第五節(jié) 萬有引力與航天（一）李仕才班別 姓名 學(xué)號(hào) 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠解決水平面內(nèi)和豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題.2.能夠應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決生活中的圓周運(yùn)動(dòng)問題.3.了解物體做離心運(yùn)動(dòng)的條件.二、知識(shí)梳理考點(diǎn)一萬有引力定律的理解與應(yīng)用（一）開普勒定律1開普勒第一定律(軌道定律)：所有的行星圍繞太陽運(yùn)行的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上2開普勒第二定律(面積定律)：對于每一個(gè)行星而言，太陽和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積.3開普勒第三定律(周期定律)：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即k（二）萬有引力定律內(nèi)容自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比公式FG，引力常量G6.671011Nm2/kg2，英國物理學(xué)家卡文迪許于1798并利用扭秤測出了G值適用條件(1)兩質(zhì)點(diǎn)間的作用(2)可視為質(zhì)點(diǎn)的物體間的作用(3)質(zhì)量分布均勻的球體間的作用（三）萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果:一是重力mg,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向,如圖所示.（1）在赤道上: G=mg1+ .（2）在兩極上:G=mg2.(3)在一般位置:萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和.越靠近南北兩極g值越 ,由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較大,常認(rèn)為萬有引力近似等于重力,即= .（四）地球或其他天體表面及某一高度處的重力加速度的計(jì)算設(shè)天體表面重力加速度為g,天體半徑為R,忽略天體自轉(zhuǎn),則有mg=G,得g=或GM=gR2;若物體距天體表面的高度為h,則重力mg=G,得g=g.【典例1】(2017課標(biāo)卷，19)（多選）如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，P為近日點(diǎn)，Q為遠(yuǎn)日點(diǎn)，M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，運(yùn)行的周期為T0.若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)M、Q到N的運(yùn)動(dòng)過程中() A從P到M所用的時(shí)間等于B從Q到N階段，機(jī)械能逐漸變大C從P到Q階段，速率逐漸變小D從M到N階段，萬有引力對它先做負(fù)功后做正功【解析】A錯(cuò)：由開普勒第二定律可知，相等時(shí)間內(nèi)，太陽與海王星連線掃過的面積都相等，由P到M掃過面積小于.B錯(cuò)：由機(jī)械能守恒定律知，從Q到N階段，機(jī)械能守恒C對：從P到Q階段，萬有引力做負(fù)功，動(dòng)能減小，速率逐漸變小D對：從M到N階段，萬有引力與速度的夾角先是鈍角后是銳角，即萬有引力對它先做負(fù)功后做正功【答案】CD【即時(shí)訓(xùn)練1】(2016課標(biāo)卷，17)利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通訊目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為()A1 h B4 h C.8 h D16 h【解析】設(shè)地球的半徑為R，周期T24 h，當(dāng)?shù)厍虻淖赞D(zhuǎn)周期變小時(shí)，三顆同步衛(wèi)星A、B、C的位置如圖所示，所以此時(shí)同步衛(wèi)星的半徑r2R，由開普勒第三定律得：k，可得T1T4 h，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確【答案】B【典例2】(2013浙江卷,18)(多選)如圖所示,三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上,設(shè)地球質(zhì)量為M,半徑為R.下列說法正確的是( )A.地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為B.一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為C.兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為D.三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為【即時(shí)訓(xùn)練2】 靜止在地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).下列說法正確的是( )A.物體受到的萬有引力和支持力的合力總是指向地心B.物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等C.物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度等于重力加速度D.