2.8函數(shù)模型及其應(yīng)用考綱解讀考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測(cè)熱度1.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征,體會(huì)直線(xiàn)上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義2016四川,7;2015四川,8;2014湖北,16解答題2.函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用,了解函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系,并能解決一些具體的實(shí)際問(wèn)題2015四川,15;2014山東,9;2013安徽,8分析解讀為了考查學(xué)生的綜合能力與素養(yǎng),高考加強(qiáng)了函數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題的考查力度,這一問(wèn)題一般涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性也較強(qiáng),屬于中檔以上的試題,題型以填空題和解答題為主,在高考中分值為5分左右,通常在如下方面考查:1.對(duì)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的考查,這類(lèi)問(wèn)題多以社會(huì)實(shí)際生活為背景,設(shè)問(wèn)新穎,要求學(xué)生掌握課本中的概念、公式、法則、定理等基礎(chǔ)知識(shí)與方法.2.以課本知識(shí)為載體,把函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)聯(lián)系起來(lái),構(gòu)造不等式求參數(shù)范圍,利用分離參數(shù)法求函數(shù)值域,進(jìn)而求字母的取值等.五年高考考點(diǎn)一函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題1.(2015四川,8,5分)某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33 的保鮮時(shí)間是()A.16小時(shí)B.20小時(shí)C.24小時(shí)D.28小時(shí)答案C2.(2013湖北,5,5分)小明騎車(chē)上學(xué),開(kāi)始時(shí)勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間,后為了趕時(shí)間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是()答案C3.(2014湖北,16,5分)某項(xiàng)研究表明:在考慮行車(chē)安全的情況下,某路段車(chē)流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車(chē)輛數(shù),單位:輛/小時(shí))與車(chē)流速度v(假設(shè)車(chē)輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車(chē)長(zhǎng)l(單位:米)的值有關(guān),其公式為F=76 000vv2+18v+20l.(1)如果不限定車(chē)型,l=6.05,則最大車(chē)流量為輛/小時(shí);(2)如果限定車(chē)型,l=5,則最大車(chē)流量比(1)中的最大車(chē)流量增加輛/小時(shí).答案(1)1900(2)100教師用書(shū)專(zhuān)用(4)4.(2013陜西,14,5分)在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x為(m).答案20考點(diǎn)二函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題1.(2014山東,9,5分)對(duì)于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a0,使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值,都有f(x)=f(2a-x),則稱(chēng)f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是() A.f(x)=xB.f(x)=x2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)答案D2.(2014安徽,9,5分)若函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3,則實(shí)數(shù)a的值為() A.5或8B.-1或5 C.-1或-4D.-4或8答案D3.(2013課標(biāo)全國(guó),12,5分)已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x0,ln(x+1),x>0.若|f(x)|ax,則a的取值范圍是()A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0答案D4.(2015四川,15,5分)已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中aR).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,設(shè)m=f(x1)-f(x2)x1-x2,n=g(x1)-g(x2)x1-x2.現(xiàn)有如下命題:對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有m>0;對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有n>0;對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=n;對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=-n.其中的真命題有(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).答案教師用書(shū)專(zhuān)用(57)5.(2014浙江,10,5分)如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線(xiàn)CM移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀(guān)察點(diǎn)P的仰角的大小(仰角為直線(xiàn)AP與平面ABC所成角).若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30,則tan的最大值是()A.305B.3010C.439D.539答案D6.