選修45不等式選講第1課時絕對值不等式1. 解不等式1<|x1|<3. 解：原不等式可化為1<x1<3或3<x1<1，解得不等式的解集為(2，0)(2，4)2. 解不等式|x1|x2|4.解：當(dāng)x<1時，不等式化為x12x<4，解得<x<1；當(dāng)1x2時，不等式化為x12x<4，得1x2；當(dāng)x>2時，不等式化為x1x2<4，解得2<x<. 原不等式的解集為.3. 解不等式|x22x4|>2x.解：原不等式等價于x22x4<2x，或x22x4>2x.解得解集為，解得解集為x|xR且x2 原不等式的解集為x|xR且x24. 解不等式x2|x|2<0.解：(解法1)當(dāng)x0時，x2x2<0，解得1<x<2， 0x<2；當(dāng)x<0時，x2x2<0，解得2<x<1， 2<x<0. 原不等式的解集為x|2<x<2(解法2)原不等式可化為|x|2|x|2<0，解得1<|x|<2. |x|0， 0|x|<2， 2<x<2. 原不等式的解集為x|2<x<25. 已知滿足不等式|2xa|x3|4的x的最大值為3，求實數(shù)a的值解：因為x的最大值為3，所以x3，即不等式為|2xa|3x4，所以|2xa|x1，所以所以因為x的最大值為3，所以1a3，即a2.6. 已知函數(shù)f(x)|x1|x2|a22a|.若函數(shù)f(x)的圖象恒在x軸上方，求實數(shù)a的取值范圍解：f(x)的最小值為3|a22a|，由題設(shè)，得|a22a|<3，解得a(1，3)7. 已知函數(shù)f(x)|x|x3|.(1) 解關(guān)于x的不等式f(x)1；(2) 若存在x0R，使得關(guān)于x的不等式mf(x0)成立，求實數(shù)m的取值范圍解：(1) 原不等式等價于不等式組：或：或：不等式組無解；解不等式組得2x3；解不等式組得x3，所以原不等式的解集為2，)(2) 由題意知mf (x)max，因為f(x)|x|x3|xx3|3，所以f(x)max3，所以m3，即m(，38. 已知函數(shù)f(x)|1x|2x|.(1) 求f(x)的最大值；(2) |2t1|f(x)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍解：(1) f(x)|1x|2x|1x2x|3，當(dāng)且僅當(dāng)x2時等號成立， f(x)max3.(2) 由|2t1|f(x)恒成立得|2t1|f(x)max，即|2t1|3，2t13或2t13，解得t2 或 t1， 實數(shù)t的取值范圍是(，12，)9. 已知關(guān)于x的不等式|ax1|axa|1(a>0)(1) 當(dāng)a1時，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍解：(1) 當(dāng)a1時，得2|x1|1, 即|x1|， 解得x或x， 不等式的解集為.(2) |ax1|axa|a1|， 原不等式解集為R等價于|a1|1. a2或a0. a>0， a2. 實數(shù)a的取值范圍是2，)10. 設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x2|.(1) 求不等式f(x)>2的解集；(2) xR，f(x)t2t，求實數(shù)t的取值范圍解：(1) f(x)當(dāng)x<時，x3>2，x<5， x<5；當(dāng)x<2時，3x1>2，x>1， 1<x<2；當(dāng)x2時，x3>2，x>1， x2.綜上所述，不等式f(x)2的解集為x|x>1或x<5(2) f(x)min，若xR，f(x)t2t恒成立，則只需f(x)mint2，解得t5.即t的取值范圍是.11. 設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1) 求不等式f(x)0的解集D；(2) 若存在實數(shù)xx|0x2，使得>a成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1) 當(dāng)x1時，由f(x)x20得x2，所以x；當(dāng)1<x時，由f(x)3x0得x0，所以0x；當(dāng)x>時，由f(x)x20得x2，所以<x2.綜上，不等式f(x)0的解集Dx|0x2(2) ，由柯西不等式得()2(31)x(2x)8， 2，當(dāng)且僅當(dāng)x時取“”， a的取值范圍是(，2)第2課時不等式證明的基本方法1. 已知x1，y1，求證：x2yxy21x2y2xy.證明：左邊右邊(yy2)x2(y21)xy1(1y)yx2(1y)x1(1y)(xy1)(x1)， x1，y1， 1y0，xy10，x10.從而左邊右邊0， x2yxy21x2y2xy.2. (2017蘇州期末)已知a，b，x，y都是正數(shù)，且ab1，求證：(axby)(bxay)xy.證明：因為a，b，x，y都是正數(shù)，所以(axby)(bxay)ab(x2y2)xy(a2b2)ab2xyxy(a2b2)(ab)2xy.又ab1，所以(axby)(bxay)xy.當(dāng)且僅當(dāng)xy時等號成立3. 已知x，y，zR，且x2y3z80.求證：(x1)2(y2)2(z3)214.證明：因為(x1)2(y2)2(z3)2(122232)(x1)2(y2)3(z3)2(x2y3z6)2142，當(dāng)且僅當(dāng)，即xz0，y4時，取等號，所以(x1)2(y2)2(z3)214.4. 已知函數(shù)f(x)|2x1|x1|，函數(shù)g(x)f(x)|x1|的值域為M.(1) 求不等式f(x)3的解集；(2) 若tM，求證：t213t.(1) 解：依題意，得f(x)于是得f(x)3或或解得1x1.即不等式f(x)3的解集為x|1x1(2) 證明：g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，當(dāng)且僅當(dāng)(2x1)(2x2)0時，取等號，M3，)原不等式等價于t23t1.tM，t30，t210.0.t213t.5. (2017蘇、錫、常、鎮(zhèn)二模)已知a，b，c為正實數(shù)，求證：abc.證明： a，b，c為正實數(shù)， a2b，b2c，c2a，將上面三個式子相加得abc2a2b2c， abc.6. 設(shè)a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1a2a31，求證：9.證明：因為a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1a2a31，所以(a1a2a3)3(a1a2a3)39(當(dāng)且僅當(dāng)a1a2a3時等號成立)，所以9.7. 已知正數(shù)x，y，z滿足x2y3z1，求的最小值 解：(x2y3z)1491422236，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時等號成立， 的最小值為36.8. 已知x0，y0，z0且xyz1，求證：x3y3z3xyyzzx.證明： x0，y0，z0， x3y3z33xyz.同理x3y313xy，y3z313yz，x3z313xz.將以上各式相加，得3x33y33z333xyz3xy3yz3zx. xyz1， x3y3z3xyyzzx.9. 已知a，b，c均為正數(shù)，且a2b4c3.求的最小值，并指出取得最小值時a，b，c的值解： a2b4c3， (a1)2(b1)4(c1)10. a，b，c為正數(shù)， 由柯西不等式得(a1)2(b1)4(c1)(12)2.當(dāng)且僅當(dāng)(a1)22(b1)24(c1)2時，等式成立， 2(c1)2(c1)4(c1)10， c，b，a.10. 已知abc1，a，b，c0.求證：(1) abc；(2) a2b2c2.證明：(1) abc3，而abc1abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號(2) 由柯西不等式得a2b2c2(abc)2，由(1)知， a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號11. 已知函數(shù)f(x)，g(x).若存在實數(shù)x使f(x)g(x)a成立，求實數(shù)a的取值范圍解：存在實數(shù)x使f(x)g(x)a成立，等價于f(x)g(x)的最大值大于a. f(x)g(x)1，由柯西不等式得，(1)2(31)(x214x)64， f(x)g(x)8，當(dāng)且僅當(dāng)x10時取等號故實數(shù)a的取值范圍是(，8)