專題3.6 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的臨界極值問題（2）1.(2018江蘇高考15)如圖所示,真空中四個(gè)相同的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,高為4d,寬為d,中間兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域間隔為2d,中軸線與磁場(chǎng)區(qū)域兩側(cè)相交于O、O點(diǎn),各區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等。某粒子質(zhì)量為m、電荷量為+q,從O沿軸線射入磁場(chǎng)。當(dāng)入射速度為v0時(shí),粒子從O上方處射出磁場(chǎng)。取sin 53=0.8,cos 53=0.6。(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B。(2)入射速度為5v0時(shí),求粒子從O運(yùn)動(dòng)到O的時(shí)間t。(3)入射速度仍為5v0,通過沿軸線OO平移中間兩個(gè)磁場(chǎng)(磁場(chǎng)不重疊),可使粒子從O運(yùn)動(dòng)到O的時(shí)間增加t,求t的最大值?！敬鸢浮?(1)(2)(3)【解析】(1)粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑由題意知r0=,解得(2)設(shè)粒子在矩形磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角為,半徑為r,由r=得r=5r0=由d=rsin ,得sin =,即=53在一個(gè)矩形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間,解得t1=直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2=,解得t2=則(3)將中間兩磁場(chǎng)分別向中央移動(dòng)距離x,粒子向上的偏移量y=2r(1-cos )+xtan 由y2d,解得xd則當(dāng)xm=時(shí),t有最大值 2.（2017新課標(biāo) 18）如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場(chǎng)，若粒子射入的速度為，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速度為，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上，不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用，則為A. B. C. D. 【答案】C【解析】當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周時(shí)，打到圓形磁場(chǎng)的位置最遠(yuǎn)，則當(dāng)粒子射入的速度為，如圖，由幾何知識(shí)可知，粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為；同理，若粒子射入的速度為，由幾何知識(shí)可知，粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為；根據(jù)，則 ，故選C.3(2017全國卷)如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入的速率為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2v1為()A.2 B.1C.1 D3【答案】C【解析】由于是相同的粒子，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小相同，由qvBm可知，R，即粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同。若粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v1，如圖所示，通過旋轉(zhuǎn)圓可知，當(dāng)粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)A離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則AP2R1；同樣，若粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v2，粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)B離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則BP2R2，由幾何關(guān)系可知，R1，R2Rcos 30R，則，C項(xiàng)正確。4(2016四川高考)如圖所示，正六邊形abcdef 區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶正電的粒子從f點(diǎn)沿fd方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)速度大小為vb時(shí)，從b點(diǎn)離開磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tb，當(dāng)速度大小為vc時(shí)，從c點(diǎn)離開磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tc，不計(jì)粒子重力。則()Avbvc12，tbtc21Bvbvc21，tbtc12Cvbvc21，tbtc21Dvbvc12，tbtc12【答案】A【解析】如圖所示， 5.(2016海南高考)如圖，A、C兩點(diǎn)分別位于x軸和y軸上，OCA30，OA的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。在OCA區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以平行于y軸的方向從OA邊射入磁場(chǎng)。已知粒子從某點(diǎn)入射時(shí)，恰好垂直于OC邊射出磁場(chǎng)，且粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t0。不計(jì)重力。(1)求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；(2)若粒子先后從兩不同點(diǎn)以相同的速度射入磁場(chǎng)，恰好從OC邊上的同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求該粒子這兩次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和；(3)若粒子從某點(diǎn)射入磁場(chǎng)后，其運(yùn)動(dòng)軌跡與AC邊相切，且在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t0，求粒子此次入射速度的大小?！敬鸢浮?1)(2)2t0(3) 【解析】(1)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t0內(nèi)其速度方向改變了90，故其周期T4t0設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，粒子速度為v，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r。由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得qvBm勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度滿足v聯(lián)立式得B。(2)設(shè)粒子從OA邊兩個(gè)不同位置射入磁場(chǎng)，能從OC邊上的同一點(diǎn)P射出磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖(a)所示。設(shè)兩軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為1和2。由幾何關(guān)系有11802粒子兩次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t1與t2，則t1t22t0。(3)如圖(b)，聯(lián)立式得v0。6(2016四川理綜，11) 如圖所示，圖面內(nèi)有豎直線DD，過DD且垂直于圖面的平面將空間分成、兩區(qū)域。