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第五節(jié) 萬有引力與航天（一） 李仕才 班別 姓名 學號 一、學習目標 1.能夠解決水平面內(nèi)和豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題. 2.能夠應用牛頓運動定律解決生活中的圓周運動問題. 3.了解物體做離心運動的條件. 二、知識梳理 考點一　萬有引力定律的理解與應用 （一）開普勒定律 1．開普勒第一定律(軌道定律)：所有的行星圍繞太陽運行的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個　焦點上． 2．開普勒第二定律(面積定律)：對于每一個行星而言，太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的　面積. 3．開普勒第三定律(周期定律)：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即　＝k　 （二）萬有引力定律 內(nèi)容 自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的　連線　上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的　乘積　成正比，與它們之間距離r的　平方　成反比 公式 F＝　G　，引力常量G＝6.6710－11Nm2/kg2，英國物理學家　卡文迪許　于1798并利用扭秤測出了G值 適用條件 (1)兩質(zhì)點間的作用 (2)可視為質(zhì)點的物體間的作用 (3)質(zhì)量分布均勻的球體間的作用 （三）萬有引力與重力的關(guān)系 地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果:一是重力mg,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向,如圖所示. （1）在赤道上: G=mg1+ . （2）在兩極上:G=mg2. (3)在一般位置:萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和. 越靠近南北兩極g值越 ,由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較大,常認為萬有引力近似等于重力,即= . （四）地球或其他天體表面及某一高度處的重力加速度的計算 設天體表面重力加速度為g,天體半徑為R,忽略天體自轉(zhuǎn),則有mg=G,得g=或GM=gR2; 若物體距天體表面的高度為h,則重力mg′=G,得g′==g. 【典例1】(2017課標卷Ⅱ，19)（多選）如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0.若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)M、Q到N的運動過程中(　　) A．從P到M所用的時間等于 B．從Q到N階段，機械能逐漸變大 C．從P到Q階段，速率逐漸變小 D．從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功 【解析】　A錯：由開普勒第二定律可知，相等時間內(nèi)，太陽與海王星連線掃過的面積都相等，由P到M掃過面積小于. B錯：由機械能守恒定律知，從Q到N階段，機械能守恒． C對：從P到Q階段，萬有引力做負功，動能減小，速率逐漸變?。? D對：從M到N階段，萬有引力與速度的夾角先是鈍角后是銳角，即萬有引力對它先做負功后做正功． 【答案】　CD 【即時訓練1】(2016課標卷Ⅰ，17)利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．假設地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為(　　) A．1 h B．4 h C.8 h D．16 h 【解析】　設地球的半徑為R，周期T＝24 h，當?shù)厍虻淖赞D(zhuǎn)周期變小時，三顆同步衛(wèi)星A、B、C的位置如圖所示，所以此時同步衛(wèi)星的半徑r＝2R，由開普勒第三定律得：＝k，可得T1＝T≈4 h，故A、C、D錯誤，B正確． 【答案】　B 【典例2】(2013浙江卷,18)(多選)如圖所示,三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上,設地球質(zhì)量為M,半徑為R.下列說法正確的是(　 　) A.地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為 B.一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為 C.兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為 D.三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為 【即時訓練2】 靜止在地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動.下列說法正確的是(　 　) A.物體受到的萬有引力和支持力的合力總是指向地心 B.物體做勻速圓周運動的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等 C.物體做勻速圓周運動的加速度等于重力加速度 D.物體對地面壓力的方向與萬有引力的方向總是相同 【即時訓練3】如圖所示，有一個質(zhì)量為M，半徑為R，密度均勻的大球體．從中挖去一個半徑為的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點，則大球體的剩余部分對該質(zhì)點的萬有引力大小為(已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零)(　　) A．