2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值(重點(diǎn))2.掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值(重點(diǎn))3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問題(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(2)意義：它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(3)性質(zhì)：如果X為(離散型)隨機(jī)變量，則YaXb(其中a，b為常數(shù))也是隨機(jī)變量，且P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n.E(Y)E(aXb)aE(X)b.2兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布的均值(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p；(2)若XB(n，p)，則E(X)np.3隨機(jī)變量的均值與樣本平均值的關(guān)系隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本的平均值是一個(gè)隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而變化對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的平均值越來越接近于總體的均值基礎(chǔ)自測(cè)1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化；()(2)隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平；()(3)若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)2，則E(2X)4；()(4)隨機(jī)變量X的均值E(X).()解析(1)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)常量，是隨機(jī)變量X本身固有的一個(gè)數(shù)字特征(2)隨機(jī)變量的均值反映隨機(jī)變量取值的平均水平(3)由均值的性質(zhì)可知(4)因?yàn)镋(X)x1p1x2p2xnpn.答案(1)(2)(3)(4)2若隨機(jī)變量X的分布列為X101p則E(X)()A0B1C DCE(X)ipi(1)01.3設(shè)E(X)10，則E(3X5)_.35E(3X5)3E(X)5310535.4若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B，則E(X)的值為_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032178】E(X)np4.合 作 探 究攻 重 難求離散型隨機(jī)變量的均值某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值解X的取值分別為1,2,3,4.X1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P(X1)0.6.X2，表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，故P(X2)(10.6)0.70.28.X3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故P(X3)(10.6)(10.7)0.80.096.X4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，故P(X4)(10.6)(10.7)(10.8)0.024.所以李明實(shí)際參加考試次數(shù)X的分布列為Xk1234P(Xk)0.60.280.0960.024所以X的均值為E(X)10.620.2830.09640.0241.544.規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量X的均值步驟(1)理解X的實(shí)際意義，并寫出X的全部取值(2)求出X取每個(gè)值的概率(3)寫出X的分布列(有時(shí)也可省略)(4)利用定義公式E(X)x1p1x2p2xnpn求出均值其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過程中要注重運(yùn)用概率的相關(guān)知識(shí)跟蹤訓(xùn)練1盒中裝有5節(jié)同牌號(hào)的五號(hào)電池，其中混有兩節(jié)廢電池現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值解X可取的值為1,2,3，則P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次數(shù)X的分布列為X123PE(X)123.離散型隨機(jī)變量的均值公式及性質(zhì)已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X21012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y2X3，求E(Y). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032179】解(1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得m1，解得m.(2)E(X)(2)(1)012.(3)法一：(公式法)由公式E(aXb)aE(X)b，得E(Y)E(2X3)2E(X)323.法二：(直接法)由于Y2X3，所以Y的分布列如下：Y75311P所以E(Y)(7)(5)(3)(1)1.規(guī)律方法1該類題目屬于已知離散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)x1p1x2p2xnpn求解2對(duì)于aXb型的隨機(jī)變量，可利用均值的性質(zhì)求解，即E(aXb)aE(X)b；也可以先列出aXb的分布列，再用均值公式求解，比較兩種方式顯然前者較方便跟蹤訓(xùn)練2已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P且YaX3，若E(Y)2，則a的值為_3E(X)123.YaX3，E(Y)aE(X)3a32.解得a3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p0.6.