第2課時一元二次不等式的應用學習目標：1.掌握一元二次不等式的實際應用(重點).2.理解三個“二次”之間的關(guān)系.3.會解一元二次不等式中的恒成立問題(難點)自 主 預 習探 新 知1分式不等式的解法主導思想：化分式不等式為整式不等式類型同解不等式>0(<0)法一：或法二：f(x)g(x)>0(<0)0(0)法一：或法二：>a先移項轉(zhuǎn)化為上述兩種形式思考：>0與(x3)(x2)>0等價嗎？將>0變形為(x3)(x2)>0，有什么好處？提示等價；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不等式2(1)不等式的解集為R(或恒成立)的條件不等式ax2bxc>0ax2bxc<0a0b0，c>0b0，c<0a0(2)有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法f(x)a恒成立f(x)maxaf(x)a恒成立f(x)mina思考：x1>0在區(qū)間2,3上恒成立的幾何意義是什么？區(qū)間2,3與不等式x1>0的解集有什么關(guān)系？提示x1>0在區(qū)間2,3上恒成立的幾何意義是函數(shù)yx1在區(qū)間2,3上的圖象恒在x軸上方區(qū)間2,3內(nèi)的元素一定是不等式x1>0的解，反之不一定成立，故區(qū)間2,3是不等式x1>0的解集的子集3從實際問題中抽象出一元二次不等式模型的步驟：(1)閱讀理解，認真審題，分析題目中有哪些已知量和未知量，找準不等關(guān)系(2)設(shè)出起關(guān)鍵作用的未知量，用不等式表示不等關(guān)系(或表示成函數(shù)關(guān)系)(3)解不等式(或求函數(shù)最值)(4)回扣實際問題思考：解一元二次不等式應用題的關(guān)鍵是什么？提示解一元二次不等式應用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型，選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量為x，用x來表示其他未知量，根據(jù)題意，列出不等關(guān)系再求解基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)不等式>1的解集為x<1.()(2)求解m>f(x)恒成立時，可轉(zhuǎn)化為求解f(x)的最小值，從而求出m的范圍()答案(1)(2)提示：(1)>11>0<0x|0<x<1故(1)錯(2)m>f(x)恒成立轉(zhuǎn)化為m>f(x)max，(2)錯2不等式5的解集是_原不等式0解得0<x.3已知關(guān)于x的不等式x2ax2a>0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.【導學號：91432292】(0,8)因為x2ax2a>0在R上恒成立，所以a242a<0，所以0<a<8.4.在如圖321所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是_圖32110,30設(shè)矩形高為y，由三角形相似得：，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy300，整理得yx40，將y40x代入xy300，整理得x240x3000，解得10x30.合 作 探 究攻 重 難分式不等式的解法解下列不等式：(1)<0；(2)1.【導學號：91432293】解(1)<0(x3)(x2)<02<x<3，原不等式的解集為x|2<x<3(2)1，10，0，即0.此不等式等價于(x4)0且x0，解得x<或x4，原不等式的解集為.規(guī)律方法1對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零2對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解跟蹤訓練1解下列不等式：(1)0；(2)<3.解(1)根據(jù)商的符號法則，不等式0可轉(zhuǎn)化成不等式組解這個不等式組，可得x1或x>3.即知原不等式的解集為x|x1或x>3(2)不等式<3可改寫為3<0，即<0.可將這個不等式轉(zhuǎn)化成2(x1)(x1)<0，解得1<x<1.所以，原不等式的解集為x|1<x<1一元二次不等式的應用國家原計劃以2 400元/噸的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點，即8%)為了減輕農(nóng)民負擔，制定積極的收購政策根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個百分點，收購量能增加2x個百分點試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%.【導學號：91432294】思路探究：將文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言：“稅率降低x個百分點”即調(diào)節(jié)后稅率為(8x)%；“收購量能增加2x個百分點”，此時總收購量為m(12x%)噸，“原計劃的78%”即為2 400m8%78%.解設(shè)稅率調(diào)低后“稅收總收入”為y元y2 400m(12x%)(8x)%m(x242x400)(0<x8)依題意，得y2 400m8%78%，即m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得x242x880，解得44x2.