圓錐曲線中的綜合問題一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 已知F為拋物線y2=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，OAOB=2(其中O為坐標原點)，則ABO與AFO面積之和的最小值是( )A. 2 B. 3 C. 1728 D. 10（正確答案）B解：設直線AB的方程為：x=ty+m，點A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB與x軸的交點為M(m,0)，由y2=xx=ty+my2-ty-m=0，根據(jù)韋達定理有y1y2=-m，OAOB=2，x1x2+y1y2=2，結(jié)合y12=x1及y22=x2，得(y1y2)2+y1y2-2=0，點A，B位于x軸的兩側(cè)，y1y2=-2，故m=2不妨令點A在x軸上方，則y1>0，又F(14,0)，SABO+SAFO122(y1-y2)+1214y1，=98y1+2y1298y12y1=3當且僅當98y1=2y1，即y1=43時，取“=”號，ABO與AFO面積之和的最小值是3，故選B可先設直線方程和點的坐標，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達定理及OAOB=2消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題求解本題時，應考慮以下幾個要點：1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式2、求三角形面積時，為使面積的表達式簡單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當?shù)牡着c高3、利用基本不等式時，應注意“一正，二定，三相等”2. 已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點，若|AF|+|BF|=4，點M到直線l的距離不小于45，則橢圓E的離心率的取值范圍是( )A. (0,32 B. (0,34 C. 32,1) D. 34,1)（正確答案）A解：如圖所示，設F為橢圓的左焦點，連接AF，BF，則四邊形AFBF是平行四邊形，4=|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a，a=2取M(0,b)，點M到直線l的距離不小于45，|4b|32+4245，解得b1e=ca=1-b2a21-122=32橢圓E的離心率的取值范圍是(0,32故選：A如圖所示，設F為橢圓的左焦點，連接AF，BF，則四邊形AFBF是平行四邊形，可得4=|AF|+|BF|=|AF|+|BF|=2a.取M(0,b)，由點M到直線l的距離不小于45，可得|4b|32+4245，解得b1.再利用離心率計算公式e=ca=1-b2a2即可得出本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、點到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題3. 已知點P(-22,0)是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點，過點P作圓O：x2+y2=4的切線，切點為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點F，則a2+b2的值是( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 15（正確答案）C解：由題意，a=22過點P作圓O：x2+y2=4的切線，切點為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點F，APO=45，F(xiàn)(-2,0)，c=2，b2=8-2=6，a2+b2=8+6=14，故選C由題意，a=22.過點P作圓O：x2+y2=4的切線，切點為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點F，可得F(-2,0)，即可求出a2+b2的值本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題4. 已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，經(jīng)過F且斜率為3的直線與拋物線在x軸上方的部分交于A點，AKl，垂足為K，則AKF的面積為( )A. 4 B. 3 C. 43 D. 8（正確答案）C解：由拋物線的定義可得AF=AK，則AF的斜率等于3，AF的傾斜角等于60，AKl，F(xiàn)AK=60，故AKF為等邊三角形又焦點F(1,0)，AF的方程為y-0=3(x-1)，設A(m,3m-3)，m>1，由AF=AK得(m-1)2+(3m-3)2=m+1，m=3，故等邊三角形AKF的邊長AK=m+1=4，AKF的面積是1244sin60=43，故選：C先判斷AKF為等邊三角形，求出A的坐標，可求出等邊AKF的邊長AK=m+1的值，AKF的面積可求本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用，判斷AKF為等邊三角形是解題的關鍵5. 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線y23-x2=1相交于M，N兩點，若MNF為直角三角形，其中F為直角頂點，則p=( )A. 23 B. 3 C. 33 D. 6（正確答案）A【分析】本題考查拋物線的定義及拋物線的幾何性質(zhì)，雙曲線方程的應用，考查計算能力【解答】解：由題設知拋物線y2=2px的準線為x=-p2，代入雙曲線方程y23-x2=1解得 y=3+3p24，由雙曲線的對稱性知MNF為等腰直角三角形，F(xiàn)MN=4，tanFMN=p3+3p24=1，p2=3+3p24，即p=23，故選A6. 