(2013安徽,8,5分)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,在區(qū)間a,b上可找到n(n2)個(gè)不同的數(shù)x1,x2,xn,使得f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn)xn,則n的取值范圍為()A.2,3B.2,3,4C.3,4D.3,4,5答案B7.(2014四川,15,5分)以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合,B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)(x)組成的集合:對(duì)于函數(shù)(x),存在一個(gè)正數(shù)M,使得函數(shù)(x)的值域包含于區(qū)間-M,M.例如,當(dāng)1(x)=x3,2(x)=sin x時(shí),1(x)A,2(x)B.現(xiàn)有如下命題:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,則“f(x)A”的充要條件是“bR,aD, f(a)=b”;若函數(shù)f(x)B,則f(x)有最大值和最小值;若函數(shù)f(x),g(x)的定義域相同,且f(x)A,g(x)B,則f(x)+g(x)B;若函數(shù)f(x)=aln(x+2)+xx2+1(x>-2,aR)有最大值,則f(x)B.其中的真命題有.(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))答案三年模擬A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題1.(2017福建質(zhì)檢,5)當(dāng)生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過(guò)5 730年衰減為原來(lái)的一半,這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí),用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到,則它經(jīng)過(guò)的“半衰期”個(gè)數(shù)至少是()A.8B.9C.10D.11答案C2.(2016北京東城期中,12)已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費(fèi)為1.8元,某食品加工廠(chǎng)對(duì)餅干采用兩種包裝,其包裝費(fèi)用、銷(xiāo)售價(jià)格如表所示:型號(hào)小包裝大包裝質(zhì)量100克300克包裝費(fèi)0.5元0.7元銷(xiāo)售價(jià)格3.0元8.4元?jiǎng)t下列說(shuō)法正確的是()買(mǎi)小包裝實(shí)惠;買(mǎi)大包裝實(shí)惠;賣(mài)3小包比賣(mài)1大包盈利多;賣(mài)1大包比賣(mài)3小包盈利多.A.B.C.D.答案D3.(2018河北承德期中,13)某商品價(jià)格y(單位:元)因上架時(shí)間x(單位:天)的不同而不同,假定商品的價(jià)格與上架時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是一種指數(shù)型函數(shù),即y=kax(a>0且a1,xN*).若商品上架第1天的價(jià)格為96元,而上架第3天的價(jià)格為54元,則該商品上架第4天的價(jià)格為元.答案812考點(diǎn)二函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題4.(2018江西模擬,11)函數(shù)y=|log3x|的圖象與直線(xiàn)l1:y=m從左至右分別交于點(diǎn)A,B,與直線(xiàn)l2:y=82m+1(m>0)從左至右分別交于點(diǎn)C,D.記線(xiàn)段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a,b,則ba的最小值為()A.813B.273C.93D.33答案B5.(2017天津紅橋期中聯(lián)考,10)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,5,部分對(duì)應(yīng)值如下表:x-1045f(x)1221f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的圖象如圖所示:下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題:(1)函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù);(2)函數(shù)f(x)在(0,2)上是減函數(shù);(3)如果當(dāng)x-1,t時(shí),f(x)的最大值是2,那么t的最大值為4;(4)當(dāng)1<a<2時(shí),函數(shù)y=f(x)-a有4個(gè)零點(diǎn).其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案A6.(2018四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考,16)對(duì)于定義域?yàn)?,+)的函數(shù)f(x),如果同時(shí)滿(mǎn)足下列三條:(1)對(duì)任意的x0,+),總有f(x)0;(2)若x10,x20,則f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立;(3)若0x1<x2<1,則f(x1+1)-f(x2+1)x1-x2>1,則稱(chēng)函數(shù)f(x)為“超級(jí)囧函數(shù)”.則下列函數(shù)是“超級(jí)囧函數(shù)”的是.f(x)=sin x;g(x)=14x2(x0,1);h(x)=2x-1;p(x)=ln(x+1).答案7.(2016江西三校第一次聯(lián)考,16)已知函數(shù)y=f(x),對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值x1,在其定義域內(nèi)都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,則稱(chēng)該函數(shù)為“依賴(lài)函數(shù)”.給出以下命題:y=1x2是“依賴(lài)函數(shù)”;y=2+sin x,x-2,2是“依賴(lài)函數(shù)”;y=2x是“依賴(lài)函數(shù)”;y=ln x是“依賴(lài)函數(shù)”;y=f(x),y=g(x)都是“依賴(lài)函數(shù)”,且定義域相同,則y=f(x)g(x)是“依賴(lài)函數(shù)”.其中所有真命題的序號(hào)是.答案8.(2016皖北第一次聯(lián)考,19)某工廠(chǎng)某種商品的年固定成本為250萬(wàn)元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本C(x)萬(wàn)元,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),C(x)=13x2+10x;當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時(shí),C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元.