可本題考查拋物線的簡單性質的應用，拋物線與圓的方程的應用，考查計算能力.轉化思想的應用【解答】解：設拋物線為y2=2px，如圖：|AB|=42，|AM|=22，|DE|=25，|DN|=5，|ON|=p2，xA=(22)22p=4p，|OD|=|OA|，16p2+8=p24+5，解得：p=4C的焦點到準線的距離為：4故選B2. 設F為拋物線C：y2=4x的焦點，曲線y=kx(k>0)與C交于點P，PFx軸，則k=( )A. 12 B. 1 C. 32 D. 2（正確答案）D解：拋物線C：y2=4x的焦點F為(1,0)，曲線y=kx(k>0)與C交于點P在第一象限，由PFx軸得：P點橫坐標為1，代入C得：P點縱坐標為2，故k=2，故選：D根據已知，結合拋物線的性質，求出P點坐標，再由反比例函數的性質，可得k值本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，反比例函數的性質，難度中檔3. 設拋物線y2=2px的焦點在直線2x+3y-8=0上，則該拋物線的準線方程為( )A. x=-4 B. x=-3 C. x=-2 D. x=-1（正確答案）A解：把y=0代入2x+3y-8=0得：2x-8=0，解得x=4，拋物線的焦點坐標為(4,0)，拋物線的準線方程為x=-4故選：A求出直線與x軸的交點坐標，即拋物線的焦點坐標，從而得出準線方程本題考查了拋物線的性質，屬于基礎題4. 點A(2,1)到拋物線y2=ax準線的距離為1，則a的值為( )A. -14或-112 B. 14或112 C. -4或-12 D. 4或12（正確答案）C解：拋物線的準線方程為x=-a4，點A(2,1)到拋物線y2=ax準線的距離為|2+a4|=1解得a=-4或a=-12故選C求出拋物線的準線方程，根據距離列出方程解出a的值本題考查了拋物線的簡單性質，準線方程，屬于基礎題5. 設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M，N兩點，則FMFN=( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8（正確答案）D解：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0)，過點(-2,0)且斜率為23的直線為：3y=2x+4，聯立直線與拋物線C：y2=4x，消去x可得：y2-6y+8=0，解得y1=2，y2=4，不妨M(1,2)，N(4,4)，FM=(0,2)，FN=(3,4)則FMFN=(0,2)(3,4)=8故選：D求出拋物線的焦點坐標，直線方程，求出M、N的坐標，然后求解向量的數量積即可本題考查拋物線的簡單性質的應用，向量的數量積的應用，考查計算能力6. 已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2=20y的焦點重合，且其漸近線方程為3x4y=0，則該雙曲線的標準方程為( )A. x29-y216=1 B. y29-x216=1 C. x216-y29=1 D. y216-x29=1（正確答案）B解：拋物線x2=20y中，2p=20，p2=5，拋物線的焦點為F(0,5)，設雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1，雙曲線的一個焦點為F(0,5)，且漸近線的方程為3x4y=0即y=34x，a2+b2=c=5ab=34，解得a=3，b=4(舍負)，可得該雙曲線的標準方程為：y29-x216=1. 故選：B根據拋物線方程，算出其焦點為F(0,5).由此設雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1，根據基本量的平方關系與漸近線方程的公式，建立關于a、b的方程組解出a、b的值，即可得到該雙曲線的標準方程本題給出雙曲線與已知拋物線有一個焦點重合，在已知漸近線的情況下求雙曲線的方程.著重考查了拋物線、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題7. 若拋物線y2=2px(p>0)上的點A(x0,2)到其焦點的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于( )A. 12 B. 1 C. 32 D. 2（正確答案）D解：由題意，3x0=x0+p2，x0=p4，p22=2，p>0，p=2，故選D根據拋物線的定義及題意可知3x0=x0+p2，得出x0求得p，可得答案本題主要考查了拋物線的定義和性質.考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應用，屬于基礎題8. 若拋物線y2=ax的焦點到其準線的距離是2，則a=( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 8（正確答案）C【分析】本題考查拋物線標準方程及簡單性質，利用拋物線的方程，求出p，即可求出結果.是基礎題【解答】解：拋物線y2=ax的焦點到其準線的距離是2，可得p=2，則a=2p=4故選C9. 已知點A(-2,3)在拋物線C：y2=2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為( )A. -2 B. -43 C. -34 D. -12（正確答案）C解：由點A(-2,3)在拋物線C：y2=2px的準線上，即-2=-p2，則p=4，故拋物線的焦點坐標為：(2,0)，則直線AF的斜率k=3-0-2-2=-34，故選C由題意求得拋物線方程，求得焦點坐標，利用直線的斜率公式即可求得直線AF的斜率本題考查拋物線的簡單幾何性質，拋物線的焦點坐標及準線方程，考查計算能力，屬于基礎題10. 