物體對地面壓力的方向與萬有引力的方向總是相同【即時(shí)訓(xùn)練3】如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R，密度均勻的大球體從中挖去一個(gè)半徑為的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為(已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零)() AG B0 C.4G DG【解析】若將挖去的小球體用原材料補(bǔ)回，可知剩余部分對m的吸引力等于完整大球體對m的吸引力與挖去小球體對m的吸引力之差，挖去的小球體球心與m重合，對m的萬有引力為零，則剩余部分對m的萬有引力等于完整大球體對m的萬有引力；以大球體球心為中心分離出半徑為的球，易知其質(zhì)量為M，則剩余均勻球殼對m的萬有引力為零，故剩余部分對m的萬有引力等于分離出的球?qū)ζ涞娜f有引力，根據(jù)萬有引力定律，F(xiàn)GG，故D正確【答案】D【即時(shí)訓(xùn)練4】理論上已經(jīng)證明:質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零.現(xiàn)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實(shí)心球體,O為球心,以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸Ox,如圖所示.一個(gè)質(zhì)量一定的小物體(假設(shè)它能夠在地球內(nèi)部移動(dòng))在x軸上各位置受到的引力大小用F表示,則選項(xiàng)圖所示的四個(gè)F隨x的變化關(guān)系圖像正確的是( )【即時(shí)訓(xùn)練5】 (2017海南卷,5)已知地球質(zhì)量為月球質(zhì)量的81倍,地球半徑約為月球半徑的4倍.若在月球和地球表面同樣高度處,以相同的初速度水平拋出物體,拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)間的水平距離分別為s月和s地,則s月s地約為( )A.94 B.61 C.32 D.11考點(diǎn)二宇宙速度1三種宇宙速度第一宇宙速度(環(huán)繞速度)v17.9_km/s，是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度第二宇宙速度(脫離速度)v211.2_km/s，是使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度第三宇宙速度(逃逸速度)v316.7_km/s，是使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度.2第一宇宙速度的計(jì)算(1)由G=m得v= =7.9 km/s.(2)由mg=m得v=7.9 km/s.【典例3】 某人在一星球上以速率v豎直上拋一物體,經(jīng)時(shí)間t物體以速率v落回手中,已知該星球的半徑為R,求該星球上的第一宇宙速度.【即時(shí)訓(xùn)練6】 (多選)下列關(guān)于三種宇宙速度的說法正確的是( )A.第一宇宙速度v1=7.9 km/s,第二宇宙速度v2=11.2 km/s,則人造衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速度大于等于v1,小于v2B.美國發(fā)射的“鳳凰”號(hào)火星探測衛(wèi)星,其發(fā)射速度大于第三宇宙速度C.第二宇宙速度是使物體可以掙脫地球引力束縛,成為繞太陽運(yùn)行的小行星的最小發(fā)射速度D.第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度【即時(shí)訓(xùn)練7】 “伽利略”木星探測器,從1989年10月進(jìn)入太空起,歷經(jīng)6年,行程37億千米,終于到達(dá)木星周圍.此后在t秒內(nèi)繞木星運(yùn)行N圈后,對木星及其衛(wèi)星進(jìn)行考察,最后墜入木星大氣層燒毀.設(shè)這N圈都是繞木星在同一個(gè)圓周上運(yùn)行,其運(yùn)行速率為v,探測器上的照相機(jī)正對木星拍攝整個(gè)木星時(shí)的視角為(如圖所示),設(shè)木星為一球體.求:(1)木星探測器在上述圓形軌道上運(yùn)行時(shí)的軌道半徑;(2)木星的第一宇宙速度.考點(diǎn)三中心天體的質(zhì)量和密度的估算1天體質(zhì)量和密度的估算(1)“自力更生法”(gR)：利用天體表面的重力加速度g和天體的半徑R由Gmg，得M，.(2)“借助外援法”(Tr)：利用天體的衛(wèi)星，已知衛(wèi)星的周期T(或線速度v)和衛(wèi)星的軌道半徑r建立Gmmr，則M測天體的密度：將天體的質(zhì)量M代入得：2星體表面及其某一高度處的重力加速度的求法(1)設(shè)天體表面的重力加速度為g，天體半徑為R，則mgG，即g(或GMgR2)(2)若物體距星體表面高度為h，則重力mgG，即gg.【典例4】 (多選)假設(shè)航天員準(zhǔn)備登陸木星,為了更準(zhǔn)確了解木星的一些信息,到木星之前做一些科學(xué)實(shí)驗(yàn),當(dāng)?shù)竭_(dá)與木星表面相對靜止時(shí),航天員對木星表面發(fā)射一束激光,經(jīng)過時(shí)間t,收到激光傳回的信號(hào),測得相鄰兩次看到日出的時(shí)間間隔是T,測得航天員所在航天器的速度為v,已知引力常量G,激光的速度為c,則( )A.木星的質(zhì)量M=B.木星的質(zhì)量M=C.木星的質(zhì)量M=D.根據(jù)題目所給條件,可以求出木星的密度【即時(shí)訓(xùn)練7】 (2016海南卷,7)(多選)通過觀察冥王星的衛(wèi)星,可以推算出冥王星的質(zhì)量.假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng),除了引力常量外,至少還需要兩個(gè)物理量才能計(jì)算出冥王星的質(zhì)量,這兩個(gè)物理量可以是( )A.衛(wèi)星的速度和角速度B.衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑C.衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度D.衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑【即時(shí)訓(xùn)練9】(2017北京卷，17)利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))B人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期C月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離D地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽間的距離【解析】A能：根據(jù)Gmg可知，已知地球的半徑及重力加速度可計(jì)算出地球的質(zhì)量B能：根據(jù)G及v可知，已知人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期可計(jì)算出地球的質(zhì)量C能：根據(jù)Gmr可知，已知月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離，可計(jì)算出地球的質(zhì)量D不能：已知地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽間的距離只能求出太陽的質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量【答案】D三、鞏固訓(xùn)練1（多選）已知甲、乙兩行星的半徑之比為21，環(huán)繞甲、乙兩行星表面運(yùn)行的兩衛(wèi)星周期之比為41，則下列結(jié)論中正確的是()A甲、乙兩行星表面衛(wèi)星的動(dòng)能之比為14B甲、乙兩行星表面衛(wèi)星的角速度之比為14C甲、乙兩行星的質(zhì)量之比為12D甲、乙兩行星的第一宇宙速度之比為21【解析】由mr2得，v ，Ekmv2，T2 ，代入數(shù)據(jù)得M甲M乙12，甲乙14，v甲v乙12，衛(wèi)星質(zhì)量關(guān)系不知，不能比較動(dòng)能大小【答案】BC2（多選）2016年10月19日3時(shí)31分，神舟十一號(hào)載人飛船與天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室成功實(shí)現(xiàn)自動(dòng)交會(huì)對接，此時(shí)天宮二號(hào)繞地飛行一圈時(shí)間為92.5 min，而地球同步衛(wèi)星繞地球一圈時(shí)間為24 h，根據(jù)此兩組數(shù)據(jù)我們能求出的是()A天宮二號(hào)與地球同步衛(wèi)星受到的地球引力之比B天宮二號(hào)與地球同步衛(wèi)星的離地高度之比C天宮二號(hào)與地球同步衛(wèi)星的線速度之比D天宮二號(hào)與地球同步衛(wèi)星的加速度之比【解析】由F及mr2mma可知，T2 ，a，v，已知周期關(guān)系可確定半徑關(guān)系，進(jìn)而確定線速度關(guān)系，加速度關(guān)系，但由于不知天宮二號(hào)和同步衛(wèi)星的質(zhì)量關(guān)系，故所受地球引力關(guān)系不確定，地球半徑未知，所以離地高度關(guān)系不確定，C、D正確【答案】CD3（多選）已知地球的半徑為6.4106 m，地球自轉(zhuǎn)的角速度為7.27105rad/s，地球表面的重力加速度為9.8 m/s2，在地球表面發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度為7.9103 m/s，第三宇宙速度為16.7103 m/s，月地中心間距離為3.84108 m假設(shè)地球上有一顆蘋果樹長到月球那么高，則當(dāng)蘋果脫離蘋果樹后，請根據(jù)此時(shí)蘋果線速度的計(jì)算，判斷蘋果將不會(huì)()A落回地面B成為地球的“蘋果月亮”C成為地球的同步“蘋果衛(wèi)星”D飛向茫茫宇宙【解析】地球自轉(zhuǎn)的角速度為7.27105rad/s，月球到地球中心的距離為3.84108 m，地球上有一棵蘋果樹長到了接近月球那么高，根據(jù)vr得：蘋果的線速度為v2.8104 m/s，第三宇宙速度為16.7103 m/s，由于蘋果的線速度大于第三宇宙速度，所以蘋果脫離蘋果樹后，將脫離太陽系的束縛，飛向茫茫宇宙，故A、B、C正確【答案】ABC4隨著人類航天事業(yè)的進(jìn)步，太空探測越來越向深空發(fā)展，火星正在成為全球航天界的“寵兒”我國計(jì)劃于2020年發(fā)射火星探測器，一步實(shí)現(xiàn)繞、落、巡工程目標(biāo)假設(shè)某宇航員登上了火星，在其表面以初速度v豎直上拋一小球(小球僅受火星的引力作用)，小球上升的最大高度為h，火星的直徑為d，引力常量為G，則()A火星的第一宇宙速度為vB火星的密度為C火星的質(zhì)量為D火星的“近火衛(wèi)星”運(yùn)行周期為【解析】在火星表面豎直上拋的小球做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)火星表面的重力加速度為g，第一宇宙速度為v0，火星的自轉(zhuǎn)周期為T，則2ghv2，得g，在火星表面的物體的重力等于萬有引力，也是在火星表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，mgGm()2r，又r，Mr3，得：v0v，M，T，故選B.【答案】B5.(中心天體密度的求解)(2014全國卷,18)假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體.已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0,在赤道的大小為g;地球自轉(zhuǎn)的周期為T,引力常量為G.地球的密度為( )A. B.C. D.6.(估算問題)(2011全國新課標(biāo)卷,19)衛(wèi)星電話信號(hào)需要通過地球同步衛(wèi)星傳送.如果你與同學(xué)在地面上用衛(wèi)星電話通話,則從你發(fā)出信號(hào)至對方接收到信號(hào)所需最短時(shí)間最接近于(可能用到的數(shù)據(jù):月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑約為3.8105 km,運(yùn)行周期約為27天,地球半徑約為6 400 km,無線電信號(hào)的傳播速度為3108 m/s)( )A.0.1 s B.0.25 s C.0.5 s D.1 s