二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例課后篇鞏固探究1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+12+13+12n-1<n(nN+,且n>1)時,第一步是證下述哪個不等式成立()A.1<2B.1+12<2C.1+12+13<2D.1+13<2解析當(dāng)n=2時,左邊=1+12+13,右邊=2,所以應(yīng)證1+12+13<2.答案C2.若x>-1,x0,則下列不等式正確的是()A.(1+x)3<1+3xB.(1+x)32<1+32xC.(1+x)-2<1-2xD.(1+x)13<1+13x解析由貝努利不等式可得選項D正確.答案D3.用數(shù)學(xué)歸納法證明Cn1+Cn2+Cnn>nn-12(nn0,且nN+),則n的最小值n0為()A.1B.2C.3D.4解析當(dāng)n=1時,左邊=C11=1,右邊=10=1,1>1,不成立;當(dāng)n=2時,左邊=C21+C22=2+1=3,右邊=212=2,3>2,成立;當(dāng)n=3時,左邊=C31+C32+C33=3+3+1=7,右邊=31=3,7>3,成立.所以n的最小值n0為2.答案B4.導(dǎo)學(xué)號26394067某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明n2+n<n+1(nN+)”的過程如下:證明:(1)當(dāng)n=1時,顯然不等式是成立的;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時不等式成立,即k(k+1)<k+1.當(dāng)n=k+1時,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<k2+4k+4=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時不等式是正確的.由(1)(2)可知,對于nN+,不等式都是正確的.以上證法是錯誤的,錯誤在于()A.從k到k+1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B.歸納假設(shè)的寫法不正確C.從k到k+1的推理不嚴密D.當(dāng)n=1時,驗證過程不具體解析證明(k+1)2+(k+1)<(k+1)+1時進行了一般意義的放大.而沒有使用歸納假設(shè)k(k+1)<k+1.答案A5.已知f(n)=1+12+13+1n(nN+),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>n2時,f(2k+1)比f(2k)多的項為.解析f(2k+1)-f(2k)=1+12+13+12k+1-1+12+13+12k=12k+1+12k+2+12k+1.答案12k+1+12k+2+12k+16.已知x>0,觀察下列幾個不等式:x+1x2;x+4x23;x+27x34;x+256x45歸納猜想一般的不等式為.答案x+nnxnn+1(n為正整數(shù))7.用數(shù)學(xué)歸納法證明an+bn2a+b2n(a,b是非負實數(shù),nN+)時,假設(shè)當(dāng)n=k時不等式ak+bk2a+b2k(*)成立,再推證當(dāng)n=k+1時不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式兩邊同乘.解析對比k與k+1時的結(jié)論可知,兩邊只需同乘a+b2即可.答案a+b28.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+12+13+1n<2n(nN+).證明(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=2.左邊<右邊,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時不等式成立,即1+12+13+1k<2k.當(dāng)n=k+1時,1+12+13+1k+1k+1<2k+1k+1=2kk+1+1k+1<(k)2+(k+1)2+1k+1=2(k+1)k+1=2k+1.所以當(dāng)n=k+1時,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式對任意nN+都成立.9.導(dǎo)學(xué)號26394068若不等式1n+1+1n+2+1n+3+13n+1>a24對一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并證明你的結(jié)論.解取n=1,則有12+13+14>a24成立,所以2624>a24,因此a<26,取a=25,即正整數(shù)a的最大值為25.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明.1n+1+1n+2+1n+3+13n+1>2524對一切正整數(shù)n都成立.(1)當(dāng)n=1時不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時不等式成立,即1k+1+1k+2+1k+3+13k+1>2524,當(dāng)n=k+1時,1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+13(k+1)+1=1k+1+1k+2+1k+3+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+1>2524+13k+2+13k+4-23(k+1).因為13k+2+13k+4=6(k+1)9k2+18k+8>6(k+1)9k2+18k+9=6(k+1)9(k+1)2=23(k+1),所以13k+2+13k+4-23(k+1)>0,于是1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+13(k+1)+1>2524,即當(dāng)n=k+1時不等式成立.由(1)(2)知,對一切正整數(shù)n,都有1n+1+1n+2+1n+3+13n+1>2524,且正整數(shù)a的最大值等于25.10.導(dǎo)學(xué)號26394069已知數(shù)列an滿足:a1=32,且an=3nan-12an-1+n-1(n2,nN+).(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)求證對一切正整數(shù)n,不等式a1a2an<2n!恒成立.(1)解將條件變?yōu)?-nan=131-n-1an-1,因此數(shù)列1-nan為一個等比數(shù)列,其首項為1-1a1=13,公比為13,從而1-nan=13n,因此得an=n3n3n-1(n1).(2)證明由得a1a2an=n!1-131-1321-13n.為證a1a2an<2n!,只要證當(dāng)nN+時,有1-131-1321-13n>12.顯然,左端每個因式皆為正數(shù),先證明對nN+,有1-131-1321-13n1-13+132+13n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明式:當(dāng)n=1時,顯然式成立,假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時,式成立,即1-131-1321-13k1-13+132+13k.當(dāng)n=k+1時,1-131-1321-13k1-13k+11-13+132+13k1-13k+1=1-13+132+13k-13k+1+13k+113+132+13k>1-13+132+13k+13k+1.即當(dāng)n=k+1時,式也成立.故對一切nN+,式都成立.利用,得1-131-1321-13n1-13+132+13n=1-131-13n1-13=1-121-13n=12+1213n>12.故原不等式成立.