若拋物線y2=2px上恒有關于直線x+y-1=0對稱的兩點A，B，則p的取值范圍是( )A. (-23,0) B. (0,32)C. (0,23) D. (-,0)(23,+)（正確答案）C解：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，因為點A和B在拋物線上，所以有y12=2px1 y22=2px2 -得，y12-y22=2p(x1-x2)整理得y1-y2x1-x2=2py1+y2，因為A，B關于直線x+y-1=0對稱，所以kAB=1，即2py1+y2=1所以y1+y2=2p設AB的中點為M(x0,y0)，則y0=y1+y22=2p2=p又M在直線x+y-1=0上，所以x0=1-y0=1-p則M(1-p,p)因為M在拋物線內(nèi)部，所以y02-2px0<0即p2-2p(1-p)<0，解得0<p<23所以p的取值范圍是(0,23). 故選C設出A，B兩點的坐標，因為A，B在拋物線上，把兩點的坐標代入拋物線方程，作差后求出AB中點的縱坐標，又AB的中點在直線x+y-1=0上，代入后求其橫坐標，然后由AB中點在拋物線內(nèi)部列不等式求得實數(shù)p的取值范圍本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查了點差法，是解決與弦中點有關問題的常用方法，解答的關鍵是由AB中點在拋物線內(nèi)部得到關于p的不等式，是中檔題7. 已知點M(1,0)，A，B是橢圓x24+y2=1上的動點，且MAMB=0，則MABA的取值是( )A. 23,1 B. 1,9 C. 23,9 D. 63,3（正確答案）C解：MAMB=0，可得MABA=MA(MA-MB)=MA2，設A(2cos,sin)，則MA2=(2cos-1)2+sin2=3cos2-4cos+2=3(cos-23)2+23，cos=23時，MA2的最小值為23；cos=-1時，MA2的最大值為9，故選：C利用MAMB=0，可得MABA=MA(MA-MB)=MA2，設A(2cos,sin)，可得MA2=(2cos-1)2+sin2，即可求解數(shù)量積的取值范圍本題考查橢圓方程，考查向量的數(shù)量積運算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題8. 過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B、C.若AB=12BC，則雙曲線的離心率是( )A. 2 B. 3 C. 5 D. 10（正確答案）C解：直線l：y=-x+a與漸近線l1：bx-ay=0交于B(a2a+b,aba+b)，l與漸近線l2：bx+ay=0交于C(a2a-b,-aba-b)，A(a,0)，AB=(-aba+b,aba+b)，BC=(2a2ba2-b2,-2a2ba2-b2)，AB=12BC，-aba+b=a2ba2-b2，b=2a，c2-a2=4a2，e2=c2a2=5，e=5，故選C分別表示出直線l和兩個漸近線的交點，進而表示出AB和BC，進而根據(jù)AB=12BC求得a和b的關系，進而根據(jù)c2-a2=b2，求得a和c的關系，則離心率可得本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.要求學生有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的運用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識的運用9. 如圖F1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2-y28=1與橢圓C2的公共焦點，點A是C1，C2在第一象限內(nèi)的公共點，若|F1F2|=|F1A|，則C2的離心率是( )A. 23 B. 45 C. 35 D. 25（正確答案）C解：由題意F1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2-y28=1與橢圓C2的公共焦點可知，|F1F2|=|F1A|=6，|F1A|-|F2A|=2，|F2A|=4，|F1A|+|F2A|=10，2a=10，C2的離心率是610=35故選：C利用橢圓以及雙曲線的定義，轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力10. 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與拋物線y2=43x的準線相交于A、B兩點，雙曲線的一條漸近線方程為y=2x，點F是拋物線的焦點，且FAB是正三角形，則雙曲線C的方程為( )A. x22-y2=1 B. x2-y22=1 C. x24-y22=1 D. x22-y24=1（正確答案）B解：拋物線y2=43x的焦點為F(3,0)，其準線方程為x=-3，F(xiàn)AB為正三角形，|AB|=4，將(-3,2)代入雙曲線x2a2-y2b2=1可得3a2-4b2=1，雙曲線的一條漸近線方程是y=2x，ba=2，a=1，b=2，雙曲線C2的方程為x2-y22=1故選：B拋物線y2=43x的焦點為F(3,0)，其準線方程為x=-3，利用FAB為正三角形，可得A的坐標，代入雙曲線的方程，可得a，b的方程，利用雙曲線的一條漸近線方程是y=2x，可得a，b的方程，從而可得a，b的值，即可求出雙曲線的方程本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學生的計算能力，正確運用拋物線、雙曲線的性質(zhì)是關鍵11. 