專題02 矢量的運算模型模型界定矢量及矢量運算是高中物理的重點和難點之一，常見的矢量有位移、速度、加速度、力、動量、電場強度、磁感應(yīng)強度等狹義的講，矢量的運算是指矢量物理量之間的運算，廣義的說，矢量運算還包括運動形式的分解與合成適量運算要遵循特殊的法則。本模型歸納總結(jié)高中物理中所涉及到的矢量矢量的加(減)法與乘法的運算.模型破解1. 矢量加法(i)平行四邊形定則矢量的加法運算也即矢量的合成,其實質(zhì)是等效替代,一般可用平行四邊形法則。如果用表示兩個矢量A1和A2的有向線段為鄰邊作平行四邊形，那么合矢量A的大小和方向就可以用這兩個鄰邊之間的對角線表示，這叫做矢量運算的平行四邊形定則.(ii)三角形法則與多邊形定則如圖所示，兩矢量合成時由平行四邊形法則可推廣至三角形法則：將兩矢量首尾相接，則合矢量就是由矢量的箭尾指向矢量箭首的有向線段所表示的矢量多個矢量相加時，則三角形定則推廣可得到多邊形法則，如圖所示最終合矢量的大小和方向與相加次序無關(guān)。（iii)正交分解法將矢量沿兩個相互垂直的方向分解，稱為正交分解矢量A1、A2、A3相加時，可先將各矢量沿相互垂直的x軸和y軸分解，A1分解為A1x和A1y，A2分解為A2x和A2y，A3分解為A3x和A3y，則x軸方向上的矢量和Ax=A1x+A2x+A3x+；y軸方向上的適量和Ay=A1y+A2y+A3y+,則合矢量大小，合矢量方向與x軸夾角滿足(iv)矢量減法矢量減法是矢量加法的逆運算，也稱為矢量的分解一個矢量減去另一個矢量，等于加上那個矢量的負(fù)矢量，A-A2=A1+(-A2)，如圖所示。矢量的分解雖然是矢量合成的逆運算，但無其他限制，同一個矢量可分解為無數(shù)對大小、方向不同的分矢量。因此，把一個矢量分解為兩個分矢量時，應(yīng)根據(jù)具體情況分解。(v)基本規(guī)律當(dāng)兩矢量A1和A2大小一定時，合矢量A隨著兩矢量間夾角的增大而減小。當(dāng)兩矢量間的夾角0時，合矢量最大，等于Amxa=A1+A2；當(dāng)兩矢量間的夾角180時，合矢量最小，等于Amin=A1-A2，即合矢量的取值范圍是A1-A2A1+A2。合矢量可以大于、等于或小于分矢量，他的大小依賴于兩矢量之間的夾角的大?。捍笮∠嗟鹊膬墒噶?，當(dāng)其夾角小于1200時，合矢量大于分矢量；夾角等于1200時合矢量與分矢量相等；夾角大于1200而小于1800時，合矢量小于分矢量有n個矢量A1、A2、A3、An，他們矢量和大小的最大值是它們的方向相同時的合矢量大小，即，而最小值要分下列兩種情況討論：若n個矢量A1、A2、A3、An中的大小最大的矢量Aj大于其余矢量的大小之和，則他們矢量和的最小值是Aj。若n個矢量A1、A2、A3、An中的大小最大的矢量Aj不大于其余矢量的大小之和，則他們矢量和的最小值是。兩矢量大小相等時，合矢量的方向必在兩矢量的夾角平分在線例.兩個大小分別為和（）的力作用在同一質(zhì)點上，它們的合力的大小F滿足A BC D 【答案】C【解析】共點的兩個力合成，同向時最大為，反向時最小為，正確例.如圖所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心，一質(zhì)量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止P點。設(shè)滑塊所受支持力為FN。OF與水平方向的夾角為0。下列關(guān)系正確的是（ ）ABFmgtan0CDFN=mgtan0【答案】A【解析】對小滑塊受力分析如圖所示，根據(jù)平行四邊形定則可得，所以A正確。例.如圖，兩根相互平行的長直導(dǎo)線分別通有方向相反的電流和，且；a、b、c、d為導(dǎo)線某一橫截面所在平面內(nèi)的四點，且a、b、c與兩導(dǎo)線共面；b點在兩導(dǎo)線之間，b、d的連線與導(dǎo)線所在平面垂直。磁感應(yīng)強度可能為零的點是Aa點 Bb點 Cc點 Dd點 【答案】C例如圖，兩等量異號的點電荷相距為。