通過(guò)市場(chǎng)分析,該廠(chǎng)生產(chǎn)的商品能全部售完.(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠(chǎng)在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?解析(1)每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元,x千件商品銷(xiāo)售額為0.051 000x萬(wàn)元.當(dāng)0<x<80時(shí),L(x)=(0.051 000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;當(dāng)x80時(shí),L(x)=(0.051 000x)-51x-10 000x+1 450-250=1 200-x+10 000x.綜合可得,L(x)=-13x2+40x-250,0<x<80,1 200-x+10 000x,x80.(2)由(1)可知,L(x)=-13x2+40x-250,0<x<80,1 200-x+10 000x,x80.當(dāng)0<x<80時(shí),L(x)=-13x2+40x-250=-13(x-60)2+950,當(dāng)x=60時(shí),L(x)取得最大值,最大值為L(zhǎng)(60)=950;當(dāng)x80時(shí),L(x)=1 200-x+10 000x1 200-2x10 000x=1 200-200=1 000,當(dāng)且僅當(dāng)x=10 000x,即x=100時(shí),L(x)取得最大值,最大值為L(zhǎng)(100)=1 000.950<1 000,當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí),該廠(chǎng)在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為1 000萬(wàn)元.B組20162018年模擬提升題組(滿(mǎn)分:30分時(shí)間:20分鐘)一、選擇題(每小題5分,共15分)1.(2018河南洛陽(yáng)期中,12)已知定義在1,上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)=f1x,且當(dāng)x1,時(shí),f(x)=ln x,若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在1,上有唯一的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.1e,ln B.ln ,ln 0C.0,ln D.1e,ln 0答案D2.(2017湖南衡陽(yáng)、長(zhǎng)郡中學(xué)等十三校聯(lián)考,9)某大型民企為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該民企2016年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該民企全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg 1.12=0.05,lg 1.3=0.11,lg 2=0.30)()A.2017年B.2018年C.2019年D.2020年答案D3.(2017山西名校聯(lián)考,12)設(shè)函數(shù)f(x)=-4x+2x+1-1,g(x)=lg(ax2-4x+1),若對(duì)任意x1R,都存在x2R,使f(x1)=g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(0,4 B.(-,4C.(-4,0D.4,+)答案B二、填空題(共5分)4.(2016浙江杭州五校聯(lián)盟一診,9)已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對(duì)于任意xR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,當(dāng)x1,x20,3,且x1x2時(shí),都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0.給出下列命題:f(3)=0;直線(xiàn)x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸;函數(shù)y=f(x)在-9,-6上為增函數(shù);函數(shù)y=f(x)在-9,9上有四個(gè)零點(diǎn).其中所有正確命題的序號(hào)為.(把所有正確命題的序號(hào)都填上)答案三、解答題(共10分)5.(2017江西九江七校聯(lián)考,20)某店銷(xiāo)售進(jìn)價(jià)為2元/件的產(chǎn)品A,假設(shè)該店產(chǎn)品A每日的銷(xiāo)售量y(單位:千件)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位:元/件)滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=10x-2+4(x-6)2,其中2<x<6.(1)若產(chǎn)品A的銷(xiāo)售價(jià)格為4元/件,求該店每日銷(xiāo)售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn);(2)試確定產(chǎn)品A的銷(xiāo)售價(jià)格x的值,使該店每日銷(xiāo)售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)最大.(保留1位小數(shù))解析(1)當(dāng)x=4時(shí),銷(xiāo)售量y=102+4(4-6)2=21千件,所以該店每日銷(xiāo)售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)是221=42千元.(2)該店每日銷(xiāo)售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),從而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).令f (x)=0,得x=103(x=6舍去),在2,103上, f (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在103,6上, f (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以x=103是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以當(dāng)x=1033.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值.