拋物線C1：y2=4x的焦點F是雙曲線C2：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點，點P為曲線C1，C2的公共點，點M在拋物線C1的準線上，F(xiàn)PM為以點P為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線C2的離心率為( )A. 3+22 B. 210-3 C. 2+1 D. 210+3（正確答案）C解：拋物線C1：y2=4x的焦點F是雙曲線C2：x2a2-y2b2=1(a>b>0)的右焦點，F(xiàn)(1,0)，|PF|=2=|PM|，則P(1,2)，P在雙曲線上，滿足：1a2-4b2=1a2+b2=c2=1，解得a2=3-22，b2=22-2，所求雙曲線的離心率為：e=13-22=2+1故選：C求出拋物線以及雙曲線的焦點坐標，利用已知條件推出P的坐標，代入雙曲線方程，然后求解a、c，即可求解雙曲線的離心率即可本題考查拋物線以及雙曲線的簡單性質(zhì)的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力12. 已知P是雙曲線x23-y2=1上任意一點，過點P分別作曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B，則PAPB的值是( )A. -38 B. 316 C. -38 D. 不能確定（正確答案）A解：設P(m,n)，則m23-n2=1，即m2-3n2=3，由雙曲線x23-y2=1的漸近線方程為y=33x，則由y=33xy-n=-3(x-m)解得交點A(3m+3n4,3m+n4)；由y=-33xy-n=3(x-m)解得交點B(3m-3n4,n-3m4).PA=(3n-m4,3m-3n4)，PB=(-m-3n4,-3n-3m4)，則PAPB=3n-m4-m-3n4+3m-3n4-3n-3m4=-2m2-6n216=-616=-38故選：A設P(m,n)，則m23-n2=1，即m2-3n2=3，求出漸近線方程，求得交點A，B，再求向量PA，PB的坐標，由向量的數(shù)量積的坐標表示，計算即可得到本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運用，考查聯(lián)立方程組求交點的方法，考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 設拋物線y2=8x的焦點與雙曲線x2-y2b2=1(b>0)的右焦點重合，則b= _ （正確答案）3解：拋物線y2=8x的焦點(2,0)與雙曲線x2-y2b2=1(b>0)的右焦點重合，可得c=2，1+b2=2，解得b=3故答案為：3求出拋物線的焦點坐標，利用已知條件求出b即可本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力14. 若拋物線y2=2px的焦點與雙曲線x24-y25=1的右焦點重合，則實數(shù)p的值為_（正確答案）6解：雙曲線的方程x24-y25=1，a2=4，b2=5，可得c=a2+b2=3，因此雙曲線x24-y25=1的右焦點為F(3,0)，拋物線y2=2px(p>0)的焦點與雙曲線的右焦點重合，p2=3，解之得p=6故答案為：6根據(jù)雙曲線的方程，可得c=3，從而得到雙曲線的右焦點為F(3,0)，再根據(jù)拋物線的簡單幾何性質(zhì)，可得p2=3，解之即可得到實數(shù)p的值本題給出拋物線以原點為頂點，雙曲線的右焦點為焦點，求拋物線方程，著重考查了雙曲線、拋物線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎題15. 已知拋物線C：y2=2px (p>0)的焦點為F，過點F傾斜角為60的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于A、B兩點，則|AF|BF|的值等于_（正確答案）3解：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y12=2px1，y22=2px2，|AB|=x1+x2+p=2psin2=83p，即有x1+x2=53p，由直線l傾斜角為60，則直線l的方程為：y-0=3(x-p2)，即y=3x-32p，聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理，得12x2-20px+3p2=0，則x1x2=p24，可得x1=32p，x2=16p，則|AF|BF|=32p+12p12p+16p=3，故答案為：3設出A、B坐標，利用焦半徑公式求出|AB|，結(jié)合x1x2=p24，求出A、B的坐標，然后求其比值本題考查直線的傾斜角，拋物線的簡單性質(zhì)，考查學生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題16. 過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右焦點且斜率為 2 的直線，與該雙曲線的右支交于兩點，則此雙曲線離心率的取值范圍為_（正確答案）(1,5)解：由題意過雙曲線x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0 )右焦點且斜率為 2 的直線，與該雙曲線的右支交于兩點，可得雙曲線的漸近線斜率ba<2，e>1e=ca=a2+b2a2<1+4，1<e<5，雙曲線離心率的取值范圍為(1,5).故答案為：(1,5).先確定雙曲線的漸近線斜率小于2，結(jié)合離心率，即可求得雙曲線離心率的取值范圍本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是利用漸近線的斜率與離心率的關系，屬于中檔題三、解答題（本大題共3小題，共30分）17. 已知曲線C：x24+y29=1，直線l：y=2-2tx=2+t(t為參數(shù))()寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程()過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值（正確答案）解：()對于曲線C：x24+y29=1，可令x=2cos、y=3sin，故曲線C的參數(shù)方程為y=3sinx=2cos，(為參數(shù))對于直線l：y=2-2tx=2+t，由得：t=x-2，代入并整理得：2x+y-6=0；()設曲線C上任意一點P(2cos,3sin)P到直線l的距離為d=55|4cos+3sin-6|則|PA|=dsin30=255|5sin(+)-6|，其中為銳角當sin(+)=-1時，|PA|取得最大值，最大值為2255當sin(+)=1時，|PA|取得最小值，最小值為255()聯(lián)想三角函數(shù)的平方關系可取x=2cos、y=3sin得曲線C的參數(shù)方程，直接消掉參數(shù)t得直線l的普通方程；()設曲線C上任意一點P(2cos,3sin).