2.2.1綜合法和分析法學習目標：1.理解綜合法、分析法的意義，掌握綜合法、分析法的思維特點(重點、易混點)2.會用綜合法、分析法解決問題(重點、難點)自 主 預(yù) 習探 新 知1綜合法定義推證過程特點利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法(P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論)順推證法或由因?qū)Ч?分析法定義框圖表示特點一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止這種證明方法叫做分析法逆推證法或執(zhí)果索因法思考1：綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？提示綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，因為綜合法與分析法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理，從而得到的每一個結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”思考2: 綜合法與分析法有什么區(qū)別？提示綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч?；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法()(2)分析法就是從結(jié)論推向已知()(3)所有證明的題目均可使用分析法證明()答案(1)(2)(3) 2命題“對于任意角，cos4 sin4 cos 2 ”的證明：“cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 )cos2 sin2 cos 2 ”，其過程應(yīng)用了()A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合使用D間接證法B從證明過程來看，是從已知條件入手，經(jīng)過推導(dǎo)得出結(jié)論，符合綜合法的證明思路3要證明AB，若用作差比較法，只要證明_解析要證AB，只要證AB0. 答案AB04將下面用分析法證明ab的步驟補充完整：要證ab，只需證a2b22ab，也就是證_，即證_，由于_顯然成立，因此原不等式成立. 【導(dǎo)學號：31062143】解析用分析法證明ab的步驟為：要證ab成立，只需證a2b22ab，也就是證a2b22ab0，即證(ab)20.由于(ab)20顯然成立，所以原不等式成立答案a2b22ab0(ab)20(ab)20合 作 探 究攻 重 難綜合法的應(yīng)用(1)已知a，b是正數(shù)，且ab1，證明：4.(2)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.求證：A的大小為；若sin Bsin C，證明ABC為等邊三角形解(1)法一：a，b是正數(shù)且ab1，ab2，4.法二：a，b是正數(shù)，ab2>0，2>0，(ab)4.又ab1，4.法三：11224.當且僅當ab時，取“”號(2)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，所以cos A，所以A.因為ABC180，所以BC18060120，由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin B(sin 120cos Bcos 120sin B)，sin Bcos B，即sin(B30)1.因為0B120，所以30B30150，所以B3090，B60，所以ABC60，即ABC為等邊三角形規(guī)律方法綜合法的解題步驟跟蹤訓(xùn)練1.如圖221，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(1)證明：CDAE；(2)證明：PD平面ABE.圖221證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點，AEPC.由(1)知，AECD，又PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD.又ABAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.分析法的應(yīng)用設(shè)a，b為實數(shù)，求證： (ab). 【導(dǎo)學號：31062144】證明當ab0時，0，(ab)成立當ab0時，用分析法證明如下：要證(ab)，只需證()22.即證a2b2(a2b22ab)，即證a2b22ab.a2b22ab對一切實數(shù)恒成立，(ab)成立綜上所述，不等式得證規(guī)律方法用分析法證明不等式的三個關(guān)注點(1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、基本不等式、已知的重要不等式等.(2)分析法是綜合法的逆過程，即從“未知”“看”“需知” ，執(zhí)果索因，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件或充要條件.(3)分析法為逆推證明，因此在使用時要注意邏輯性與規(guī)范性，其格式一般為“要證，只要證.只需證，顯然成立，所以成立”.跟蹤訓(xùn)練3已知a，b是正實數(shù)，求證：.證明要證，只要證ab()即證(ab)()()，因為a，b是正實數(shù)，即證ab，也就是要證ab2，即()20.而該式顯然成立，所以.綜合法和分析法的綜合應(yīng)用探究問題1在實際解題時，綜合法與分析法能否可以結(jié)合起來使用？提示：在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程2你會用框圖表示綜合法與分析法交叉使用時的解題思路？提示：用框圖表示如下：其中P表示已知條件、定義、定理、公理等，Q表示要證明的結(jié)論已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0<x<1.求證：logxlogxlogx<logxalogxblogxc.思路探究解答本題的關(guān)鍵是利用對數(shù)運算法則和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化成整式不等式證明解要證明：logxlogxlogx<logxalogxblogxc，只需要證明logx<logx(abc)由已知0<x<1，只需證明>abc.由公式>0，>0，>0，又a，b，c是不全相等的正數(shù)，>abc.即>abc成立logxlogxlogx<logxalogxblogxc成立母題探究：1.(變條件)刪掉本例條件“0<x<1”，求證：lglglglg alg blg c.證明要證lglglglg alg blg c，只需證lglg(abc)，即證abc.因為a，b，c為不全相等的正數(shù)，所以0，0，0，且上述三式中等號不能同時成立，所以abc成立，所以lglglglg alg blg c成立2(變條件)把本例條件“0<x<1”換成“abc1”，求證： .證明法一：由左式推證右式abc1，且a，b，c為互不相等的正數(shù)，bcacab.法二：由右式推證左式a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc1，(基本不等式) .規(guī)律方法分析綜合法的解題思路分析綜合法的解題思路是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P；若由P可推出Q，即可得證. 當 堂 達 標固 雙 基1欲證<成立，只需證() 【導(dǎo)學號：31062145】A()2<()2B()2<()2C()2<()2D()2<()2C<0，<0，故<<()2<()2.2在ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，則ABC一定是()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形 D等邊三角形C由sin Asin B<cos Acos B得cos(AB)cos C>0，所以cos C<0, 即ABC一定是鈍角三角形3如果abab，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是_. 【導(dǎo)學號：31062146】解析ababaabba()b()(ab)()0()()20，只需ab且a，b都不小于零即可答案ab且a0，b04設(shè)a0，b0，c0，若abc1，則的最小值為_解析因為abc1，且a0，b0，c0，所以33222369.當且僅當abc時等號成立答案95設(shè)ab>0，求證：3a32b33a2b2ab2.(請用分析法和綜合法兩種方法證明)證明法一：(綜合法)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因為ab>0，所以ab0,3a22b2>0，從而(3a22b2)(ab)0，所以3a32b33a2b2ab2.法二：(分析法)要證3a32b33a2b2ab2，只需證3a2(ab)2b2(ab)0，只需證(3a22b2)(ab)0，ab>0.ab0,3a22b2>2a22b20，上式成立