課時跟蹤訓(xùn)練(三十七) 基本不等式及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1若a，bR，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()Aa2b2>2ab Bab2C.> D.2解析a2b22ab(ab)20，A錯誤對于B，C，當(dāng)a<0，b<0時，明顯錯誤對于D，ab>0，22.答案D2(2017福建福州外國語學(xué)校期中)在下列各函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是()Ayx(x0)BycosxCy(xR)Dyex2(xR)解析對于A項，當(dāng)x<0時，yx2，故A錯；對于B項，因為0<x<，所以0<cosx<1，所以ycosx2中等號不成立，故B錯；對于C項，因為2，所以y2中等號也不能取到，故C錯；對于D項，因為ex>0，所以yex2222，當(dāng)且僅當(dāng)ex2，即xln2時等號成立故選D.答案D3(2017陜西咸陽質(zhì)檢)已知xy3，則2x2y的最小值是()A8 B6 C3 D4解析因為2x>0,2y>0，xy3，所以由基本不等式得2x2y224，當(dāng)且僅當(dāng)2x2y，即xy時等號成立，故選D.答案D4(2017湖南衡陽四校聯(lián)考)設(shè)x，y為正實數(shù)，且x2y1，則的最小值為()A22 B32C2 D3解析因為x，y為正實數(shù)，且x2y1，所以(x2y)33232，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時取等號所以的最小值為32.故選B.答案B5(2017江西九江一中期中)已知a>0，b>0，如果不等式恒成立，那么m的最大值等于()A10 B7 C8 D9解析不等式恒成立，即不等式m(2ab)恒成立，而(2ab)552 9，當(dāng)且僅當(dāng)ab時“”成立，所以m9，m的最大值等于9，故選D.答案D6(2015陜西卷)設(shè)f(x)lnx,0<a<b，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()Aqr<p Bpr<qCqr>p Dpr>q解析0<a<b，>，又f(x)lnx在(0，)上單調(diào)遞增，故f()<f，即q>p，r(f(a)f(b)(lnalnb)lnf()p，pr<q.故選B.答案B二、填空題7(2017山東卷)若直線1(a>0，b>0)過點(1,2)，則2ab的最小值為_解析直線1(a>0，b>0)過點(1,2)，1，2ab(2ab)22428(當(dāng)且僅當(dāng)b2a，即a2，b4時取等號)答案88設(shè)b>a>0，且ab1，則，2ab，a2b2，b四個數(shù)中最大的是_解析根據(jù)基本不等式知a2b2>2ab(b>a>0)，因為b>a>0，且ab1，所以b>>a.因為ba2b2b(ab)a2b2a(ba)>0，所以，2ab，a2b2，b四個數(shù)中最大的是b.答案b9(2017江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是_解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用設(shè)總費用為y萬元，則y64x4240.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x30時，等號成立答案30三、解答題10(1)已知a>0，b>0，c>0，且abc1，求證：9.(2)設(shè)a、b均為正實數(shù)，求證：ab2.證明(1)a>0，b>0，c>0，且abc1，3332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，取等號(2)2 ，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號又ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，ab2，當(dāng)且僅當(dāng)即ab時取等號能力提升11(2017河北保定一模)司機甲、乙加油習(xí)慣不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定錢數(shù)的油，恰有兩次甲、乙同時加同單價的油，但這兩次的油價不同，則從這兩次加油的均價角度分析()A甲合適 B乙合適C油價先高后低甲合適 D油價先低后高甲合適解析設(shè)甲每次加m升油，乙每次加n元錢的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升甲的平均單價為，乙的平均單價為，因為xy，所以>1，即乙的兩次平均單價低，乙的方式更合適，故選B.答案B12(2018貴州銅仁一中月考)若兩個正實數(shù)x，y滿足1，且不等式x<m23m有解，則實數(shù)m的取值范圍是()A(1,4)B(4,1)C(，1)(4，)D(，4)(1，)解析x2224.當(dāng)且僅當(dāng)，即y2x時等號成立，所以x最小值為4.因為x<m23m有解，所以m23m>4.解得m<1或m>4.故選C.答案C13已知正實數(shù)x，y滿足xy2xy4，則xy的最小值為_解析因為xy2xy4，所以x.由x>0，得2<y<4，又y>0, 則0<y<4，所以xyy(y2)323，當(dāng)且僅當(dāng)y2(0<y<4)，即y2時取等號答案2314(2017四川資陽期末)已知函數(shù)f(x)x33x(xR)，若不等式f(2mmt2)f(4t)<0對任意實數(shù)t1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析因為f(x)x33x(xR)，滿足f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)且f(x)在R上單調(diào)遞增因為不等式f(2mmt2)f(4t)<0對任意實數(shù)t1恒成立，則2mmt2<4t在t1時恒成立，分離參數(shù)得m<.因為t22(當(dāng)且僅當(dāng)t時取等號)，所以m<.答案(，)15(2017河北唐山一模)已知x，y(0，)，x2y2xy.(1)求的最小值(2)是否存在x，y滿足(x1)(y1)5？并說明理由解(1)因為2，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時，等號成立，所以的最小值為2.(2)不存在理由如下：因為x2y22xy，所以(xy)22(x2y2)2(xy)又x，y(0，)，所以xy2.從而有(x1)(y1)24，因此不存在x，y滿足(x1)(y1)5.16某品牌電腦體驗店預(yù)計全年可以銷售360臺電腦，已知該品牌電腦的進價為3000元/臺，為節(jié)約資金，經(jīng)理決定分批購入，若每批都購入x臺(x為正整數(shù))，則每批需付運費300元，儲存購入的電腦全年所付保管費與每批購入電腦的總價值(不含運費)成正比，且每批購入20臺時，全年需用去運費和保管費7800元(1)求全年所付運費和保管費之和y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若全年只有8000元資金可用于支付運費和保管費，則能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M貨的數(shù)量，使資金夠用？如果夠用，求出每批進貨的數(shù)量；如果不夠用，最少還需多少？解(1)設(shè)儲存購入的電腦全年所付保管費與每批購入電腦總價值的比例系數(shù)為k，則y300k(3000x)3000kx.又當(dāng)x20時，y7800，代入可得k0.04.故所求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y120x(xN*)(2)由(1)知，y120x(xN*)根據(jù)基本不等式可得，y120x2236007200，當(dāng)且僅當(dāng)120x，即x30時，等號成立故當(dāng)每批購入30臺時，支付的運費和保管費最低，為7200元，此時資金夠用延伸拓展(2017內(nèi)蒙古包頭二模)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項am，an使得 4a1，則的最小值為()A. B. C. D.解析解法一(常數(shù)代換法)：設(shè)數(shù)列an的公比為q(q>0)，由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，所以q2.因為4a1，所以qmn216，所以2mn224，所以mn6，所以(mn)(54)，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立所以的最小值為，故選A.解法二(拼湊法)：由解法一可得mn6，所以n6m，又m，n1，所以1m5.故.由基本不等式可得(m2)102102(當(dāng)且僅當(dāng)m2，即m2時等號成立)，易知(m2)10<0，所以.故選A.答案A