課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十三) 函數(shù)模型及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價(jià)，我國某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是()解析由運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高得，曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)逐漸增大，故函數(shù)的圖象應(yīng)一直是下凹的答案B2(2018河南洛陽期中)已知某種動物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為yalog3(x1)，設(shè)這種動物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到()A100只B200只C300只D400只解析由題意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，當(dāng)x8時(shí)，y100log39200.答案B3(2017福建質(zhì)檢)當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射性探測器就測不到了若某死亡生物體內(nèi)的碳14用一般的放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期”個(gè)數(shù)至少是()A8B9C10D11解析設(shè)死亡生物體內(nèi)原有的碳14含量為1，則經(jīng)過n(nN*)個(gè)“半衰期”后的含量為n，由n<得n10.所以，若探測不到碳14含量，則至少經(jīng)過了10個(gè)“半衰期”故選C.答案C4某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，一組同學(xué)獲得的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()Ay2x2ByxCylog2xDy(x21)解析直線是均勻分布的，故選項(xiàng)A不符合要求；指數(shù)函數(shù)yx是單調(diào)遞減的，也不符合要求；對數(shù)函數(shù)ylog2x的增長是緩慢的，也不符合要求；將表中數(shù)據(jù)代入選項(xiàng)D中的函數(shù)，基本符合要求答案D5(2017湖南、衡陽、長郡中學(xué)等十三校聯(lián)考)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.3)()A2018年 B2019年C2020年 D2021年 解析設(shè)開始超過200萬元的年份是n，則130(112%)n2016>200，化簡得(n2016)lg1.12>lg2lg1.3，所以n2016>3.8，所以n2020，因此開始超過200萬元的年份是2020年，故選C.答案C6國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11%納稅已知某人出版一本書，共納稅420元，則這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為()A2800元B3000元C3800元D3818元解析設(shè)扣稅前應(yīng)得稿費(fèi)為x元，則應(yīng)納稅額為分段函數(shù)，由題意，得y如果稿費(fèi)為4000元應(yīng)納稅為448元，現(xiàn)知某人共納稅420元，所以稿費(fèi)應(yīng)在8004000元之間，(x800)14%420，x3800.答案C二、填空題7.(2016江西六校聯(lián)考)A、B兩只船分別從在東西方向上相距145 km的甲乙兩地開出A從甲地自東向西行駛B從乙地自北向南行駛，A的速度是40 km/h，B的速度是16 km/h，經(jīng)過_小時(shí)，AB間的距離最短解析設(shè)經(jīng)過x h，A，B相距為y km，則y，求得函數(shù)的最小值時(shí)x的值為.答案8(2017北京海淀一模)某購物網(wǎng)站在2014年11月開展“全場6折”促銷活動，在11日當(dāng)天購物還可以再享受“每張訂單金額(6折后)滿300元時(shí)可減免100元”某人在11日當(dāng)天欲購入原價(jià)48元(單價(jià))的商品共42件，為使花錢總數(shù)最少，他最少需要下的訂單張數(shù)為_解析為使花錢總數(shù)最少，需使每張訂單滿足“每張訂單金額(6折后)滿300元時(shí)可減免100元”，即每張訂單打折前原金額不少于500元由于每件原價(jià)48元，因此每張訂單至少11件，所以最少需要下的訂單張數(shù)為3張答案39某食品的保鮮時(shí)間t(單位：小時(shí))與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系t且該食品在4的保鮮時(shí)間是16小時(shí)已知甲在某日上午10時(shí)購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時(shí)間變化如圖所示給出以下四個(gè)結(jié)論：該食品在6的保鮮時(shí)間是8小時(shí)；當(dāng)x6,6時(shí)，該食品的保鮮時(shí)間t隨著x增大而逐漸減少；到了此日13時(shí)，甲所購買的食品還在保鮮時(shí)間內(nèi)；到了此日14時(shí)，甲所購買的食品已然過了保鮮時(shí)間其中，所有正確結(jié)論的序號是_解析食品的保鮮時(shí)間t(單位：小時(shí))與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系t且該食品在4的保鮮時(shí)間是16小時(shí)24k616，即4k64，解得k，t當(dāng)x6時(shí)，t8.