M與兩點電荷共線，N位于兩點電荷連線的中垂線上，兩點電荷連線中點到M和N的距離都為L，且。略去項的貢獻(xiàn)，則兩點電荷的合電場在M和N點的強度（ ）A大小之比為2，方向相反B大小之比為1，方向相反C大小均與成正比，方向相反D大小均與L的平方成反比，方向相互垂直【答案】AC【解析】如右下圖所示，合電場在M和N點的強度分別為、，故有E1：E22；又因N點處強場方向由對稱性知平行于兩場源電荷由q指向q，在M點因距q較近，-q產(chǎn)生的電場弱于q產(chǎn)生的電場,總場強方向由q指向q，正確。例5.在一個水平方向的勻強電場中，某帶負(fù)電荷的小球做勻變速曲線運動，依次經(jīng)過A、B、C 三點，A、B、C三點與電場方向在同一個豎直面內(nèi)，運動軌跡如圖所示已知過B點切線與AC連線平行，D點為AC線段的中點，BD連線恰與AC垂直，質(zhì)點從A點運動到B點所用的時間為tAB，質(zhì)點從B點運動到C點所用的時間為tBC。下列說法正確的是AtAB一定等于tBC，電場方向向左BtAB一定等于tBC，電場方向向右CtAB不一定等于tBC，電場方向向左DtAB不一定等于tBC，電場方向向右【答案】B模型演練.如圖，三個大小相等的力F，作用于同一點O，則合力最小的是FFFOAFFFOBDFFFO60CFFFO120120120【答案】C【解析】在ABD三圖中三力的合力大小雖不相同，但一定不為零，而在C圖其中任兩個力的合力與第三個力等值反向，三個力的合力一定為零，答案為C.在等邊三角形的三個頂點a、b、c處，各有一條長直導(dǎo)線垂直穿過紙面，導(dǎo)線中通有大小相等的恒定電流，方向如圖。過c點的導(dǎo)線所受安培力的方向 A.與ab邊平行，豎直向上 B.與ab邊平行，豎直向下 C.與ab邊垂直，指向左邊 D.與ab邊垂直，指向右邊【答案】C【解析】等邊三角形的三個頂點a、b、c處均有一通電導(dǎo)線，且導(dǎo)線中通有大小相等的恒定電流由安培定則可得：導(dǎo)線a、b的電流在c處的合磁場方向豎直向下再由左手定則可得：安培力的方向是與ab邊垂直，指向左邊.四根相互平行的通電長直導(dǎo)線a、b、c電流均為I，如圖所示放在正方形的四個頂點上，每根通電直導(dǎo)線單獨存在時，四邊形中心O點的磁感應(yīng)強度都是B，則四根通電導(dǎo)線同時存在時O點的磁感應(yīng)強度的大小和方向為IadObcIII練圖A.，方向向左 B. ，方向向下 C. ，方向向右 D. ，方向向上【答案】A4.三根相互平行的通電長直導(dǎo)線放在等邊三角形的三個頂點上，右圖為其截面圖，電流方向如圖所示。若每根導(dǎo)線的電流均為I，每根直導(dǎo)線單獨存在時，在三角形中心O點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小都是B，則三根導(dǎo)線同時存在時O點的磁感應(yīng)強度大小為A0BBC2BDB【答案】C【解析】根據(jù)安培定則判斷得知：三根導(dǎo)線在O點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的方向分別為：上面導(dǎo)線產(chǎn)生的B方向水平向左，大小為B；下面左邊導(dǎo)線產(chǎn)生的B方向斜向左上方，與水平成60角，下面右邊導(dǎo)線產(chǎn)生的B方向斜向右上方，與水平成60角，則根據(jù)平行四邊形定則進(jìn)行合成可知，下面兩根導(dǎo)線產(chǎn)生的合場強大小為B，方向水平向左，所以三根導(dǎo)線同時存在時的磁感應(yīng)強度大小為2B，方向水平向左5.取兩個完全相同的長導(dǎo)線，用其中一根繞成如圖（a）所示的螺線管，當(dāng)該螺線管中通以電流強度為I的電流時，測得螺線管內(nèi)中部的磁感應(yīng)強度大小為B，若將另一根長導(dǎo)線對折后繞成如圖（b）所示的螺線管，并通以電流強度也為I的電流時，則在螺線管內(nèi)中部的磁感應(yīng)強度大小為（）（A）0。