3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解極值的概念、理解極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(難點(diǎn))2.掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟，能熟練地求函數(shù)的極值(重點(diǎn))3.會(huì)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的值(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)f(x)滿足：(1)在xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值f(x)f(a)；(2)f(a)0；(3)在xa附近的左側(cè)f(x)<0，在xa附近的右側(cè)f(x)>0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值2極大值點(diǎn)與極大值若函數(shù)f(x)滿足： (1)在xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值f(x)f(b)；(2)f(b)0；(3)在xb附近的左側(cè)f(x)>0，在xb附近的右側(cè)f(x)<0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值思考：(1)區(qū)間a，b的端點(diǎn)a，b能作為極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)嗎？(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b內(nèi)存在一點(diǎn)c，滿足f(c)0，則xc是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)嗎？提示(1)不能，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)只能是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)(2)不一定，若在點(diǎn)c的左右兩側(cè)f(x)符號(hào)相同，則xc不是極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)，若在點(diǎn)c的左右兩側(cè)f(x)的符號(hào)不同，則xc是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)3極值的定義(1)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)(2)極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值4求函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0，當(dāng)f(x0)0時(shí)，(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，那么f(x0)是極大值. (2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，那么f(x0)是極小值基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)()(2)函數(shù)的極大值一定大于極小值()(3)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處，切線與x軸平行或重合()(4)函數(shù)f(x)有極值()答案(1)(2)(3)(4)2函數(shù)yx31的極大值是()A1B0C2D不存在Dy3x20，則函數(shù)yx31在R上是增函數(shù)，不存在極大值3若x2與x4是函數(shù)f(x)x3ax2bx的兩個(gè)極值點(diǎn)則有() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792153】Aa2，b4 Ba3，b24Ca1，b3 Da2，b4Bf(x)3x22axb，依題意有x2和x4是方程3x22axb0的兩個(gè)根，所以有24，24，解得a3，b24.合 作 探 究攻 重 難求函數(shù)的極值(1)已知函數(shù)f(x)ax3bx2c，其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖338所示，則函數(shù)f(x)的極小值是()圖338AabcB3a4bcC3a2b Dc(2)求下列函數(shù)的極值：f(x)x3x23x3；f(x)2.解析(1)由f(x)的圖象知，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)<0因此當(dāng)x0時(shí)，f(x)有極小值，且f(0)c，故選D.答案 D(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(x)x22x3.令f(x)0，得x3或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)極大值極小值6x1是f(x)的極大值點(diǎn)，x3是f(x)的極小值點(diǎn)，且f(x)極大值，f(x)極小值6.函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(x).令f(x)0，得x1或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)極小值3極大值1由表可以看出：當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值，且f(1)23；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)有極大值，且f(1)21.規(guī)律方法函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域. (2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符號(hào)，來(lái)判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況提醒：當(dāng)實(shí)數(shù)根較多時(shí)，要充分利用表格，使極值點(diǎn)的確定一目了然跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的極值(1)f(x)2x；(2)f(x)3ln x.解(1)因?yàn)閒(x)2x，所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|xR且x0，f(x)2，令f(x)0，得x12，x22.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2,0)(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極大值8極小值8因此，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極大值8；當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極小值8.(2)函數(shù)f(x)3ln x的定義域?yàn)?0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)極小值3因此，當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值3，無(wú)極大值.已知函數(shù)的極值求參數(shù)范圍(值)已知函數(shù)f(x)x33ax2bxa2在x1處有極值0，求a，b的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792154】思路探究f(x)在x1處有極值0有兩方面的含義：一方面x1為極值點(diǎn)，另一方面極值為0，由此可得f(1)0，f(1)0.解f(x)3x26axb且函數(shù)f(x)在x1處有極值0，即解得或當(dāng)a1，b3時(shí)，f(x)3x26x33(x1)20，此時(shí)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去當(dāng)a2，b9時(shí)，f(x)3x212x93(x1)(x3)當(dāng)x(，3)時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x(3，1)時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)故f(x)在x1處取得極小值a2，b9.