該食品在6的保鮮時(shí)間是8小時(shí)，正確；當(dāng)x6,0時(shí)，保鮮時(shí)間恒為64小時(shí)，當(dāng)x(0,6時(shí)，該食品的保鮮時(shí)間t隨著x增大而逐漸減少，故錯(cuò)誤；到了此日10時(shí)，溫度超過8度，此時(shí)保鮮時(shí)間不超過4小時(shí)，故到13時(shí)，甲所購買的食品不在保鮮時(shí)間內(nèi)，故錯(cuò)誤；到了此日14時(shí)，甲所購買的食品已然過了保鮮時(shí)間，故正確故正確的結(jié)論的序號為.答案三、解答題10已知某物體的溫度(單位：攝氏度)隨時(shí)間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律：m2t21t(t0，并且m>0)(1)如果m2，求經(jīng)過多少時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍解(1)若m2，則22t21t2，當(dāng)5時(shí)，2t，令2tx1，則x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此時(shí)t1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即2恒成立亦m2t2恒成立，亦即m2恒成立令x，則0<x1，m2(xx2)，由于xx2，m.因此，當(dāng)物體的溫度總不低于2攝氏度時(shí)，m的取值范圍是.能力提升11(2017陜西西安模擬)某校為了規(guī)范教職工績效考核制度，現(xiàn)準(zhǔn)備擬定一函數(shù)用于根據(jù)當(dāng)月評價(jià)分?jǐn)?shù)x(正常情況0x100，且教職工平均月評價(jià)分?jǐn)?shù)在50分左右，若有突出貢獻(xiàn)可以高于100分)計(jì)算當(dāng)月績效工資y元要求績效工資不低于500元，不設(shè)上限且讓大部分教職工績效工資在600元左右，另外績效工資越低、越高人數(shù)要越少則下列函數(shù)最符合要求的是()Ay(x50)2500By10500Cy(x50)3625Dy5010lg(2x1)解析由題意知，函數(shù)應(yīng)滿足單調(diào)遞增，且先慢后快，在x50左右增長緩慢，最小值為500，A是先減后增，不符合要求；B由指數(shù)函數(shù)知是增長越來越快，不符合要求；D由對數(shù)函數(shù)知增長速度越來越慢，不符合要求；C是由yx3經(jīng)過平移和伸縮變換而得，最符合題目要求，故選C.答案C12(2017石家莊質(zhì)檢)加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為()A3.50分鐘B3.75分鐘C4.00分鐘D4.25分鐘解析根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡得解得所以p0.2t21.5t222，所以當(dāng)t3.75時(shí)，p取得最大值，即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘答案B13一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為yaeb t(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過_min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一解析當(dāng)t0時(shí)，ya，當(dāng)t8時(shí)，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即yaeb ta，eb t(e8b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min.答案1614為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值解(1)由已知條件得C(0)8，則k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x10102 1070(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)6x10，即x5時(shí)等號成立所以當(dāng)隔熱層厚度為5 cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬元15(2017吉林長春模擬)一種藥在病人血液中的含量不低于2克時(shí)，它才能起到有效治療的作用已知每服用m(1m4且mR)克的藥劑，藥劑在血液中的含量y(克)隨著時(shí)間x(小時(shí))變化的函數(shù)關(guān)系式近似為ymf(x)，其中f(x)(1)若病人一次服用3克的藥劑，則有效治療時(shí)間可達(dá)多少小時(shí)？(2)若病人第一次服用2克的藥劑，6個(gè)小時(shí)后再服用m克的藥劑，要使接下來的2小時(shí)中能夠持續(xù)有效治療，試求m的最小值解(1)因?yàn)閙3，所以y當(dāng)0x<6時(shí)，由2，解得x11，此時(shí)0x<6；當(dāng)6x8時(shí)，由122，解得x，此時(shí)6x.綜上所述，0x.故若一次服用3克的藥劑，則有效治療的時(shí)間可達(dá)小時(shí)(2)當(dāng)6x8時(shí)，y2m8x，因?yàn)?x2對6x8恒成立，即m對6x8恒成立，等價(jià)于mmax,6x8.令g(x)，則函數(shù)g(x)在6,8上是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x8時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值為，所以m，所以所求的m的最小值為.