故當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為3.3元/件時(shí),每日銷(xiāo)售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)最大.C組20162018年模擬方法題組方法常見(jiàn)函數(shù)模型的理解1.(2018福建三明期末,14)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來(lái)描述:設(shè)物體的初始溫度是T0,經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t后的溫度是T,則T-Ta=(T0-Ta)12th,其中Ta稱(chēng)為環(huán)境溫度,h稱(chēng)為半衰期.現(xiàn)有一杯用88 熱水沖的速溶咖啡,放在24 的房間中,如果咖啡降到40 需要20分鐘,那么此杯咖啡從40 降溫到32 時(shí),還需要分鐘.答案102.(2017湖北重點(diǎn)高中聯(lián)合協(xié)作體期中,21)某市居民用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:每戶(hù)每月用水不超過(guò)15噸時(shí),每噸2元,當(dāng)用水超過(guò)15噸時(shí),超過(guò)部分每噸3元.某月甲、乙兩戶(hù)共交水費(fèi)y元,已知甲、乙兩用戶(hù)該月用水量分別為5x噸,3x噸.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;(2)若甲、乙兩戶(hù)該月共交水費(fèi)114元,分別求出甲、乙兩戶(hù)該月的用水量和所交水費(fèi).解析(1)y=16x,0<x3,21x-15,3<x5,24x-30,x>5.(2)若0<x3,由16x=114,解得x=578(舍去);若3<x5,由21x-15=114,解得x=437(舍去);若x>5,由24x-30=114,解得x=6.所以甲戶(hù)該月的用水量為5x=30噸,所交水費(fèi)為152+(30-15)3=75元;乙戶(hù)該月的用水量為3x=18噸,所交水費(fèi)為152+(18-15)3=39元.3.(2017江西金溪一中等期中聯(lián)考,19)食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視,農(nóng)藥、化肥的濫用對(duì)人民群眾的健康有一定的危害,為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入200萬(wàn)元,搭建了甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚,每個(gè)大棚至少要投入20萬(wàn)元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位:萬(wàn)元)滿(mǎn)足P=80+42a,Q=14a+120,設(shè)甲大棚的投入為x(單位:萬(wàn)元),每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位:萬(wàn)元).(1)求f(50)的值;(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入,才能使總收益f(x)最大?解析(1)甲大棚投入50萬(wàn)元,則乙大棚投入150萬(wàn)元,f(50)=80+4250+14150+120=277.5.(2)f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250,依題意,得x20,200-x2020x180,故f(x)=-14x+42x+250(20x180).令t=x,則t25,65,則y=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282,當(dāng)t=82,即x=128時(shí), f(x)max=282.所以甲大棚投入128萬(wàn)元,乙大棚投入72萬(wàn)元時(shí),總收益最大,且最大總收益為282萬(wàn)元.4.(2016福建晨曦等四校第一次聯(lián)考,20)某工廠(chǎng)生產(chǎn)一種儀器的元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會(huì)產(chǎn)生一些次品,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,其次品率P與日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間滿(mǎn)足關(guān)系:P=16-x,1xc,23,x>c(其中c為小于6的正常數(shù)).(注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量,如P=0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,有1件為次品,其余為合格品)已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可以盈利2萬(wàn)元,但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元,故廠(chǎng)方希望定出合適的日產(chǎn)量.(1)試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額T(萬(wàn)元)表示為日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù);(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí),可獲得最大利潤(rùn)?解析(1)當(dāng)x>c時(shí),P=23,T=13x2-23x1=0.當(dāng)1xc時(shí),P=16-x,T=1-16-xx2-16-xx1=9x-2x26-x.綜上,日盈利額T(萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系為T(mén)=9x-2x26-x,1xc,0,x>c.(2)由(1)知,當(dāng)x>c時(shí),每天的盈利額為0萬(wàn)元,1xc.(i)當(dāng)3c<6時(shí),T=9x-2x26-x=15-2(6-x)+96-x15-12=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取等號(hào).故Tmax=3,此時(shí)x=3.(ii)當(dāng)1c<3時(shí),由T=2x2-24x+54(6-x)2=2(x-3)(x-9)(6-x)2>0知,函數(shù)T=9x-2x26-x在1,c上遞增,當(dāng)x=c時(shí),Tmax=9c-2c26-c,綜上,若3c<6,則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí),可獲得最大利潤(rùn);若1c<3,則當(dāng)日產(chǎn)量為c萬(wàn)件時(shí),可獲得最大利潤(rùn).