（B）0.5B。（C）B。（D）2 B?！敬鸢浮緼2.矢量的乘法。矢量乘法運算中包括三種情況：一種是矢量和標(biāo)量的乘積，其結(jié)果仍為矢量，如F=ma、F=qE等。此類運算中，若該標(biāo)量大于零，則結(jié)果與原矢量同向，小于零時則與原矢量反向第二種情況是矢量和矢量相乘，結(jié)果構(gòu)成了新的標(biāo)量，矢量間這樣的乘積叫標(biāo)積兩矢量的標(biāo)積等于兩矢量的大小及兩矢量間夾角余弦三者的乘積，如功W=FScos、功率P=Fvcos等的計算是采用兩個矢量的標(biāo)積。第三種情況是矢量和矢量相乘結(jié)果卻構(gòu)成新的矢量，矢量間這樣的乘積叫矢積。兩矢量的矢積大小等于兩矢量的大小及兩矢量間夾角正弦三者的乘積，如洛侖茲力f=qvBsin等的計算是采用兩個矢量的矢積。新矢量的方向與原兩矢量所決定的平面垂直例5.一質(zhì)點開始時做勻速直線運動，從某時刻起受到一恒力作用。此后，該質(zhì)點的動能可能A一直增大B先逐漸減小至零，再逐漸增大C先逐漸增大至某一最大值，再逐漸減小D先逐漸減小至某一非零的最小值，再逐漸增大【答案】ABD另解：從運動的合成與分解角度考慮，仍設(shè)恒力與速度間夾角為，若，質(zhì)點做勻加速直線運動，速率增大動能增加，若，質(zhì)點做勻變速曲線運動，沿恒力方向加速運動，垂直于合力方向勻速運動，速率一直增大，動能一直增加；若，質(zhì)點也做勻變速曲線運動，沿恒力方向質(zhì)點先減速再反向加速，垂直于恒力方向質(zhì)點勻速運動，此情況下質(zhì)點的速率先減小再增大，動能也是先減小再增大，但其最小值不為零；若，質(zhì)點先做勻減速直線運動，速度減小零后再反向加速，其動能也先減小到零再增加，故ABD正確例6長螺線管中通有恒定電流，把一個帶電粒子沿軸線方向射入螺線管，不計重力，粒子在管中將做：A圓周運動 B沿軸線來回運動 C勻加速直線運動 D勻速直線運動【答案】D【解析】在螺線管內(nèi)磁感線的方向平行于其軸線，則帶電粒子進(jìn)入管內(nèi)后速度方向與磁場方向平行，在中，故粒子不受力，沿軸線做勻速直線運動，正確模型演練6. 運動員跳傘將經(jīng)歷加速下降和減速下降兩個過程。將人和傘看成一個系統(tǒng)，在這兩個過程中，下列說法正確的是A阻力對系統(tǒng)始終做負(fù)功B系統(tǒng)受到的合外力始終向下C重力做功使系統(tǒng)的重力勢能增加D任意相等的時間內(nèi)重力做的功相等【答案】A【解析】阻力的方向始終與人的運動的方向相反，所以阻力對系統(tǒng)始終做負(fù)功，故A正確運動員跳傘將經(jīng)歷加速下降和減速下降兩個過程，在減速下降的過程中，由牛頓第二定律可知，此時合力的方向是向上的，所以B錯誤在下降的過程中重力做正功，由能的轉(zhuǎn)化和可知此時物體的重力勢能減小，所以C錯誤由重力做的功W=mgh可知，由于人不是勻速運動的，在相等的時間內(nèi)下降的高度不同，所以任意相等的時間內(nèi)重力做的功不相等，故D錯誤7. 一個25kg的小孩從高度為3.0m的滑梯頂端由靜止開始滑下，滑到底端時的速度為2.0ms。取g10ms2，關(guān)于力對小孩做的功，以下結(jié)果正確的是A合外力做功50J B阻力做功500JC重力做功500JD支持力做功50J【答案】A8. 如圖所示，重球m用一條不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線拴住后懸于O點，重球置于一個斜面劈M上，用水平力F向左推動斜劈M在光滑水平桌面上由位置甲勻速向左移動到位置乙，在此過程中，正確的說法是（ ）AM、m間的摩擦力對m不做功BM、m間的摩擦力對m做負(fù)功CF對M所做的功與m對M所做的功的絕對值相等DM、m間的彈力對m所做的功與對M做的功的絕對值不相等【答案】C