已知拋物線C：y2=x的焦點為F，A(x0,y0)是C上一點，AF=|54x0|，則x0=( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 8（正確答案）A解：拋物線C：y2=x的焦點為F(14,0)，A(x0,y0)是C上一點，AF=|54x0|，x0>054x0=x0+14，解得x0=1故選：A利用拋物線的定義、焦點弦長公式即可得出本題考查了拋物線的定義、焦點弦長公式，屬于基礎題11. 若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A，B兩個不同的點，且AB的中點的橫坐標為2，則k=( )A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 15（正確答案）A解：聯立直線y=kx-2與拋物線y2=8x，消去y，可得k2x2-(4k+8)x+4=0，(k0)，判別式(4k+8)2-16k2>0，解得k>-1設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=4k+8k2，由AB中點的橫坐標為2，即有4k+8k2=4，解得k=2或-1(舍去)，故選：A聯立直線y=kx-2與拋物線y2=8x，消去y，可得x的方程，由判別式大于0，運用韋達定理和中點坐標公式，計算即可求得k=2本題考查拋物線的方程的運用，聯立直線和拋物線方程，消去未知數，運用韋達定理和中點坐標公式，注意判別式大于0，屬于中檔題12. 已知拋物線方程為y=14x2，則該拋物線的焦點坐標為( )A. (0,-1) B. (-116,0) C. (116,0) D. (0,1)（正確答案）D解：把拋物線方程化為標準方程為：x2=4y，拋物線的焦點在y軸的正半軸，p=2，p2=1拋物線的焦點坐標為(0,1)故選：D把拋物線方程化成標準方程，根據拋物線的焦點坐標公式得出焦點坐標本題考查了拋物線的簡單性質，屬于基礎題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=_（正確答案）6【分析】本題考查拋物線的簡單性質的應用，考查計算能力.求出拋物線的焦點坐標，推出M坐標，然后求解即可【解答】解：拋物線C：y2=8x的焦點F(2,0)，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，可知M的橫坐標為：1，則M的縱坐標為：22，|FN|=2|FM|=2(1-2)2+(22-0)2=6故答案為614. 若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_ （正確答案）9解：拋物線的準線為x=-1，點M到焦點的距離為10，點M到準線x=-1的距離為10，點M到y(tǒng)軸的距離為9故答案為：9根據拋物線的性質得出M到準線x=-1的距離為10，故到y(tǒng)軸的距離為9本題考查了拋物線的性質，屬于基礎題15. 設拋物線x=2pt2y=2pt(t為參數，p>0)的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設C(72p,0)，AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面積為32，則p的值為_（正確答案）6解：拋物線x=2pt2y=2pt(t為參數，p>0)的普通方程為：y2=2px焦點為F(p2,0)，如圖：過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設C(72p,0)，AF與BC相交于點E.|CF|=2|AF|，|CF|=3p，|AB|=|AF|=32p，A(p,2p)，ACE的面積為32，AEEF=ABCF=12，可得13SAFC=SACE即：13123p2p=32，解得p=6故答案為：6化簡參數方程為普通方程，求出F與l的方程，然后求解A的坐標，利用三角形的面積列出方程，求解即可本題考查拋物線的簡單性質的應用，拋物線的參數方程的應用，考查分析問題解決問題的能力16. 拋物線y2=2x的準線方程是_；該拋物線的焦點為F，點M(x0,y0)在此拋物線上，且|MF|=52，則x0=_（正確答案）x=-12；2解：拋物線方程為y2=2x 可得2p=2，得p2=12，所以拋物線的焦點為F(12,0)，準線方程為x=-12；點M(x0,y0)在此拋物線上，根據拋物線的定義，可得|MF|=x0+p2=52 即x0+12=52，解之得x0=2 故答案為：x=-12，2根據拋物線的標準方程，可得拋物線開口向右，由2p=2得p2=12，所以拋物線的準線方程為x=-12；由拋物線的定義結合點M坐標可得|MF|=x0+p2=52，解之可得x0的值本題給出拋物線的標準方程，求它的準線方程和滿足|MF|=52的點M的坐標.著重考查了拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題三、解答題（本大題共3小題，共30分）17. 在直角坐標系xOy中，直線l：y=t(t0)交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px(p>0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連結ON并延長交C于點H()求|OH|ON|；()除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由（正確答案）解：()將直線l與拋物線方程聯立，解得P(t22p,t)，M關于點P的對稱點為N，xN+xM2=t22p，yN+yM2=t，N(t2p,t)，ON的方程為y=ptx，與拋物線方程聯立，解得H(2t2p,2t) |OH|ON|=|yH|yN|=2；()由()知kMH=p2t，直線MH的方程為y=p2tx+t，與拋物線方程聯立，消去x可得y2-4ty+4t2=0，=16t2-44t2=0，直線MH與C除點H外沒有其它公共點()求出P，N，H的坐標，利用|OH|ON|=|yH|yN|，求|OH|ON|；()直線MH的方程為y=p2tx+t，與拋物線方程聯立，消去x可得y2-4ty+4t2=0，利用判別式可得結論本題考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，正確聯立方程是關鍵18. 