區(qū)域有方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和方向垂直于圖面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B(圖中未畫出)；區(qū)域有固定在水平地面上高h(yuǎn)2l、傾角的光滑絕緣斜面，斜面頂端與直線DD距離s4l，區(qū)域可加豎直方向的大小不同的勻強(qiáng)電場(chǎng)(圖中未畫出)；C點(diǎn)在DD上，距地面高H3l。零時(shí)刻，質(zhì)量為m、帶電量為q的小球P在K點(diǎn)具有大小v0、方向與水平面夾角的速度，在區(qū)域內(nèi)做半徑r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)C點(diǎn)水平進(jìn)入?yún)^(qū)域。某時(shí)刻，不帶電的絕緣小球A由斜面頂端靜止釋放，在某處與剛運(yùn)動(dòng)到斜面的小球P相遇。小球視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力及小球P所帶電量對(duì)空間電磁場(chǎng)的影響。l已知，g為重力加速度。(1)求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；(2)若小球A、P在斜面底端相遇，求釋放小球A的時(shí)刻tA；(3)若小球A、P在時(shí)刻t(為常數(shù))相遇于斜面某處，求此情況下區(qū)域的勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E，并討論場(chǎng)強(qiáng)E的極大值和極小值及相應(yīng)的方向?！敬鸢浮?1)(2)(32)(3)極大值，豎直向上；極小值0【解析】(1)由題知，小球P在區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有mqv0B代入數(shù)據(jù)解得B(2)小球P在區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過的圓心角為，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)刻為tC，到達(dá)斜面底端時(shí)刻為t1，有tCshcot v0(t1tC)小球A釋放后沿斜面運(yùn)動(dòng)加速度為aA，與小球P在時(shí)刻t1相遇于斜面底端，有mgsin maAaA(t1tA)2聯(lián)立以上方程可得tA(32)(3)設(shè)所求電場(chǎng)方向向下，在tA時(shí)刻釋放小球A，小球P在區(qū)域運(yùn)動(dòng)加速度為aP，有sv0(ttC)aA(ttA)2cos mgqEmaPHhaA(ttA)2sin aP(ttC)2聯(lián)立相關(guān)方程解得E對(duì)小球P的所有運(yùn)動(dòng)情形討論可得35由此可得場(chǎng)強(qiáng)極小值為Emin0；場(chǎng)強(qiáng)極大值為Emax，方向豎直向上。7. (2015山東理綜，24) 如圖所示，直徑分別為D和2D的同心圓處于同一豎直面內(nèi),O為圓心，GH為大圓的水平直徑兩圓之間的環(huán)形區(qū)域(區(qū))和小圓內(nèi)部(區(qū))均存在垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)間距為d的兩平行金屬極板間有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，上極板開有一小孔一質(zhì)量為m、電量為q的粒子由小孔下方處靜止釋放，加速后粒子以豎直向上的速度v射出電場(chǎng)，由H點(diǎn)緊靠大圓內(nèi)側(cè)射入磁場(chǎng)不計(jì)粒子的重力(1)求極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大??；(2)若粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與小圓相切，求區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；(3)若區(qū)、區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為、,粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后再次經(jīng)過H點(diǎn)，求這段時(shí)間粒子運(yùn)動(dòng)的路程【答案】(1)(2)或(3)5.5D【解析】(1)設(shè)極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，對(duì)粒子在電場(chǎng)中的加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得qEmv2解得E(2)設(shè)區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得qvB甲 (3)設(shè)粒子在區(qū)和區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R1、R2，由題意可知，區(qū)和區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為B1、B2，由牛頓第二定律得qvB1m，qvB2m代入數(shù)據(jù)得R1，R2設(shè)粒子在區(qū)和區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別為T1、T2，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得T1，T2乙據(jù)題意分析，粒子兩次與大圓相切的時(shí)間間隔內(nèi)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，根據(jù)對(duì)稱可知，區(qū)兩段圓弧所對(duì)圓心角相同，設(shè)為1，區(qū)內(nèi)圓弧所對(duì)圓心角設(shè)為2，圓弧和大圓的兩個(gè)切點(diǎn)與圓心O連線間的夾角設(shè)為，由幾何關(guān)系得1120218060丙粒子重復(fù)上述交替運(yùn)動(dòng)回到H點(diǎn)，軌跡如圖丙所示，設(shè)粒子在區(qū)和區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t1、t2可得t1T1，t2T2設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的路程為s，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得sv(t1t2) 聯(lián)立式得s5.5D 8（2019北京市通州區(qū)潞河中學(xué)高三開學(xué)檢測(cè)）如圖所示，虛線框MNQP內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。a、b、c是三個(gè)質(zhì)量和電荷量都相等的帶電粒子，它們從PQ邊上的中點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)，圖中畫出了它們?cè)诖艌?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。若不計(jì)粒子所受重力，則( )A 粒子a帶負(fù)電，粒子b、c帶正電B 粒子a在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)C 粒子b在磁場(chǎng)中的加速度最大D 粒子c在磁場(chǎng)中的動(dòng)量最大【答案】C 9（2019屆江西省紅色七校高三第一次聯(lián)考）如圖所示，在直角三角形ABC內(nèi)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），AB邊長(zhǎng)度為d，.現(xiàn)垂直AB邊射入一群質(zhì)量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v的帶正電粒子，已知垂直AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，而運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（不計(jì)重力）則下列判斷中正確的是( ) A 粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為4tB 該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為C 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為D 粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為【答案】ABC【解析】帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，垂直AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是，即為：，則得周期為：T=4t，故A正確；由 T=4t，R=，T=，得：，故B正確；運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系有：，解得：R=d，故C正確；根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為：v=，周期為：T=4t0，半徑為：R=d，聯(lián)立可得：v=，故D錯(cuò)誤。