專題3數(shù)列一、等差數(shù)列1.等差數(shù)列的通項公式是什么?如何表示等差數(shù)列中任意兩項的關系?an=a1+(n-1)d;an=am+(n-m)d.2.等差數(shù)列的前n項和公式是什么?它具有什么特點?Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d.等差數(shù)列的前n項和為關于n的二次函數(shù),且沒有常數(shù)項.二、等比數(shù)列1.等比數(shù)列的通項公式是什么?如何表示等比數(shù)列中任意兩項的關系?an=a1qn-1;an=amqn-m.2.等比數(shù)列的前n項和公式是什么?具有什么特點?易忽略點是什么?Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q,q1.當q1時,Sn=a11-q-a11-qqn,qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).應用等比數(shù)列前n項和公式時,應先討論公式中的公比q是否等于1.3.等差數(shù)列的單調(diào)性與什么有關?等比數(shù)列呢?等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差d的正負,而等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q的取值,又要考慮首項a1的正負.4.等差中項、等比中項的概念是什么?由此可以得到哪些重要的性質(zhì)?等差中項:若a,M,b成等差數(shù)列,則M為a,b的等差中項,且M=a+b2.重要性質(zhì):已知數(shù)列an是等差數(shù)列,(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq.(2)an=12n-1S2n-1.等比中項:若a,M,b成等比數(shù)列,則M為a,b的等比中項,且M2=ab.重要性質(zhì):已知數(shù)列an是等比數(shù)列,若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,則aman=ap aq.三、數(shù)列求和列舉數(shù)列求和的方法,各自的注意點是什么?(1)公式法求和:要熟練掌握一些常見數(shù)列的前n項和公式.(2)分組求和法:分組求和法是解決通項公式可以寫成cn=an+bn形式的數(shù)列求和問題的方法,其中an與bn是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列.(3)裂項相消法:將數(shù)列的通項公式分成兩個代數(shù)式子的差,即an=f(n+1)-f(n)的形式,然后通過累加抵消中間若干項的求和方法.形如canan+1(其中an是公差d0且各項均不為0的等差數(shù)列,c為常數(shù))的數(shù)列等.用裂項相消法求和時易認為只剩下首尾兩項.用裂項相消法求和時要注意所裂式與原式的等價性.附:常見的裂項公式(其中nN*).1n(n+1)=1n-1n+1.1n(n+k)=1k1n-1n+k.1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.1n+n+1=n+1-n.1n+n+k=1kn+k-n.(4)錯位相減法:形如anbn(其中an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列)的數(shù)列求和,一般分三步:巧拆分;構(gòu)差式;求和.用錯位相減法求和時易漏掉減數(shù)式的最后一項.(5)倒序求和法:距首尾兩端等距離的兩項和相等,可以用此法.一般步驟:求通項公式;定和值;倒序相加;求和;回顧反思.從近三年的高考全國卷試題來看,數(shù)列一直是高考的熱點,數(shù)列部分的題型、難度和分值都保持穩(wěn)定,考查的重點主要是等差數(shù)列及其前n項和、等比數(shù)列及其前n項和、數(shù)列的通項、數(shù)列的前n項和等知識.考查內(nèi)容比較全面,解題時要注意基本運算、基本能力的運用,同時注意函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想的應用.一、選擇題和填空題的命題特點等差(比)數(shù)列的基本運算:a1,an,Sn,n,d(q)這五個量中已知其中的三個量,求另外兩個量.已知數(shù)列的遞推關系式以及某些項,求數(shù)列的通項公式和前n項和等.1.(2018全國卷理T4改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則S5=().A.-20B.-10C.10D.20解析設數(shù)列an的公差為d,由題意可得33a1+322d=2a1+d+4a1+432d,解得d=-32a1.因為a1=2,所以d=-3,所以S5=52+542(-3)=-20,故選A.答案A2.(2018全國卷理T14改編)記Sn為數(shù)列an的前n項和.若Sn=2an+1,則a6=.解析當n2時,Sn-1=2an-1+1,所以Sn-Sn-1=2(an-an-1),即an=2an-1.又a1=S1=2a1+1,所以a1=-10,所以數(shù)列an是以-1為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以an=-2n-1,a6=-26-1=-32.答案-32二、解答題的命題特點等差(比)數(shù)列的基本運算:a1,an,Sn,n,d(q)這五個量中已知其中的三個量,求另外兩個量.已知數(shù)列的遞推關系式以及某些項,求數(shù)列的通項公式.已知等差(比)數(shù)列的某些項或前幾項的和,求其通項公式.等差(比)數(shù)列的判斷與證明以及等差數(shù)列前n項和的最值問題等.1.(2018全國卷文T17改編)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設bn=ann.(1)證明數(shù)列bn是等比數(shù)列,并求an的通項公式.(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.解析(1)由已知條件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn.又b1=1,所以bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.所以bn=ann=2n-1,所以an=n2n-1.(2)由(1)可得Sn=a1+a2+an=120+221+322+n2n-1,所以2Sn=121+222+323+n2n,兩式相減得-Sn=1+21+22+23+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n=2n-1-n2n,所以Sn=(n-1)2n+1.2.(2018全國卷理、文T17改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和,已知a1=-7,a1+a2+a3=-15.(1)求an,Sn;(2)求數(shù)列|an|的前n項和Tn.解析(1)設數(shù)列an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15,a1=-7,解得d=2,所以an=2n-9,Sn=n2-8n.(2)當1n4(nN*)時,an<0,所以Tn=|a1|+|a2|+|an|=-(a1+a2+an )=-Sn=8n-n2;當n5(nN*)時,an>0,所以Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|an|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+an)=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-8n+32.綜上所述,Tn=8n-n2(1n4),n2-8n+32(n>5).3.(2018全國卷理、文T17改編)在正項等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通項公式;(2)記Sn為an的前n項和,證明:an=1+Sn2.解析(1)設數(shù)列an的公比為q(q>0),由題設得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2(舍去)或q=2.故an=2n-1.(2)因為an=2n-1,所以Sn=1-2n1-2=2n-1,所以1+Sn2=1+(2n-1)2=2n-1=an.1.等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷方法:判斷等差數(shù)列和等比數(shù)列,可以先計算特殊的幾項,觀察其特征,然后歸納出等差數(shù)列或者等比數(shù)列的結(jié)論.證明等差數(shù)列和等比數(shù)列,應該首先考慮其通項公式,利用定義或者等差中項、等比中項來證明.利用通項公式和前n項和公式只是作為判斷方法,而不是證明方法.把對數(shù)列特征的判定滲透在解題過程中,可以幫助學生拓展思維和理清思路.2.數(shù)列通項的求法:(1)公式法:等差數(shù)列通項公式;等比數(shù)列通項公式.(2)已知Sn(即a1+a2+an=f(n)求an,用作差法:an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n2,nN*).(3)已知a1a2an=f(n)求an,用作商法:an=f(1)(n=1),f(n)f(n-1)(n2,nN*).(4)已知an+1-an=f(n)求an,用累加法:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2,nN*).(5)已知an+1an=f(n)求an,用累乘法:an=anan-1an-1an-2a2a1a1(n2,nN*).(6)已知遞推關系式求an,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列).3.數(shù)列求和:數(shù)列求和的關鍵是研究數(shù)列通項公式,根據(jù)通項公式的不同特征選擇相應的求和方法,若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,則直接利用公式求和;若通項公式是等差乘等比型,則利用錯位相減法;若通項公式可以拆分成兩項的差且在累加過程中可以互相抵消某些項,則利用裂項相消法.