規(guī)律方法已知函數(shù)的極值情況求參數(shù)時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)待定系數(shù)法：常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解(2)驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值為0不一定此點(diǎn)就是極值點(diǎn)，故利用上述方程組解出的解必須驗(yàn)證跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1時(shí)有極值10，則a，b的值為()Aa3，b3或a4，b11Ba4，b2或a4，b11Ca4，b11D以上都不對(duì)Cf(x)3x22axb.由題意知解得或當(dāng)a3，b3時(shí)，f(x)3(x1)20，不合題意，故a4，b11.(2)函數(shù)f(x)x3x2ax1有極值點(diǎn)，求a的取值范圍解f(x)x22xa，由題意，方程x22xa0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以44a>0，解得a<1.所以a的取值范圍為(，1)函數(shù)極值的綜合應(yīng)用探究問(wèn)題1如何畫(huà)三次函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)的大致圖象？提示：求出函數(shù)的極值點(diǎn)和極值，根據(jù)在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)的大致圖象2三次函數(shù)f(x)ax3bx2c(a0)的圖象和x軸一定有三個(gè)交點(diǎn)嗎？提示：不一定，三次函數(shù)的圖象和x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和函數(shù)極值的大小有關(guān)，可能有一個(gè)也可能有兩個(gè)或三個(gè)已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x33xa(1)求函數(shù)f(x)的極值，并畫(huà)出其圖象(草圖)(2)當(dāng)a為何值時(shí)，方程f(x)0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根思路探究(1)求出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)和極值，結(jié)合函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)的圖象(2)當(dāng)極大值或極小值恰好有一個(gè)為0時(shí)，方程f(x)0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根解(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23, 令f(x)0，得x1或x1.當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)<0.所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)a2；極大值為f(1)a2.由單調(diào)性、極值可畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示，(2)結(jié)合圖象，當(dāng)極大值a20時(shí)，有極小值小于0，此時(shí)曲線f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)0恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以a2滿足條件；當(dāng)極小值a20時(shí)，有極大值大于0，此時(shí)曲線f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以a2滿足條件綜上，當(dāng)a2時(shí)，方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根母題探究：1.本例中條件不變，試求當(dāng)a為何值時(shí)，方程f(x)0有三個(gè)不等實(shí)根解由例題解析知，當(dāng)即2<a<2時(shí)，方程f(x)0有三個(gè)不等實(shí)根2若本例條件改為：已知函數(shù)f(x)x36x5，xR.試求：(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值(2)若關(guān)于x的方程f(x)a有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因?yàn)楫?dāng)x>或x<時(shí)，f(x)>0；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)<0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)和(，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，)當(dāng)x時(shí)，f(x)有極大值54；當(dāng)x時(shí)，f(x)有極小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示所以，當(dāng)54<a<54時(shí)，直線ya與yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程f(x)a有三個(gè)不同的實(shí)根規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個(gè)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題提供了方便當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1下列四個(gè)函數(shù)中，能在x0處取得極值的是()yx3；yx21；ycos x1；y2x.ABC DB為單調(diào)函數(shù)，不存在極值2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖339所示，則函數(shù)f(x)()圖339A無(wú)極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)B有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)C有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)D有四個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)C當(dāng)f(x)的符號(hào)由正變負(fù)時(shí)，f(x)有極大值，當(dāng)f(x)的符號(hào)由負(fù)變正時(shí)，f(x)有極小值由函數(shù)圖象易知，函數(shù)有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)3函數(shù)y348xx3的極小值是_；極大值是_131125y3x2483(x4)(x4)，當(dāng)x(，4)(4，)時(shí)，y<0；當(dāng)x(4,4)時(shí)，y>0，x4時(shí)，y取到極小值131，x4時(shí)，y取到極大值125.4已知函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(，1)(2，)f(x)3x26ax3(a2)，函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值，方程f(x)0有兩個(gè)不相等的實(shí)根36a236(a2)0.即a2a20，解之得a2或a1.5已知函數(shù)f(x)ax2bln x在x1處有極值.(1)求a，b的值(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求極值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792155】解(1)因?yàn)閒(x)ax2bln x，所以f(x)2ax.又函數(shù)f(x)在x1處有極值.故即解得a，b1.(2)由(1)可知f(x)x2ln x.其定義域?yàn)?0，)且f(x)x.令f(x)0，則x1(舍去)或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)極小值所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)，且函數(shù)在定義域上只有極小值f(1)，無(wú)極大值