故選ABC。10（2019屆四川省成都市第七中學(xué)高三零診模擬考試）如圖所示，M，N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板，兩板間電壓可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值。靜止的帶電粒子帶電荷量為q，質(zhì)量為m（不計(jì)重力），從點(diǎn)P經(jīng)電場(chǎng)加速后，從小孔Q進(jìn)入N板右側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，CD為磁場(chǎng)邊界上的一絕緣板，它與N板的夾角為30，孔Q到板的下端C的距離為L(zhǎng)，當(dāng)M，N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，則下列說法正確的是( ) A 兩板間電壓的最大值B CD板上可能被粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度C 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間D 能打到N板上的粒子的最大動(dòng)能為【答案】ACD【解析】畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖，如圖所示，A. 當(dāng)M、N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，可知粒子半徑r=L，的加速電場(chǎng)中，根據(jù)動(dòng)能定理：，在偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)中，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：，聯(lián)立可得：，故A正確；B.設(shè)粒子軌跡與CD相切于H點(diǎn)，此時(shí)粒子半徑為，粒子軌跡垂直打在CD邊上的G點(diǎn)，則 ，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：，聯(lián)立可得能打到N板上的粒子的最大動(dòng)能為：，故D正確；故選ACD。11（2019屆安徽省六安二中高三（上）開學(xué)測(cè)試）如圖所示，直角三角形ABC的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O、D是AB和AC邊的中點(diǎn)，一束帶電粒子沿OD方向射入磁場(chǎng)中，恰好從B點(diǎn)射出磁場(chǎng)，下列說法中正確的是A 只改變帶電粒子的帶電性質(zhì)，粒子將從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)B 只改變帶電粒子的帶電性質(zhì)，粒子將從AD邊界上的某點(diǎn)射出磁場(chǎng)C 只將磁場(chǎng)方向反向，粒子將從OA邊界上的某點(diǎn)射出磁場(chǎng)D 只將磁場(chǎng)方向反向，粒子不可能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)【答案】BD【解析】一束帶電粒子沿OD方向射入磁場(chǎng)中，恰好從B點(diǎn)射出磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖實(shí)線所示： A、B、如果只改變帶電粒子的帶電性質(zhì)，粒子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力方向相反，粒子將向上偏轉(zhuǎn)，粒子將從AD邊界上某點(diǎn)射出磁場(chǎng)，如圖虛線所示，故A錯(cuò)誤，B正確。C、D、如果只將磁場(chǎng)方向反向，粒子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力反向，粒子將向上偏轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線所示，粒子將從AD邊界上的某點(diǎn)射出磁場(chǎng)，粒子不可能經(jīng)過A點(diǎn)，不可能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，故C錯(cuò)誤，D正確。故選BD12（2019屆山西省榆社中學(xué)高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）如圖所示，xOy平面內(nèi)y軸和垂直于x軸的虛線MN間存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以大小為v0的速度沿x軸正方向射出，從線上的M（2l，l）點(diǎn)進(jìn)人虛線右側(cè)，粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后進(jìn)入一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向與xOy平面垂直的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫出），最后又從虛線上的N點(diǎn)沿x軸負(fù)方向射出磁場(chǎng)。不計(jì)粒子重力。求（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大?。唬?）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑；（3）圓形磁場(chǎng)的最小面積。（可用三角函數(shù)表示）【答案】（1） （2） （3）【解析】【詳解】（1）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E則： 粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有：，解得：（3）粒子從a點(diǎn)射入磁場(chǎng)，從b點(diǎn)射出磁場(chǎng)，以ab連線為直徑的圓形磁場(chǎng)面積最小如圖所示最小面積解得：13（2019屆安徽省江淮十校高三第一次聯(lián)考）如圖所示，坐標(biāo)空間中有場(chǎng)強(qiáng)為E=100 N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=10-3T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸為兩種場(chǎng)的分界面，圖中虛線為磁場(chǎng)區(qū)域的右邊界，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為-q的帶電粒子從電場(chǎng)中坐標(biāo)位置(-1，0)處，以初速度vo=105 m/s沿x軸正方向開始運(yùn)動(dòng)，且已知帶電粒子的比荷= 108 C/kg，粒子的重力忽略不計(jì)，則：(1)求帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小；(2)為使帶電粒子能穿越磁場(chǎng)區(qū)域而不再返回電場(chǎng)中，求磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿足的條件。【答案】(1)m/s (2)2.41m【解析】（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的加速度為a，由牛頓第二定律可得：qE=ma設(shè)粒子出電場(chǎng)、入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v，此時(shí)在y方向的分速度為vy，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則：vy=at l=v0t解得vy=v0 （2）設(shè)v的方向與y軸夾角為，則有 可得=450粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖：則有：可得 要使粒子穿越磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)的寬度應(yīng)滿足的條件： 綜合已知條件解以上各式可得：