G B．0 C.4G D．G 【解析】　若將挖去的小球體用原材料補回，可知剩余部分對m的吸引力等于完整大球體對m的吸引力與挖去小球體對m的吸引力之差，挖去的小球體球心與m重合，對m的萬有引力為零，則剩余部分對m的萬有引力等于完整大球體對m的萬有引力；以大球體球心為中心分離出半徑為的球，易知其質(zhì)量為M，則剩余均勻球殼對m的萬有引力為零，故剩余部分對m的萬有引力等于分離出的球?qū)ζ涞娜f有引力，根據(jù)萬有引力定律，F(xiàn)＝G＝G，故D正確． 【答案】　D 【即時訓練4】理論上已經(jīng)證明:質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零.現(xiàn)假設地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實心球體,O為球心,以O為原點建立坐標軸Ox,如圖所示.一個質(zhì)量一定的小物體(假設它能夠在地球內(nèi)部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示,則選項圖所示的四個F隨x的變化關(guān)系圖像正確的是(　 　) 【即時訓練5】 (2017海南卷,5)已知地球質(zhì)量為月球質(zhì)量的81倍,地球半徑約為月球半徑的4倍.若在月球和地球表面同樣高度處,以相同的初速度水平拋出物體,拋出點與落地點間的水平距離分別為s月和s地,則s月∶s地約為(　 　) A.9∶4 B.6∶1 C.3∶2 D.1∶1 考點二　宇宙速度 1．三種宇宙速度 第一宇宙速度(環(huán)繞速度) v1＝　7.9_km/s　，是人造地球衛(wèi)星的最小　發(fā)射　速度，也是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的　最大　速度． 第二宇宙速度(脫離速度) v2＝　11.2_km/s　，是使物體掙脫　地球　引力束縛的最小發(fā)射速度． 第三宇宙速度(逃逸速度) v3＝　16.7_km/s　，是使物體掙脫　太陽　引力束縛的最小發(fā)射速度. 2．第一宇宙速度的計算 (1)由G=m得v= =7.9 km/s. (2)由mg=m得v==7.9 km/s. 【典例3】 某人在一星球上以速率v豎直上拋一物體,經(jīng)時間t物體以速率v落回手中,已知該星球的半徑為R,求該星球上的第一宇宙速度. 【即時訓練6】 (多選)下列關(guān)于三種宇宙速度的說法正確的是(　 　) A.第一宇宙速度v1=7.9 km/s,第二宇宙速度v2=11.2 km/s,則人造衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運行時的速度大于等于v1,小于v2 B.美國發(fā)射的“鳳凰”號火星探測衛(wèi)星,其發(fā)射速度大于第三宇宙速度 C.第二宇宙速度是使物體可以掙脫地球引力束縛,成為繞太陽運行的小行星的最小發(fā)射速度 D.第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的最大運行速度 【即時訓練7】 “伽利略”木星探測器,從1989年10月進入太空起,歷經(jīng)6年,行程37億千米,終于到達木星周圍.此后在t秒內(nèi)繞木星運行N圈后,對木星及其衛(wèi)星進行考察,最后墜入木星大氣層燒毀.設這N圈都是繞木星在同一個圓周上運行,其運行速率為v,探測器上的照相機正對木星拍攝整個木星時的視角為θ(如圖所示),設木星為一球體.求: (1)木星探測器在上述圓形軌道上運行時的軌道半徑; (2)木星的第一宇宙速度. 考點三　中心天體的質(zhì)量和密度的估算 1．天體質(zhì)量和密度的估算 (1)“自力更生法”(g－R)：利用天體表面的重力加速度g和天體的半徑R 由G＝mg，得M＝，ρ＝＝＝. (2)“借助外援法”(T－r)：利用天體的衛(wèi)星，已知衛(wèi)星的周期T(或線速度v)和衛(wèi)星的軌道半徑r 建立G＝m＝mr，則M＝ 測天體的密度：將天體的質(zhì)量M代入ρ＝得： ρ＝ 2．星體表面及其某一高度處的重力加速度的求法 (1)設天體表面的重力加速度為g，天體半徑為R，則mg＝G，即g＝(或GM＝gR2) (2)若物體距星體表面高度為h，則重力 mg′＝G，即g′＝＝g. 【典例4】 (多選)假設航天員準備登陸木星,為了更準確了解木星的一些信息,到木星之前做一些科學實驗,當?shù)竭_與木星表面相對靜止時,航天員對木星表面發(fā)射一束激光,經(jīng)過時間t,收到激光傳回的信號,測得相鄰兩次看到日出的時間間隔是T,測得航天員所在航天器的速度為v,已知引力常量G,激光的速度為c,則(　 　) A.木星的質(zhì)量M= B.木星的質(zhì)量M= C.木星的質(zhì)量M= D.根據(jù)題目所給條件,可以求出木星的密度 【即時訓練7】 (2016海南卷,7)(多選)通過觀察冥王星的衛(wèi)星,可以推算出冥王星的質(zhì)量.假設衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運動,除了引力常量外,至少還需要兩個物理量才能計算出冥王星的質(zhì)量,這兩個物理量可以是(　 　) A.衛(wèi)星的速度和角速度 B.衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑 C.衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度 D.衛(wèi)星的運行周期和軌道半徑 【即時訓練9】(2017北京卷，17)利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計算出地球質(zhì)量的是(　　) A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn)) B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期 C．