根據(jù)x的實際意義，知0<x8，所以x的范圍為(0,2跟蹤訓練2某校園內(nèi)有一塊長為800 m，寬為600 m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍解設(shè)花卉帶的寬度為x m(0<x<600)，則中間草坪的長為(8002x)m，寬為(6002x)m.根據(jù)題意可得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x6001000，即(x600)(x100)0，所以0<x100或x600，x600不符合題意，舍去故所求花卉帶寬度的范圍為(0,100 m.不等式恒成立問題探究問題1若函數(shù)f(x)ax22x2對一切xR，f(x)>0恒成立，如何求實數(shù)a的取值范圍？提示：若a0，顯然f(x)>0不能對一切xR都成立所以a0，此時只有二次函數(shù)f(x)ax22x2的圖象與直角坐標系中的x軸無交點且拋物線開口向上時，才滿足題意，則解得a>.2若函數(shù)f(x)x2ax3對x3，1上恒有f(x)<0成立，如何求a的范圍？提示：要使f(x)<0在3，1上恒成立，則必使函數(shù)f(x)x2ax3在3，1上的圖象在x軸的下方，由f(x)的圖象可知，此時a應滿足即解得a<2.故當a(，2)時，有f(x)<0在x3，1時恒成立3若函數(shù)yx22(a2)x4對任意a3,1時，y<0恒成立，如何求x的取值范圍？提示：由于本題中已知a的取值范圍求x，所以我們可以把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量是a的函數(shù)，求參數(shù)x的取值問題，則令g(a)2xax24x4.要使對任意a3,1，y<0恒成立，只需滿足即因為x22x4<0的解集是空集，所以不存在實數(shù)x，使函數(shù)yx22(a2)x4對任意a3,1，y<0恒成立已知f(x)x2ax3a，若x2,2，f(x)0恒成立，求a的取值范圍.【導學號：91432295】思路探究：對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于零的問題，可以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解解設(shè)函數(shù)f(x)x2ax3a在x2,2時的最小值為g(a)，則(1)當對稱軸x<2，即a>4時，g(a)f(2)73a0，解得a，與a>4矛盾，不符合題意(2)當2,2，即4a4時，g(a)3a0，解得6a2，此時4a2.(3)當>2，即a<4時，g(a)f(2)7a0，解得a7，此時7a<4.綜上，a的取值范圍為7a2.母題探究：1.(變結(jié)論)本例條件不變，若f(x)2恒成立，求a的取值范圍解若x2,2，f(x)2恒成立可轉(zhuǎn)化為：當x2,2時，f(x)min2或或解得a的取值范圍為5，222(變條件)將例題中的條件“f(x)x2ax3a，x2,2，f(x)0恒成立”變?yōu)椤安坏仁絰22xa23>0的解集為R”求a的取值范圍解法一：不等式x22xa23>0的解集為R，函數(shù)f(x)x22xa23的圖象應在x軸上方，44(a23)<0，解得a>2或a<2.法二：令f(x)x22xa23，要使x22xa23>0的解集為R，則a滿足f(x)mina24>0，解得a>2或a<2.法三：由x22xa23>0，得a2>x22x3，即a2>(x1)24，要使該不等式在R上恒成立，必須使a2大于(x1)24的最大值，即a2>4，故a>2或a<2.規(guī)律方法1不等式ax2bxc>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a0時，b0，c>0；當a0時，2不等式ax2bxc<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a0時，b0，c<0；當a0時，3f(x)a恒成立af(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.當 堂 達 標固 雙 基1若集合Ax|12x13，B，則AB等于()Ax|1x<0Bx|0<x1Cx|0x<2 Dx|0x1BAx|1x1，Bx|0<x2，ABx|0<x12若集合Ax|ax2ax1<0，則實數(shù)a的取值集合是() 【導學號：91432296】Aa|0<a<4 Ba|0a<4Ca|0<a4 Da|0a4Da0時符合題意a>0時，相應二次方程中的a24a0，得a|0<a4，綜上，得a|0a4，故選D.3不等式>0的解集為_x|4<x<3或x>1原式可轉(zhuǎn)化為(x1)(x2)2(x3)(x4)>0，根據(jù)數(shù)軸穿根法，解集為4<x<3或x>1.4設(shè)x22xa80對于任意x(1,3)恒成立，則a的取值范圍是_.【導學號：91432297】(，5原不等式x22xa80轉(zhuǎn)化為ax22x8對任意x(1,3)恒成立，設(shè)f(x)x22x8，易知f(x)在1,3上的最小值為f(3)5.a(，55某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞為了使這批臺燈每天能獲得400元以上的銷售收入，應怎樣制定這批臺燈的銷售價格？解設(shè)每盞臺燈售價x元，則x15，并且日銷售收入為x302(x15)，由題意知，當x15時，有x302(x15)>400，解得：15x<20.所以為了使這批臺燈每天獲得400元以上的銷售收入，應當制定這批臺燈的銷售價格為x15,20)