(1)求投籃1次時(shí)命中次數(shù)X的均值；(2)求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)Y的均值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032180】思路探究(1)利用兩點(diǎn)分布求解(2)利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式求解解(1)投籃1次，命中次數(shù)X的分布列如下表：X01P0.40.6則E(X)0.6.(2)由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即YB(5,0.6)，則E(Y)np50.63.母題探究：1.(變換條件)求重復(fù)10次投籃時(shí)，命中次數(shù)的均值解E()100.66.2(改變問法)重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)為Y，命中一次得3分，求5次投籃得分的均值解設(shè)投籃得分為變量，則3Y.所以E()E(3Y)3E(Y)339.規(guī)律方法1常見的兩種分布的均值設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率，則(1)兩點(diǎn)分布E(X)p；(2)二項(xiàng)分布E(X)np.熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運(yùn)算量，提高解題速度2兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布辨析(1)相同點(diǎn)：一次試驗(yàn)中要么發(fā)生要么不發(fā)生(2)不同點(diǎn)：隨機(jī)變量的取值不同，兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量的取值為0,1，二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量的取值x0,1,2，n.試驗(yàn)次數(shù)不同，兩點(diǎn)分布一般只有一次試驗(yàn)；二項(xiàng)分布則進(jìn)行n次試驗(yàn)離散型隨機(jī)變量均值的實(shí)際應(yīng)用探究問題1某籃球明星罰球命中率為0.7，罰球命中得1分，不中得0分，則他罰球一次的得分X可以取哪些值？X取每個(gè)值時(shí)的概率是多少？提示隨機(jī)變量X可能取值為0,1.X取每個(gè)值的概率分別為P(X0)0.3，P(X1)0.7.2在探究1中，若該球星在一場(chǎng)比賽中共罰球10次，命中8次，那么他平均每次罰球得分是多少？提示每次平均得分為0.8.3在探究1中，你能求出在他參加的各場(chǎng)比賽中，罰球一次得分大約是多少嗎？為什么？提示在球星的各場(chǎng)比賽中，罰球一次的得分大約為00.310.70.7(分)因?yàn)樵谠撉蛐菂⒓痈鲌?chǎng)比賽中平均罰球一次的得分只能用隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望來描述他總體得分的平均水平具體到每一場(chǎng)比賽罰球一次的平均得分應(yīng)該是非常接近X的均值的一個(gè)分?jǐn)?shù)隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即X的均值)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032181】思路探究 解(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列為：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)依題意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多為3%.規(guī)律方法1實(shí)際問題中的均值問題均值在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如對(duì)體育比賽的成績(jī)預(yù)測(cè)，消費(fèi)預(yù)測(cè)，工程方案的預(yù)測(cè)，產(chǎn)品合格率的預(yù)測(cè)，投資收益的預(yù)測(cè)等方面，都可以通過隨機(jī)變量的均值來進(jìn)行估計(jì)2概率模型的三個(gè)解答步驟(1)審題，確定實(shí)際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值(3)對(duì)照實(shí)際意義，回答概率，均值等所表示的結(jié)論跟蹤訓(xùn)練3在一次射擊比賽中，戰(zhàn)士甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4,0.1,0.5；戰(zhàn)士乙得1分、2分、3分的概率分別為0.1,0.6,0.3，那么兩名戰(zhàn)士獲勝希望較大的是誰？解設(shè)這次射擊比賽戰(zhàn)士甲得X1分，戰(zhàn)士乙得X2分，則分布列分別如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3根據(jù)均值公式得E(X1)10.420.130.52.1；E(X2)10.120.630.32.2；因?yàn)镋(X2)E(X1)，故這次射擊比賽戰(zhàn)士乙得分的均值較大，所以戰(zhàn)士乙獲勝的希望較大當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1若隨機(jī)變量XB(5,0.8)，則E(X)()A0.8B4C5 D3BE(X)np50.84.故選B.2設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)，k1,2,3,4，則E(X)的值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032182】A2.5 B3.5C0.25 D2AE(X)12342.5.3袋中裝有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取1個(gè)球，記下顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X是取得紅球的次數(shù)， 則E(X)_.每一次摸得紅球的概率為，由XB，則E(X)4.4已知XB，則E(2X3)_.103E(X)10050，E(2X3)2E(X)3103.5袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，每取到1個(gè)黑球記0分，每取到1個(gè)白球記1分，每取到1個(gè)紅球記2分，用X表示取得的分?jǐn)?shù)求：(1)X的分布列；(2)X的均值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032183】解(1)由題意知，X可能取值為0,1,2,3,4.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列為X01234P(2)E(X)01234.