活頁作業(yè)(十一)數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明“(nN)”，從nk到nk1時，等式左邊需增添的項是()ABC D解析：當(dāng)nk(kN)時，等式的左邊；當(dāng)nk1時，等式的左邊.所以從nk到nk1時，等式的左邊需增添的項為.答案：D2對于正整數(shù)n，下列說法不正確的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n<10.1n D0.1n10.9n解析：由貝努利不等式(1x)n1nx(x1，nN)，可知當(dāng)x2時，(12)n12n，A項正確；當(dāng)x0.1時，(10.1)n10.1n，B項正確，C項不正確；當(dāng)x0.9時，(10.9)n10.9n，D項正確答案：C3設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，Snn2an(nN)試歸納猜想出Sn的表達(dá)式為()ABCD解析：因為a11，所以S11.又S24a2a1a2，所以3a21.所以a2，S2.又S39a3S2a3，所以8a3.所以a3.所以S3.由此可猜想Sn(nN)答案：A4對于不等式<n1(nN)，某學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1)當(dāng)n1時命題顯然成立(2)假設(shè)nk(kN，k1)時原不等式成立，即<k1，則當(dāng)nk1時，左邊<(k1)1.故當(dāng)nk1時原不等式也成立由(1)(2)，可知原不等式對一切nN都成立對上述證明過程，下列說法正確的是()A過程全部正確Bn1時驗證不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析：上述過程中，當(dāng)n1時的驗證及假設(shè)均正確，只是在(2)中的證明沒有使用歸納假設(shè)，因此證明過程錯誤答案：D二、填空題5與貝努利不等式(1x)n>1nx(x>1且x0，n>1，nN)等價的不等式是_.(填序號)(1x)n>1nx(x<1且 x0，n>1，nN)(1x)n>1nx(x>1且 x0，n>1，nN)(1x)n>1nx(x<1且 x0，n>1，nN)(1x)n>1nx(x>1，n>1，nN)解析：在貝努利不等式中，令xt，因為x>1且x0，所以t<1且t0.所以原不等式變?yōu)?1t)n>1nt(t<1且t0，n>1，nN)答案：6設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立那么下列結(jié)論正確的是_.若f(3)9成立，則當(dāng)k1時，均有f(k)k2成立；若f(5)25成立，則當(dāng)k5時，均有f(k)k2成立；若f(7)<49成立，則當(dāng)k8時，均有f(k)<k2成立；若f(4)25成立，則當(dāng)k4時，均有f(k)k2成立解析：對于，若f(3)9成立，則由題意可得出當(dāng)k3時，f(k)k2成立，錯對于，若f (5)25成立，由題意可得出當(dāng)k5時，f(k)k2成立，錯對于，應(yīng)改為“若f(7)49成立，則當(dāng) k7時，均有f(k)k2成立”，故只有正確答案：三、解答題7比較2n與n2的大小(nN)解：當(dāng)n1時，21>12；當(dāng)n2時，2222；當(dāng)n3時，23<32；當(dāng)n4時，2442；當(dāng)n5時，25>52.猜想：當(dāng)n5時，2n>n2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n5時，25>52成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k5)時，2k>k2，那么當(dāng)nk1時，2k122k2k2k>k2(11)k>k2CCCk22k1(k1)2.當(dāng)nk1時，2n>n2也成立由(1)(2)，可知對n5的一切自然數(shù)，2n>n2都成立綜上，當(dāng)n1或n5時，2n>n2；當(dāng)n2,4時，2nn2；當(dāng)n3時，2n<n2.8設(shè)f(n)1(nN)，已知f(1)1>，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，.(1)由上述不等式你能得到怎樣的結(jié)論？并給出證明(2)是否存在一個正數(shù)T，使得對任意的正整數(shù)n，恒有不等式f(n)<T成立？并說明理由解：(1)數(shù)列1,3,7,15，的通項公式為an2n1(nN)；數(shù)列，1，2，的通項公式為bn(nN)猜想：f(2n1)>(nN)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，f(211)f(1)1>，所以不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時不等式成立，即f(2k1)>，則當(dāng)nk1時，f(2k11)f(2k1)>f(2k1) 2k個f(2k1)>.當(dāng)nk1時不等式也成立由，可知對任何nN，原不等式均成立(2)對任意給定的正數(shù)T，設(shè)它的整數(shù)部分為T，記mT1，則m>T.由(1)，知f(22m1)>m.f(22m1)>T.這說明，對任意給定的正數(shù)T，總能找到正整數(shù)n22m1，使得f(n)>T.不存在正數(shù)T，使得對任意的正整數(shù)n，恒有不等式f(n)<T成立一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”時，為了利用歸納假設(shè)，當(dāng)nk1時，只需展開(k1)3(k2)3(k3)3中的()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：假設(shè)當(dāng)nk時，k3(k1)3(k2)3能被9整除，則當(dāng)nk1時，原式(k1)3(k2)3(k3)3.為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k3)3展開，讓其出現(xiàn)k3，且展開式中除k3之外的各項和也能被9整除答案：A2用數(shù)學(xué)歸納法證明“1>(nk，nN)”時，起始值k最小為()A7 B8C9 D10解析：對不等式的左邊求和，得Sn2.由Sn>，得1n>，即n<.則n<7.所以n>7.故起始值k最小為8.答案：B二、填空題3設(shè)a，b均為正實數(shù)，已知M(ab)n，Nannan1b，nN，則M，N的大小關(guān)系為_.提示：利用貝努利不等式，令x解析：令x，由貝努利不等式(1x)n1nx(x1，nN)，得n1n，即n1n，即(ab)nannan1b.故MN.答案：MN4設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，則它的通項公式是_.解析：令n1，則2aa1a2a0.a11，2aa210.a2>0，a2.同理可求得a3.于是猜想an(nN)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時，a1成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時，ak成立，則當(dāng)nk1時，由(k1)akaak1ak0，可得(k1)aak10，即k(k1)aak110.ak1(舍去)或ak1.故當(dāng)nk1時，ak1成立綜合(1)(2)，知對任意的nN，總有an成立答案：an(nN)三、解答題5已知函數(shù)f(x)ax12a(a>0)，當(dāng)a時，有f(x)ln x(x1)求證：1>ln(n1)(nN)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊ln 2<1，當(dāng)n1時不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時不等式成立，即1>ln(k1).那么當(dāng)nk1時，1>ln(k1)ln(k1).由題意，可知當(dāng)a時，有f(x)ln x(x1)令a，有f(x)lnx(x1)令x，得lnln(k2)ln(k1)ln(k1)ln(k2).1>ln(k2)，這就是說，當(dāng)nk1時不等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知不等式對任何nN都成立6已知函數(shù)f(x)x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，an1f(an1)試比較與1的大小，并說明理由解：<1.理由如下：因為f(x)x21，an1f(an1)，所以an1(an1)21.因為函數(shù)g(x)(x1)21x22x在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，由a11，得a2(a11)21221，進(jìn)而得a3(a21)21241>231.由此猜想：an2n1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想：(1)當(dāng)n1時，a12111，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時結(jié)論成立，即ak2k1， 則當(dāng)nk1時，由函數(shù)g(x)(x1)21在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，知ak1(ak1)2122k12k11.故當(dāng)nk1時結(jié)論也成立由(1)(2)，知對任意nN，都有an2n1，即1an2n.所以.所以1n<1.