由點到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以sin30進一步得到|PA|，化積后由三角函數(shù)的范圍求得|PA|的最大值與最小值本題考查普通方程與參數(shù)方程的互化，訓練了點到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題18. 已知A是橢圓E：x24+y23=1的左頂點，斜率為k(k>0)的直線交E與A，M兩點，點N在E上，MANA(I)當|AM|=|AN|時，求AMN的面積(II) 當2|AM|=|AN|時，證明：3<k<2（正確答案）解：(I)由橢圓E的方程：x24+y23=1知，其左頂點A(-2,0)，|AM|=|AN|，且MANA，AMN為等腰直角三角形， MNx軸，設M的縱坐標為a，則M(a-2,a)，點M在E上，3(a-2)2+4a2=12，整理得：7a2-12a=0，a=127或a=0(舍)，SAMN=12a2a=a2=14449；(II)設直線lAM的方程為：y=k(x+2)，直線lAN的方程為：y=-1k(x+2)，由y=k(x+2)3x2+4y2=12消去y得：(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0，xM-2=-16k23+4k2，xM=2-16k23+4k2=6-8k23+4k2，|AM|=1+k2|xM-(-2)|=1+k26-8k2+6+8k23+4k2=121+k23+4k2 k>0，|AN|=121+(1k)23+4(1k)2=12k1+k23k2+4，又2|AM|=|AN|，23+4k2=k3k2+4，整理得：4k3-6k2+3k-8=0，設f(k)=4k3-6k2+3k-8，則f(k)=12k2-12k+3=3(2k-1)20，f(k)=4k3-6k2+3k-8為(0,+)的增函數(shù)，又f(3)=433-63+33-8=153-26=675-676<0，f(2)=48-64+32-8=6>0，3<k<2(I)依題意知橢圓E的左頂點A(-2,0)，由|AM|=|AN|，且MANA，可知AMN為等腰直角三角形，設M(a-2,a)，利用點M在E上，可得3(a-2)2+4a2=12，解得：a=127，從而可求AMN的面積；(II)設直線lAM的方程為：y=k(x+2)，直線lAN的方程為：y=-1k(x+2)，聯(lián)立y=k(x+2)3x2+4y2=12消去y，得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0，利用韋達定理及弦長公式可分別求得|AM|=1+k2|xM-(-2)|=121+k23+4k2，|AN|=121+(1k)23+4(1k)2=12k1+k23k2+4，結(jié)合2|AM|=|AN|，可得23+4k2=k3k2+4，整理后，構(gòu)造函數(shù)f(k)=4k3-6k2+3k-8，利用導數(shù)法可判斷其單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理即可證得結(jié)論成立本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點的橫坐標或者縱坐標的關系，通過這兩個關系的變形去求解，考查構(gòu)造函數(shù)思想與導數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理確定參數(shù)范圍，是難題19. 如圖，已知四邊形ABCD是橢圓3x2+4y2=12的內(nèi)接平行四邊形，且BC，AD分別經(jīng)過橢圓的焦點F1，F(xiàn)2()若直線AC的方程為x-2y=0，求AC的長；()求平行四邊形ABCD面積的最大值（正確答案）(本小題滿分14分)()解：由3x2+4y2=12x-2y=0，消去y可得：4x2=12，解得x=3，(2分)所以A，C兩點的坐標為(3,32)和(-3,-32)，(4分)所以 |AC|=(23)2+(3)2=15.(5分)()解：當直線AD的斜率不存在時，此時易得A(1,32)，B(-1,32)，C(-1,-32)，D(1,-32)，所以平行四邊形ABCD的面積為|AB|AD|=6.(6分)當直線AD的斜率存在時，設直線AD的方程為y=k(x-1)，將其代入橢圓方程，整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.(8分)設點A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4).則 x1+x4=8k23+4k2，x1x4=4k2-123+4k2.(10分)連結(jié)AF1，DF1，則平行四邊形ABCD的面積S=2SAF1D=|F1F2|y1-y4|=2|y1-y4|.(11分)又 (y1-y4)2=k2(x1-x4)2=k2(x1+x4)2-4x1x4=916k2(k2+1)(3+4k2)2.(13分)又(3+4k2)2-16k2(k2+1)=9+8k2，所以 S=616k2(k2+1)(3+4k2)2=61-9+8k2(3+4k2)2<6綜上，平行四邊形ABCD面積的最大值是6.(14分)()通過3x2+4y2=12x-2y=0，求出x，得到A，C兩點的坐標，利用距離公式求解即可()當直線AD的斜率不存在時，求出三個點的坐標，然后求解平行四邊形的面積當直線AD的斜率存在時，設直線AD的方程為y=k(x-1)，與橢圓方程聯(lián)立，設點A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4).利用韋達定理，連結(jié)AF1，DF1，表示出面積表達式，然后求解最值本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應用