月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離 D．地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離 【解析】　A能：根據(jù)G＝mg可知，已知地球的半徑及重力加速度可計算出地球的質(zhì)量． B能：根據(jù)G＝及v＝可知，已知人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期可計算出地球的質(zhì)量． C能：根據(jù)G＝mr可知，已知月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離，可計算出地球的質(zhì)量． D不能：已知地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離只能求出太陽的質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量． 【答案】　D 三、鞏固訓練 1．（多選）已知甲、乙兩行星的半徑之比為2∶1，環(huán)繞甲、乙兩行星表面運行的兩衛(wèi)星周期之比為4∶1，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．甲、乙兩行星表面衛(wèi)星的動能之比為1∶4 B．甲、乙兩行星表面衛(wèi)星的角速度之比為1∶4 C．甲、乙兩行星的質(zhì)量之比為1∶2 D．甲、乙兩行星的第一宇宙速度之比為2∶1 【解析】　由＝mrω2＝得 ω＝，v＝ ，Ek＝mv2， T＝＝2π ，代入數(shù)據(jù)得M甲∶M乙＝1∶2，ω甲∶ω乙＝1∶4，v甲∶v乙＝1∶2，衛(wèi)星質(zhì)量關(guān)系不知，不能比較動能大?。? 【答案】　BC 2．（多選）2016年10月19日3時31分，神舟十一號載人飛船與天宮二號空間實驗室成功實現(xiàn)自動交會對接，此時天宮二號繞地飛行一圈時間為92.5 min，而地球同步衛(wèi)星繞地球一圈時間為24 h，根據(jù)此兩組數(shù)據(jù)我們能求出的是(　　) A．天宮二號與地球同步衛(wèi)星受到的地球引力之比 B．天宮二號與地球同步衛(wèi)星的離地高度之比 C．天宮二號與地球同步衛(wèi)星的線速度之比 D．天宮二號與地球同步衛(wèi)星的加速度之比 【解析】　由F＝及＝mrω2＝m＝ma可知，ω＝，T＝2π ，a＝，v＝，已知周期關(guān)系可確定半徑關(guān)系，進而確定線速度關(guān)系，加速度關(guān)系，但由于不知天宮二號和同步衛(wèi)星的質(zhì)量關(guān)系，故所受地球引力關(guān)系不確定，地球半徑未知，所以離地高度關(guān)系不確定，C、D正確． 【答案】　CD 3．（多選）已知地球的半徑為6.4106 m，地球自轉(zhuǎn)的角速度為7.2710－5rad/s，地球表面的重力加速度為9.8 m/s2，在地球表面發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度為7.9103 m/s，第三宇宙速度為16.7103 m/s，月地中心間距離為3.84108 m．假設地球上有一顆蘋果樹長到月球那么高，則當蘋果脫離蘋果樹后，請根據(jù)此時蘋果線速度的計算，判斷蘋果將不會(　　) A．落回地面 B．成為地球的“蘋果月亮” C．成為地球的同步“蘋果衛(wèi)星” D．飛向茫茫宇宙 【解析】　地球自轉(zhuǎn)的角速度為7.2710－5rad/s，月球到地球中心的距離為3.84108 m，地球上有一棵蘋果樹長到了接近月球那么高，根據(jù)v＝rω得：蘋果的線速度為v＝2.8104 m/s，第三宇宙速度為16.7103 m/s，由于蘋果的線速度大于第三宇宙速度，所以蘋果脫離蘋果樹后，將脫離太陽系的束縛，飛向茫茫宇宙，故A、B、C正確． 【答案】　ABC 4．隨著人類航天事業(yè)的進步，太空探測越來越向深空發(fā)展，火星正在成為全球航天界的“寵兒”．我國計劃于2020年發(fā)射火星探測器，一步實現(xiàn)繞、落、巡工程目標．假設某宇航員登上了火星，在其表面以初速度v豎直上拋一小球(小球僅受火星的引力作用)，小球上升的最大高度為h，火星的直徑為d，引力常量為G，則(　　) A．火星的第一宇宙速度為v B．火星的密度為 C．火星的質(zhì)量為 D．火星的“近火衛(wèi)星”運行周期為 【解析】　在火星表面豎直上拋的小球做勻減速直線運動，設火星表面的重力加速度為g，第一宇宙速度為v0，火星的自轉(zhuǎn)周期為T，則2gh＝v2，得g＝，在火星表面的物體的重力等于萬有引力，也是在火星表面附近做圓周運動的向心力，mg＝G＝m()2r，又r＝，M＝πr3ρ，得：v0＝v，M＝，ρ＝，T＝，故選B. 【答案】　B 5.(中心天體密度的求解)(2014全國Ⅱ卷,18)假設地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體.已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0,在赤道的大小為g;地球自轉(zhuǎn)的周期為T,引力常量為G.地球的密度為(　 　) A. B. C. D. 6.(估算問題)(2011全國新課標卷,19)衛(wèi)星電話信號需要通過地球同步衛(wèi)星傳送.如果你與同學在地面上用衛(wèi)星電話通話,則從你發(fā)出信號至對方接收到信號所需最短時間最接近于(可能用到的數(shù)據(jù):月球繞地球運動的軌道半徑約為3.8105 km,運行周期約為27天,地球半徑約為6 400 km,無線電信號的傳播速度為3108 m/s)(　 　) A.0.1 s B.0.25 s C.0.5 s D.1 s