2.1.1數(shù)列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項.3.對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的一個通項公式知識點一數(shù)列及其有關(guān)概念1按照一定次序排列起來的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，各項依次叫做這個數(shù)列的第1項(或首項)，第2項，第n項，.2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，簡記為an思考數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個數(shù)列嗎？答案不是順序不一樣知識點二通項公式如果數(shù)列的第n項an與序號n之間的關(guān)系可以用一個函數(shù)式anf(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式不是所有數(shù)列都能寫出通項公式，若數(shù)列有通項公式，通項公式表達式不一定唯一知識點三數(shù)列的分類1按項數(shù)分類：項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列2按項的大小變化分類：從第二項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第二項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列11,1,1,1是一個數(shù)列()2數(shù)列1,3,5,7，的第10項是21.()3每一個數(shù)列都有通項公式()4如果一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列()題型一數(shù)列的分類例1下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()A1，B1，2，3，4，C1，D1，答案C解析A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意反思感悟判斷數(shù)列的單調(diào)性時一定要確保每一項均大于(或均小于)后一項，不能有例外跟蹤訓(xùn)練1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是擺動數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)2010,2012,2014,2016,2018；(2)0，；(3)1，；(4)，；(5)1,0，1，sin，；(6)9,9,9,9,9,9.解(1)(6)是有窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(4)(5)是擺動數(shù)列；(6)是常數(shù)列題型二由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式例2寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：(1)1，；(2)，2，8；(3)9,99,999,9999.解(1)這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，所以它的一個通項公式為an，nN.(2)數(shù)列中的項，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，所以它的一個通項公式為an，nN.(3)各項加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的一個通項公式為an10n1，nN.反思感悟要由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，只需觀察分析數(shù)列中項的構(gòu)成規(guī)律，看哪些部分不隨序號的變化而變化，哪些部分隨序號的變化而變化，確定變化部分隨序號變化的規(guī)律，繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系跟蹤訓(xùn)練2寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：(1)，；(2)，；(3)7,77,777,7777.解(1)這個數(shù)列前4項的分母都是序號數(shù)乘以比序號數(shù)大1的數(shù)，并且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式為an，nN.(2)這個數(shù)列的前4項的分母都是比序號大1的數(shù)，分子都是比序號大1的數(shù)的平方減1，所以它的一個通項公式為an，nN.(3)這個數(shù)列的前4項可以變?yōu)?，99，999，9999，即(101)，(1001)，(10001)，(100001)，即(101)，(1021)，(1031)，(1041)，所以它的一個通項公式為an(10n1)，nN.題型三數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用例3(1)已知數(shù)列，那么0.94,0.96，0.98，0.99中是該數(shù)列中某一項值的數(shù)應(yīng)當(dāng)有()A1個B2個C3個D4個答案C解析數(shù)列，的通項公式為an，0.94，0.96，0.98，0.99，都在數(shù)列中，故有3個(2)已知數(shù)列an的通項公式為an2n210n4.問當(dāng)n為何值時，an取得最小值？并求出最小值解an2n210n422，當(dāng)n2或3時，an取得最小值，其最小值為a2a38.反思感悟(1)判斷某數(shù)是不是該數(shù)列的項，相當(dāng)于已知y求x，若求出的x是正整數(shù)，則y是該數(shù)列的項，否則不是(2)利用函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性與最值跟蹤訓(xùn)練3(1)已知數(shù)列an的通項公式為an(nN)，那么是這個數(shù)列的第_項答案10解析，n(n2)1012，n10.(2)已知數(shù)列an中，ann225n(nN)，則數(shù)列an的最大項是第_項答案12或13解析an22是關(guān)于n的二次函數(shù)，又nN，當(dāng)n12或n13時，an最大歸納法求數(shù)列的通項公式典例觀察圖中5個圖形的相應(yīng)小圓圈的個數(shù)的變化規(guī)律，猜想第n個圖中有_小圓圈答案n2n1解析觀察圖中5個圖形小圓圈的個數(shù)分別為1,121,231,341,451.