第七節(jié) 正弦定理和余弦定理最新考綱1.利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，進(jìn)而進(jìn)行恒等變換解決問題.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題知識梳理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2R.(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C變形形式(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aababab解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)4. 三角形中的常見結(jié)論(1) ABC，變形：.(2) 在三角形中大邊對大角，大角對大邊：A>Ba>bsinA>sinB.(3) 任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊(4)在三角形中有：sin 2Asin 2BAB或2A+2B=三角形為等腰或直角三角形；（5）三角形中的三角函數(shù)關(guān)系：sin(AB)sin C； cos(AB)cos C；sincos ； cossin .典型例題考點一正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45.求角A、C和邊c.【答案】當(dāng)A60時，C75，c；當(dāng)A120時，C15，c.【解析】由正弦定理，得，即， sinA. a>b， A60或A120.當(dāng)A60時，C180456075，c；當(dāng)A120時，C1804512015，c.規(guī)律方法 正弦定理是一個連比等式，在運用此定理時，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達(dá)到解決問題的目的，在解題時要學(xué)會靈活運用.【變式訓(xùn)練1】在ABC中，(1) 若a4，B30，C105，則b_(2) 若b3，c，C45，則a_(3) 若AB，BC，C30，則A_【答案】(1) 2.(2) 無解(3) A45或135.【解析】(1) 已知兩角和一邊只有一解，由B30，C105，得A45.由正弦定理，得b2.(2) 由正弦定理得sinB>1， 無解(3) 由正弦定理，得， sinA. BC>AB， A>C， A45或135.考點二余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且.(1) 求角B的大小；(2) 若b，ac4，求ABC的面積【答案】(1) B.(2) SABC.規(guī)律方法 (1)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用 (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應(yīng)用【變式訓(xùn)練2】在ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知c2，C.(1) 若ABC的面積等于，求a、b；(2) 若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面積【答案】(1) a2，b2. (2) S.【解析】(1) 由余弦定理及已知條件，得a2b2ab4.因為ABC的面積等于，所以absinC，得ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2) 由題意得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，所以sinBcosA2sinAcosA.當(dāng)cosA0時，A，所以B，所以a，b.當(dāng)cosA0時，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a，聯(lián)立方程組解得a，b.所以ABC的面積SabsinC.考點三三角形形狀的判定【例3】設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosCccosBasinA，則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定【答案】B【解析】bcosCccosBasinA，由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sinAsin2A.又sinA>0，sinA1，A，故ABC為直角三角形【題點發(fā)散1】本例條件變?yōu)槿簦袛郃BC的形狀【答案】ABC為等腰三角形或直角三角形【解析】由，得，sinAcosAcosBsinB，sin2Asin2B.A、B為ABC的內(nèi)角，2A2B或2A2B，AB或AB，ABC為等腰三角形或直角三角形【題點發(fā)散2】本例條件變?yōu)槿鬭2bcosC，判斷ABC的形狀【答案】三角形定是等腰三角形【解析】法一：因為a2bcosC，所以由余弦定理得，a2b，整理得b2c2，則此三角形一定是等腰三角形法二：sinA2sinBcosC，sin(BC)2sinBcosC，sin(BC)0，<BC<，BC0，BC，則此三角形定是等腰三角形【題點發(fā)散3】本例條件變?yōu)槿?lt;cosA，判斷ABC的形狀【答案】ABC是鈍角三角形【解析】依題意得<cosA，sinC<sinBcosA，所以sin(AB)<sinBcosA.即sinBcosAcosBsinAsinBcosA<0.所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B為鈍角，所以ABC是鈍角三角形規(guī)律方法 利用正、余弦定理判定三角形形狀的技巧(1)“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.(2)“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用ABC這個結(jié)論.注意：在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解.【變式訓(xùn)練3】已知ABC中，試判斷ABC的形狀【答案】ABC為等腰或直角三角形考點四 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用【例4】在ABC中，A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中項(1) 求B的大??；(2) 若ac，b2，求ABC的面積【答案】(1) B.(2) SABC.【解析】(1) 由題意，得acosCccosA2bcosB.由正弦定理，得sinAcosCcosAsinC2sinBcosB， 即sin(AC)2sinBcosB. ACB，0B， sin(AC)sinB0. cosB， B.(2) 由B，得，即， ac2. SABCacsinB.規(guī)律方法 三角形面積公式的應(yīng)用方法：(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化【變式訓(xùn)練4】已知a、b、c分別為ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊，acosCasinCbc0.(1) 求A；(2) 若a2，ABC的面積為，求b、c.【答案】(1) A.(2) bc2.【解析】(1) 由acosCasinCbc0及正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0. 因為BAC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0.由于sinC0，所以sin. 又0<A<，故A.(2) ABC的面積SbcsinA，故bc4.而a2b2c22bccosA，故b2c28. 解得bc2.課堂總結(jié)1.在解三角形中，三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號，防止出現(xiàn)增解等擴(kuò)大范圍的現(xiàn)象2.在判斷三角形的形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解.課后作業(yè)1.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，c2，cos A，則b()AB C2D3【答案】D【解析】由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故選D2.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，C已知C60，b，c3，則A_.【答案】75.【解析】如圖，由正弦定理，得，sin B.又c>b，B45，A180604575.3在ABC中，A60，AC4，BC2，則ABC的面積等于_.【答案】2.【解析】由題意及余弦定理得cos A，解得c2，所以Sbcsin A42sin 602.4在ABC中，acos Abcos B，則這個三角形的形狀為_【答案】等腰三角形或直角三角形.【解析】由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形5設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2，cosC，3sinA2sinB，則c_.【答案】4【解析】由3sinA2sinB及正弦定理，得3a2b，所以ba3.由余弦定理的推論得cosC，得，解得c4.6.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，則角C_.【答案】【解析】由3sinA5sinB，得3a5b，ab，又bc2a，所以cb.根據(jù)余弦定理的推論cosC，把a(bǔ)b，cb代入，化簡得cosC，所以C.7. ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosBacosCccosA，則B_.【答案】【解析】法一：由2bcosBacosCccosA及正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA.2sinBcosBsin(AC)又ABC，ACB.2sinBcosBsin(B)sinB.又sinB0，cosB.B.法二：在ABC中，acosCccosAb，條件等式變?yōu)?bcosBb，cosB.又0<B<，B.8. 2016全國卷ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA，cosC，a1，則b_.【答案】【解析】由條件可得sinA，sinC，從而有sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC.由正弦定理，可知b.9.在ABC中，角A，B，C所對的邊的長分別為a，b，c，若asinAbsinBcsinC，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定【答案】C【解析】根據(jù)正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理的推論得cosC0，故C是鈍角10.已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B2sin Asin C(1)若ab，求cos B；(2)設(shè)B90，且a，求ABC的面積【答案】(1) . (2)1.11. 2017全國卷ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1，a3，求ABC的周長【答案】(1).(2)3.【解析】(1)由題設(shè)得acsinB，即csinB.由正弦定理得sinCsinB .故sinBsinC.(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC).所以BC，故A.由題意得bcsinA，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周長為3.12. 2017全國卷ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sinAcosA0，a2，b2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC，求ABD的面積【答案】(1) c4.(2) .13.2017全國卷ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面積為2，求b.【答案】(1) .(2) 2.【解析】(1)由題設(shè)及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B.故cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.