已知拋物線C：y2=2x，過點(2,0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明：坐標原點O在圓M上；(2)設圓M過點P(4,-2)，求直線l與圓M的方程（正確答案）解：方法一：證明：(1)當直線l的斜率不存在時，則A(2,2)，B(2,-2)，則OA=(2,2)，OB=(2,-2)，則OAOB=0，OAOB，則坐標原點O在圓M上；當直線l的斜率存在，設直線l的方程y=k(x-2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，y=kx-2y2=2x，整理得：k2x2-(4k2+1)x+4k2=0，則x1x2=4，4x1x2=y12y22=(y1y2)2，由y1y2<0，則y1y2=-4，由OAOB=x1x2+y1y2=0，則OAOB，則坐標原點O在圓M上，綜上可知：坐標原點O在圓M上；方法二：設直線l的方程x=my+2，x=my+2y2=2x，整理得：y2-3my-4=0，令A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1y2=-4，則(y1y2)2=4x1x2，則x1x2=4，則OAOB=x1x2+y1y2=0，則OAOB，則坐標原點O在圓M上，坐標原點O在圓M上；(2)由(1)可知：x1x2=4，x1+x2=4k2+2k2，y1+y2=2k，y1y2=-4，圓M過點P(4,-2)，則AP=(4-x1,-2-y1)，BP=(4-x2,-2-y2)，由APBP=0，則(4-x1)(4-x2)+(-2-y1)(-2-y2)=0，整理得：k2+k-2=0，解得：k=-2，k=1，當k=-2時，直線l的方程為y=-2x+4，則x1+x2=92，y1+y2=-1，則M(94,-12)，半徑為r=丨MP丨=(4-94)2+(-2+12)2=854，圓M的方程(x-94)2+(y+12)2=8516當直線斜率k=1時，直線l的方程為y=x-2，同理求得M(3,1)，則半徑為r=丨MP丨=10，圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10，綜上可知：直線l的方程為y=-2x+4，圓M的方程(x-94)2+(y+12)2=8516或直線l的方程為y=x-2，圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10(1)方法一：分類討論，當直線斜率不存在時，求得A和B的坐標，由OAOB=0，則坐標原點O在圓M上；當直線l斜率存在，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數量積的可得OAOB=0，則坐標原點O在圓M上；方法二：設直線l的方程x=my+2，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得OAOB=0，則坐標原點O在圓M上；(2)由題意可知：APBP=0，根據向量數量積的坐標運算，即可求得k的值，求得M點坐標，則半徑r=丨MP丨，即可求得圓的方程本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題19. 設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程（正確答案）解：(1)方法一：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0)，當直線的斜率不存在時，|AB|=4，不滿足；設直線AB的方程為：y=k(x-1)，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y2=4xy=k(x-1)，整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=0，則x1+x2=2(k2+2)k2，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=2(k2+2)k2+2=8，解得：k2=1，則k=1，直線l的方程y=x-，；方法二：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0)，設直線AB的傾斜角為，由拋物線的弦長公式|AB|=2psin2=4sin2=8，解得：sin2=12，=4，則直線的斜率k=1，直線l的方程y=x-1；(2)過A，B分別向準線x=-1作垂線，垂足分別為A1，B1，設AB的中點為D，過D作DD1準線l，垂足為D，則|DD1|=12(|AA1|+|BB1|)由拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，則r=|DD1|=4，以AB為直徑的圓與x=-1相切，且該圓的圓心為AB的中點D，由(1)可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2-2=4，則D(3,2)，過點A，B且與C的準線相切的圓的方程(x-3)2+(y-2)2=16.(1)方法一：設直線AB的方程，代入拋物線方程，根據拋物線的焦點弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程；方法二：根據拋物線的焦點弦公式|AB|=2psin2，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線l的斜率，求得直線l的方程；(2)根據過A，B分別向準線l作垂線，根據拋物線的定義即可求得半徑，根據中點坐標公式，即可求得圓心，求得圓的方程本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，拋物線的焦點弦公式，考查圓的標準方程，考查轉換思想思想，屬于中檔題