故第n個圖中小圓圈的個數(shù)為(n1)n1n2n1.素養(yǎng)評析歸納是邏輯推理的一類，可以發(fā)現(xiàn)新命題本例完美詮釋了“觀察現(xiàn)象，歸納規(guī)律，大膽猜想，小心求證”這一認(rèn)識發(fā)展規(guī)律1下列敘述正確的是()A數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列B數(shù)列0,1,2,3，可以表示為nC數(shù)列0,1,0,1，是常數(shù)列D數(shù)列是遞增數(shù)列答案D解析由數(shù)列的通項an知，an1an>0，即數(shù)列是遞增數(shù)列，故選D.2數(shù)列2,3,4,5，的一個通項公式為()Aann，nNBann1，nNCann2，nNDan2n，nN答案B解析這個數(shù)列的前4項都比序號大1，所以，它的一個通項公式為ann1，nN.3數(shù)列an中，an2n23，nN，則125是這個數(shù)列的第_項答案8解析令2n23125，解得n8(n8舍去)所以125是該數(shù)列的第8項4已知數(shù)列an的通項公式an，nN，則a1_；an1_.答案1解析a11，an1.5寫出數(shù)列：1，3,5，7,9，的一個通項公式解該數(shù)列的通項公式為an(1)n+1(2n1)，nN.1與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項也有三個性質(zhì)(1)確定性：一個數(shù)在不在數(shù)列中，即一個數(shù)是不是數(shù)列中的項是確定的(2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)(3)有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且也與這些數(shù)的排列次序有關(guān)2并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式例如，的不同近似值，依據(jù)精確的程度可形成一個數(shù)列3,3.1，3.14，3.141，它沒有通項公式根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項的變化特征；(3)拆項后的特征；(4)各項的符號特征和絕對值特征并對此進行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納3如果一個數(shù)列有通項公式，則它的通項公式可以有多種形式一、選擇題1已知數(shù)列an的通項公式為an，nN，則該數(shù)列的前4項依次為()A1,0,1,0B0,1,0,1C,0,0D2,0,2,0答案A解析當(dāng)n分別等于1,2,3,4時，a11，a20，a31，a40.2已知數(shù)列an的通項公式為ann2n50，nN，則8是該數(shù)列的()A第5項B第6項C第7項D非任何一項答案C解析解n2n508，得n7或n6(舍去)3數(shù)列1,3,6,10，的一個通項公式是()Aann2n1BanCanDann21答案C解析令n1,2,3,4，代入A，B，C，D檢驗，即可排除A，B，D，故選C.4數(shù)列，的第10項是()A.B.C.D.答案C解析由數(shù)列的前4項可知，數(shù)列的一個通項公式為an，nN，當(dāng)n10時，a10.5已知an1an30，nN，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列D不能確定答案A解析an1an3an，nN，即該數(shù)列每一項均小于后一項，故數(shù)列an是遞增數(shù)列6設(shè)an(nN)，那么an1an等于()A.B.C.D.答案D解析an，an1，an1an.7數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333，的一個通項公式an等于()A.(10n1) B.(10n1)C.D.(10n1)答案C解析代入n1檢驗，排除A，B，D，故選C.8如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，OAn，的長度構(gòu)成數(shù)列an，則此數(shù)列的通項公式為()Aann，nNBan，nNCan，nNDann2，nN答案C解析OA11，OA2，OA3，OAn，a11，a2，a3，an，.二、填空題9觀察數(shù)列的特點，用一個適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：1，_，.答案3解析由于數(shù)列的前幾項中根號下的數(shù)都是由小到大的奇數(shù)，所以需要填空的數(shù)為3.10數(shù)列3,5,9,17,33，的一個通項公式是_答案an2n1，nN11323是數(shù)列n(n2)的第_項答案17解析由ann22n323，解得n17(負(fù)值舍去)323是數(shù)列n(n2)的第17項三、解答題12在數(shù)列an中，a12，a1766，通項公式an是n的一次函數(shù)(1)求an的通項公式；(2)判斷88是不是數(shù)列an中的項？解(1)設(shè)anknb，k0.則解得an4n2，nN.(2)令an88，即4n288，解得n22.5N.88不是數(shù)列an中的項13在數(shù)列an中，ann(n8)20，nN，請回答下列問題：(1)這個數(shù)列共有幾項為負(fù)？(2)這個數(shù)列從第幾項開始遞增？(3)這個數(shù)列中有無最小值？若有，求出最小值；若無，請說明理由解(1)因為ann(n8)20(n2)(n10)，所以當(dāng)0<n<10，nN時，an<0，所以數(shù)列an共有9項為負(fù)(2)因為an1an2n7，所以當(dāng)an1an>0時，n>，故數(shù)列an從第4項開始遞增(3)ann(n8)20(n4)236，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)n4時，an取得最小值36，即這個數(shù)列有最小值，最小值為36.14已知數(shù)列an的通項公式是an(nN)，則a3_.答案解析a32-3，a4，a3.15已知數(shù)列，nN.(1)求證：該數(shù)列是遞增數(shù)列；(2)在區(qū)間內(nèi)有無數(shù)列中的項？若有，有幾項；若沒有，請說明理由(1)證明an1，an1an0，nN，an是遞增數(shù)列(2)解令<an<，<n<，當(dāng)且僅當(dāng)n2時，上式成立，故區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項，且只有一項為a2.